1、考研数学二-406 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列各选项正确的是 A若 存在， 存在，则 必存在 B若 不存在， 不存在，则 必不存在 C若 不存在， 存在，则 必存在 D若 不存在， 存在，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设有以下结论： （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f“(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x 0 处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若 x0，则（分数：4.00）A.0dyyB.0ydyC.ydy0D
2、.dyy04.下列函数中，在-1，2上不存在定积分的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)在 x=x 0 处存在三阶导数，且 f(x)“(x 0 )=0，f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=a0，则（分数：4.00）A.f(x0)是 f(x)的极小值B.f(x0)是 f(x)的极大值C.存在 0，使得对任意的 x(x0-，x0)，曲线 y=f(x)是凹的；对任意的 x(x0，x0+)，曲线y=f(x)是凸的D.存在 0，使得对任意的 x(x0-，x0)，曲线 y=f(x)是凸的；对任意的 x(x0，x0+a)，曲线y=f(x)是凹的6.设函数 f(u，v
3、)满足 ，已知 ，则 A B C （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，-1，2，E 为 3 阶单位矩阵，则下列矩阵中可逆的是（分数：4.00）A.E-A.B.E+A.C.2E-A.D.2E+A.8.设 A 为 n 阶矩阵，A*为其伴随矩阵，已知线性方程组 Ax=0 的基础解系为解向量 1 ，则 A*x=0 的基础解系（分数：4.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有 n-1 个线性无关的解向量D.含有 n 个线性无关的解向量二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.由直线 y=-2x+4 与 x=1 及 y=0 所围成的封闭图形绕 y 轴旋转而
4、成的旋转体的体积为 1 （分数：4.00）10.微分方程 xy“+x 2 y“=y “2 满足初始条件 y| x=0 =2，y“| x=1 =1 的特解是 1 （分数：4.00）11.已知 则 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，且对于任意的 x，y，f(x)满足关系式 f(x+y)-f(x)=f(x)-1y+a(y)， 其中 a(y)满足 （分数：4.00）14.设 n 阶矩阵 A 为反对称矩阵，则对于任意非零 n 维列向量 x，x T Ax= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求微分方程 y“+y=co
5、s ax 的通解，其中常数 a0. （分数：10.00）_16.已知函数 （分数：10.00）_17.计算二重积分 （分数：10.00）_18.证明： （分数：10.00）_19.设 ，其中常数 a0，求极限 （分数：10.00）_20.求函数 z=f(x，y)=x 2 +y 2 -2x-4y 在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 20，y0上的最大值和最小值 （分数：11.00）_(1).证明罗尔定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，则存在 (a，b)，使得 f“()=0；（分数：5.50）_(2).设函数 f(x)在(a，b)内二阶可导，f(
6、a)=f(b)=0，g(x)在a，b上连续，且在a，b上满足 f“(x)+g(x)f“(x)-f(x)=0 证明：对于a，b上的任意 x，有 f(x)=0（分数：5.50）_21.求向量组 1 =(1，2，1，3) T ， 2 =(1，1，-1，1) T ， 3 =(1，3，3，5) T ， 4 =(4，5，-2，7) T ， 5 =(-3，-5，-1，-7) T 的秩和一个极大无关组，并将其余的向量用该极大无关组线性表出 （分数：11.00）_设 A=(a ij )(i，j=1，2，3)为 3 阶实对称矩阵， 1 =-1， 2 =1 是 A 的两个特征值，已知|A|=-1，且 1 =-1 所
7、对应的特征向量为 （分数：11.00）(1).求 A 的主对角线元素之和 （分数：5.50）_(2).求矩阵 A.（分数：5.50）_考研数学二-406 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列各选项正确的是 A若 存在， 存在，则 必存在 B若 不存在， 不存在，则 必不存在 C若 不存在， 存在，则 必存在 D若 不存在， 存在，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 函数乘积的极限存在性定理如下：若 存在， 也存在，则 一定存在；若这两者一个存在，另一个不存在，则 的存在性是不确定的；若 不存在， 也不存在，则2.
