1、考研数学二-407 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列各选项正确的是 A若 ，则存在 a0，使得当 0|x-x 0 | 时，有 f(x)g(x) B若存在 0，使得当 0|x-x 0 | 时，有 f(x)g(x)，且 ，则 A 0 B 0 . C若存在 0，使得当 0|x-x 0 | 时，有 f(x)g(x)，则 D若 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在连续，其一阶导函数除 x=a 外都存在，并且其一阶导函数的图形如下图所示，则 f(x) （分数：4.00）A.有两个极大值点，一个极小值点，一个拐点B.
2、有一个极大值点，一个极小值点，两个拐点C.有一个极大值点，一个极小值点，一个拐点D.有一个极大值点，两个极小值点，两个拐点3.设函数 f(x)在 x=0 处连续，则下列命题错误的是 A若 ，则 f(0)=0 B若 ，则 f(0)=0 C若 ，则 f“(0)=A D若 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列函数中，在-2，3上不存在原函数的是 A Bmax|x|，1 C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D=(x，y)|1x 2 +y 2 9，则厂(x，y)等于 Ax 2 Bx 2 +y 2 C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数
3、 f(u，v)连续， ，则 Af(x，y) Bf(y，x) C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 4 线性相关，则（分数：4.00）A.4 必可由 1，2，3 线性表出B.4 必不能由 1，2，3 线性表出C.1 必可由 2，3，4 线性表出D.2 必不能由 1，3，4 线性表出8.设矩阵 A 的列数为 n，则下列各选项正确的是（分数：4.00）A.若方程组 Ax=0 只有零解，则方程组 Ax=b 有唯一解B.若方程组 Ax=0 有非零解，则方程组 Ax=b 有无穷多解C.若方程组 Ax=b 有两个不同的解，则方程组 Ax=0
4、有无穷多解D.方程组 Ax=b 有唯一解的充分必要条件是 A 的秩为 n二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.设函数 y=x ax ，则 y“= 1 （分数：4.00）12.微分方程 2y=(14y 3 -x)y“满足初始条件 y| x=2 =1 的特解为 y= 1 （分数：4.00）13.设数列 ，则 （分数：4.00）14.设 3 阶矩阵 A 的特征值为-1，9，2记 B=A 3 -3A 2 ，则|B|= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.求由曲线 y=3
5、-|x 2 -1|与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y=3 旋转而成的旋转体的体积 （分数：10.00）_17.求曲线 （分数：10.00）_18.设 z=z(x，y)是由 2x 2 -2xy+4xz+y 2 +12z 2 -8=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值 （分数：10.00）_19.设二元函数 计算二重积分 （分数：10.00）_20.设有微分方程 y“-3y“=(x)，其中 （分数：11.00）_21.设函数 f(x)在区间-2，2上有一阶连续的导数，在(-2，2)内二阶可导，且|f(x)|1，f“(0)1，证明：存在 (-2，2)，使得 f“()=0 （分数：11.
6、00）_设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O.（分数：11.00）(1).证明矩阵 A，A+2E，A+4E 可逆，并求出它们的逆矩阵；（分数：5.50）_(2).当 AE 时，判断矩阵 A+3E 是否可逆，并说明理由（分数：5.50）_设二次型 （分数：11.00）(1).求实数 a 的值；（分数：5.50）_(2).求二次型 f 的标准形（分数：5.50）_考研数学二-407 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列各选项正确的是 A若 ，则存在 a0，使得当 0|x-x 0 | 时，有 f(x)g(x) B若存在
7、0，使得当 0|x-x 0 | 时，有 f(x)g(x)，且 ，则 A 0 B 0 . C若存在 0，使得当 0|x-x 0 | 时，有 f(x)g(x)，则 D若 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 考查保号性(极限值的大小推函数值的大小)，错在“条件和结论中的都应改为”；B考查保号性的推论(函数值的大小推极限值的大小)，错在“结论中的应改为”；C 考查保号性的推论(函数值的大小推极限值的大小)，错在“没说极限存在”；D 正确2.设函数 f(x)在连续，其一阶导函数除 x=a 外都存在，并且其一阶导函数的图形如下图所示，则 f(x) （分数：4.00）A.有两个极大值点，一个
8、极小值点，一个拐点B.有一个极大值点，一个极小值点，两个拐点C.有一个极大值点，一个极小值点，一个拐点D.有一个极大值点，两个极小值点，两个拐点 解析：解析 为方便表示，故在图中加上字母，如下图所示，一共加了两个字母，分别是 x 1 ，x 2 3.设函数 f(x)在 x=0 处连续，则下列命题错误的是 A若 ，则 f(0)=0 B若 ，则 f(0)=0 C若 ，则 f“(0)=A D若 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 采用举例法请注意：举的例子必须要满足 f(x)在 x=0 处连续，还要满足 存在 举例如下： 现讨论 f(x)在 x=0 处是否可导，利用可导的定义来讨论也
9、就是说，计算 由于 所以 由于 所以 4.下列函数中，在-2，3上不存在原函数的是 A Bmax|x|，1 C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 对于选项 C， 5.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D=(x，y)|1x 2 +y 2 9，则厂(x，y)等于 Ax 2 Bx 2 +y 2 C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设 ，则 f(x，y)=x 2 +ay 2 于是 解之得 ，故 6.设函数 f(u，v)连续， ，则 Af(x，y) Bf(y，x) C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 交换积分次序，则有 记 ，则 两边再对 y 求
