1、考研数学二-408 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：19，分数：100.00)1.确定常数 a，b，c，使得 （分数：5.00）_2. （分数：5.00）_3.求 （分数：5.00）_4.求 （分数：5.00）_5.设 f(x)可导且 f“(0)=6，且 ，求 （分数：5.00）_6.设 ，其中 f(x)连续，求 （分数：5.00）_7.求 （分数：5.00）_8.求 （分数：5.00）_9.求 （分数：5.00）_10.求极限 （分数：5.00）_11.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)0， （分数：5.00）_12.设 f(x)在1
2、，+)内可导，f“(x)0 且 ，令 证明：a n 收敛且 （分数：5.00）_13.设 a0，x 1 0，且定义 ，证明： （分数：5.00）_14.设 a 1 =1，当 n1 时， （分数：5.00）_设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：10.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)=1-2c（分数：5.00）_(2).存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：5.00）_15.设 （分数：5.00）_16.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上
3、连续 （分数：5.00）_17.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：5.00）_18.设 （分数：5.00）_考研数学二-408 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：19，分数：100.00)1.确定常数 a，b，c，使得 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 方法一 由 得 b=-1； 由 得 于是 方法二 由 得 ，从而 于是 解得 2. （分数：5.00）_正确答案：()解析：方法一 方法二 3.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以 4.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 5.设 f(x)
4、可导且 f“(0)=6，且 ，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 得 f(0)=0，f“(0)=0， 6.设 ，其中 f(x)连续，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 得 ，于是 7.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 而 则 8.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 9.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 10.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 11.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)0， （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 则 n-2=2，n=4，且 12.设 f(x)在1，+)内可导，f
5、“(x)0 且 ，令 证明：a n 收敛且 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调减少 又因为 ，所以a n 单调减少 因为 而 且 ，所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0 由 f(x)单调递减得 f(x)0(x1，+)，故 a n f(n)0，所以 存在 由 而 ，所以 a n f(1)，从而 13.设 a0，x 1 0，且定义 ，证明： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有 从而 故 单调减少，再由 x n 0(n=2，3，)，则 存在， 令 ，等式 两边令 n=得 解得 14.设 a
6、1 =1，当 n1 时， （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，因为 ，所以数列a n 单调 又因为 a 1 =1，0a n+1 1，所以数列a n 有界，从而数列a n 收敛，令 ，则有 设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：10.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)=1-2c（分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=f(x)-1+2x，(0)=-1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1)，使得 (c)=0，于是 f(c)=1-2c(2).存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(
7、)（分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值 M， 由 6m2f(0)+f(1)+3f(2)6M 得 由介值定理，存在 0，2，使得 15.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 取 0 =1，因为 16.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 对任意的 x 0 0，1，因为 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加，所以当 xx 0 时，有 故 f(x 0 )f(x)e x0-x f(x 0 )， 令 ，由夹逼定理得 f(x 0 -0)=f(x 0 )； 当 xx 0 时，有 故 e x0-x f(x 0 )f(x)f(x 0 )， 令 17.设 f(x)在a，+)上连续，f(a)0，而 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，取 ，因为 ，所以存在 X 0 0， 当 xX 0 时，有 ，从而 18.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)及 因为 ，所以 x=0 为 f(x)的可去间断点； 因为 ，所以 x=k(k=1，2，)为 f(x)的第二类间断点； 因为 ，所以