8、设有以下结论： （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 先看结论， 结论说的是定积分 (注意：很多同学认为 是反常积分，其实不然，因为 存在)等于0 现在来验证一下 请看如下定理： 设 是一个定积分，如果 f(x)在区间-a，a上连续且，f(x)在区间-a，a上是一个奇函数，则定积分 有同学认为 虽为奇函数，但在区间-1，1上并不连续，因此不能使用上述定理，的确， 在区间-1，1上并不连续，但由于定积分的被积函数在某一点处的函数值是完全无所谓的，所以可以把结论中所说的“ ”改写为“ ”这样一来，f(x)在区间-1，1上连续，且为奇函数，根据以上定理可知，结论正确 再看结论 在 x=1，
9、x=-1 处没有定义现在算一下 ，这两个极限只要有一个是，就说明 是反常积分通过计算可知 和 这两个极限都是，所以 是反常积分，而不是定积分 结论说的是反常积分 等于 0 请看以下定理： 设 是一个反常积分，如果 f(x)在除 x=c 外的区间-a，a上连续(其中 c 为-a，a上的点)，且f(x)在除c 外的区间-a，a上是一个奇函数，且 的值是一个常数，则反常积分 根据以上定理来验证一下 首先， 在区间-1，1上除了 x=1 连续(也就是说 在区间(-1,1)上连续)，这是毫无疑问的，其次，说 在区间(-1,1)上是一个奇函数也对 最后，看 3.设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f“(
10、x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x 0 处的增量，y 与 dy分别为 f(x)在点 x 0 处对应的增量与微分，若 x0，则（分数：4.00）A.0dyyB.0ydy C.ydy0D.dyy0解析：解析 由于 dy=f“(x 0 )的 x，而题中说 f“(x)0，故 f“(x 0 )0又由于 x0，所以有dy0. 由于 而题中说 f“(x)0，这说明对于定义域内的任意一个点来说，都有 f“(x)0，所以 f“()0由于 ，f“()0，(x) 2 0，所以 4.下列函数中，在-1，2上不存在定积分的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 对于 D， 取
11、5.设函数 f(x)在 x=x 0 处存在三阶导数，且 f(x)“(x 0 )=0，f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=a0，则（分数：4.00）A.f(x0)是 f(x)的极小值B.f(x0)是 f(x)的极大值C.存在 0，使得对任意的 x(x0-，x0)，曲线 y=f(x)是凹的；对任意的 x(x0，x0+)，曲线y=f(x)是凸的D.存在 0，使得对任意的 x(x0-，x0)，曲线 y=f(x)是凸的；对任意的 x(x0，x0+a)，曲线y=f(x)是凹的 解析：解析 本题需用到如下结论： 设 f(x)在 x=x 0 处 n 阶可导(也就是说 f(x 0 )，f“(x 0 )，f“
12、(x 0 )，f (n) (x 0 )均存在)，且f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=0，f (n-1) (x 0 )=0，f (n) (x 0 )0(n2). 情况：若 n 为偶数且厂 f (n) (x 0 )0，则 x=x 0 为极大值点； 情况：若 n 为偶数且 f (n) (x 0 )0，则 x=x 0 为极小值点； 情况：若 n 为奇数，则 x=x 0 不是极值点而是拐点 由于题中说 f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=a0，故根据以上结论可得 x=x 0 不是极值点而是拐点，所以函数值 f(x 0 )既不是函数 f(x)的极大值，也不是函数 f(x)的
13、极小值，所以选项 A 和选项 B 都是错误的， 由于题中说 f“(x 0 )=a，故说明函数 f“(x)在 x=x 0 处可导根据可导的定义可知 将题中说的 f“(x 0 )=a 代入式(1)，得 将题中说的 f“(x 0 )=0 代入式(2)，得 由式(3)可知 由于题中说 a0，所以有 接下来用极限的局部保号性 首先，对式(4)使用保号性，立刻可得：必存在一个 x 0 的右去心邻域，使得当 x 在此邻域内取值时，有 既然 x 是在 x 0 的右去心邻域内取值，就是说 xx 0 ，所以 x-x 0 0由于 6.设函数 f(u，v)满足 ，已知 ，则 A B C （分数：4.00）A.B. C