10、导， 7.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 4 线性相关，则（分数：4.00）A.4 必可由 1，2，3 线性表出 B.4 必不能由 1，2，3 线性表出C.1 必可由 2，3，4 线性表出D.2 必不能由 1，3，4 线性表出解析：解析 由于 1 ， 2 ， 4 线性相关，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关由于 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关， 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表出8.设矩阵 A 的列数为 n，则下列各选项正确的是（分数：4.00）A.若方程组 Ax=0 只有零解，则方程组 Ax=b 有唯一解B.若
11、方程组 Ax=0 有非零解，则方程组 Ax=b 有无穷多解C.若方程组 Ax=b 有两个不同的解，则方程组 Ax=0 有无穷多解 D.方程组 Ax=b 有唯一解的充分必要条件是 A 的秩为 n解析：解析 题中说 Ax=b 有两个不同的解，故 Ax=b 有无穷多组解，故有 r(A)=r(A，b)n而 Ax=0 有无穷多解说明 r(A)n很明显，r(A)=r(A，b)n 可以推出 r(A)n二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）解析：y=3x+1 解析 由于 10. （分数：4.00）解析：13解析 11.设函数 y=x ax ，则 y“= 1 （分数：4.00）解
12、析： 解析 两边取对数，得 lny=a x lnx 两边求导，得 从而 12.微分方程 2y=(14y 3 -x)y“满足初始条件 y| x=2 =1 的特解为 y= 1 （分数：4.00）解析： 解析 将微分方程变形为 ，这是一阶线性微分方程，其通解为 以 y| x=2 =1 代入上式，得 C=0，于是 x=2y 3 ，即 13.设数列 ，则 （分数：4.00）解析：e 2ln5-4+2arctan2 解析 14.设 3 阶矩阵 A 的特征值为-1，9，2记 B=A 3 -3A 2 ，则|B|= 1 （分数：4.00）解析：7776 解析 由于矩阵 A 的三个特征值是-1，9，2，所以矩阵
13、B=A 3 -3A 2 的三个特征值是-4，486，-4，故矩阵 B=A 3 -3A 2 所对应的行列式|A 3 -3A 2 |=(-4)486(-4)=7776.三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 16.求由曲线 y=3-|x 2 -1|与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y=3 旋转而成的旋转体的体积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 所求体积为 17.求曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 y“=2x 3 e -3x2 ，y“=6x 2 e -3x2 -12x 4 e -3x2 =6x 2 (1-2x
14、 2 )e -3x2 令 y“=0，得 由于该函数为偶函数，故可先研究其在(0，+)内的凹凸性 y“ + 0 - y 凹 拐点 凸 所以，曲线在 内是凹的，在 内是凸的 类似地，曲线在 内是凹的，在 内是凸的 当 18.设 z=z(x，y)是由 2x 2 -2xy+4xz+y 2 +12z 2 -8=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 两边分别对 x 和 y 求导，得 令 得 解得 将上式代入 2x 2 -2xy+4xz+y 2 +12z 2 -8=0，可得 由于 故对于点(2，2，-1)，有 因为 ，所以点(2，2)是函数 z=z
15、(x，y)的极小值点，极小值为 z(2，2)=-1 类似地，对于点(-2，-2，1)，有 因为 19.设二元函数 计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 如下图所示，记 D 1 =(x，y)|x+y2，x0，y0, D 2 =(x，y)|x 2 +y 2 2，x0，y0 故 20.设有微分方程 y“-3y“=(x)，其中 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 当 x1 时，有 y“-3y“=0，解特征方程 r 2 -3r=0 得 r 1 -0，r 2 =3，故方程的通解为 y=C 1 +C 2 e 3x (x1) 当 x1 时，有 y“-3y“=3，设方程的一个特解
16、为 y*=b 0 x 把 y*“和 y*“代入方程得-3b 0 =3，解得 b 0 =-1，故 y*=-x，从而方程的通解为 y=C 3 +C 4 e 3x -x (x1) 由 f(0)=f“(0)=-1 得 C 3 =-1，C 4 =0，故 y=-1-x(x1). 综上所述， 由 f(1)=f(1 + )=f(1 - )得 f(1)=C 1 +C 2 e 3 =-2 由 得 3C 2 e 3 =-1 解方程组 得 所以， 21.设函数 f(x)在区间-2，2上有一阶连续的导数，在(-2，2)内二阶可导，且|f(x)|1，f“(0)1，证明：存在 (-2，2)，使得 f“()=0 （分数：11
17、.00）_正确答案：()解析：证 使用带拉格朗日型余项的麦克劳林公式，有 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O.（分数：11.00）(1).证明矩阵 A，A+2E，A+4E 可逆，并求出它们的逆矩阵；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 所以，矩阵 A 可逆，且 由于 ，所以矩阵 A+2E 可逆，且 由于 A 2 +2A-3E=O，所以 A 2 +2A-8E=-5E. 而 A 2 +2A-8E=(A+4E)(A-2E)，即(A+4E)(A-2E)=-5E所以，矩阵 A+4E 可逆，且 (2).当 AE 时，判断矩阵 A+3E 是否可逆，并说明理由（分数：5.50）_正确
18、答案：()解析：解 当 AE 时，A-EO 由于 A 2 +2A-3E=O，因式分解得(A+3E)(A-E)=O 令 A-E=( 1 ， 2 ， n )，其中的每一列都是齐次线性方程组(A+3E)x=0 的解，而 A-E 不是零矩阵，说明 1 ， 2 ，a n 中至少有一个向量不为 0，即齐次线性方程组(A+3E)x=0 有非零解 故矩阵 A+3E 不是可逆矩阵，设二次型 （分数：11.00）(1).求实数 a 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 二次型的对应矩阵为 (2).求二次型 f 的标准形（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 把第 1 小问求出的 a=2 代入(2-)( 2 -6+9-a 2 )=0 中，则有 (2-)( 2 -6+5)=0 由上式可解得 1 =1， 2 =2， 3 =5 所以，该二次型的标准形是