14、.D.解析：解析 令 u=x 2 ，u-1-x，则 又由于 故 7.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，-1，2，E 为 3 阶单位矩阵，则下列矩阵中可逆的是（分数：4.00）A.E-A.B.E+A.C.2E-A.D.2E+A. 解析：解析 由于矩阵 A 的三个特征值是 1，-1，2，所以矩阵 2E+A 的三个特征值是 3，1，4由于矩阵2E+A 的三个特征值是 3，1，4，故矩阵 2E+A 所对应的行列式|2E+A|=314-12由于|2E+A|0，所以矩阵 2E+A 可逆8.设 A 为 n 阶矩阵，A*为其伴随矩阵，已知线性方程组 Ax=0 的基础解系为解向量 1 ，则 A*x=0 的基础
15、解系（分数：4.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有 n-1 个线性无关的解向量 D.含有 n 个线性无关的解向量解析：解析 方阵 A 的秩与方阵 A*的秩的关系如下： 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.由直线 y=-2x+4 与 x=1 及 y=0 所围成的封闭图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积为 1 （分数：4.00）解析：解析 10.微分方程 xy“+x 2 y“=y “2 满足初始条件 y| x=0 =2，y“| x=1 =1 的特解是 1 （分数：4.00）解析：y=ln(1+x 2 )+2 解析 令 y“=p(x)，则 ，于是 ，即 令 ，则 p=ux， ，
16、于是 分离变量得 两端积分 得 从而 即 由 y“| x=1 -1 得 C 2 =-1，故 于是 11.已知 则 （分数：4.00）解析： 解析 等式两边同时对 y 求导，有 解得 12. （分数：4.00）解析：解析 13.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，且对于任意的 x，y，f(x)满足关系式 f(x+y)-f(x)=f(x)-1y+a(y)， 其中 a(y)满足 （分数：4.00）解析：f“(x)=f(x)-1 解析 由于 a(y)=f(x+y)-f(x)-f(x)-1y，故 令 y=x，则 14.设 n 阶矩阵 A 为反对称矩阵，则对于任意非零 n 维列向量 x，x T Ax=
17、1 （分数：4.00）解析：0 解析 x T Ax 是一个数，而一个数的转置就是它本身所以有 x T Ax=(x T Ax) T (1) 而 (x T Ax) T =x T (x T A)T=x T A T x. (2) 由 A 为反对称矩阵可知 A T =-A，所以有 x T A T x=-x T Ax(3) 由式(2)、式(3)得 (x T Ax) T =-x T Ax(4) 由式(1)、式(4)得 x T Ax=-x T Ax. (5) 由于 x T Ax 为一个数，不妨设此数为 a根据式(5)有 a=0三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求微分方程 y“+y=cos ax
18、的通解，其中常数 a0. （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 对于原方程对应的齐次线性方程 y“+y=0，解特征方程 r 2 +1=0，得 r 1，2 =i，故它的通解为 Y=C 1 cosx+C 2 sinx 当 a=1 时，设原方程的一个特解为 y*=x(Mcosx+Nsinx) 把 y*和 y*“代入原方程得 2Ncosx-2Msinx=cosx. 列方程组 解得 故 当 a1 时，设原方程的一个特解为 y*=Mcosax+Nsinax 把 y*和 y*“代入原方程得 (1-a 2 )(Mcosax+Nsinax)=cosax 列方程组 解得 所以，原方程的通解为 16.已知函
19、数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由拉格朗日中值定理得 sin(tanx)-sin(sinx)=cos(tanx-sinx)( 介于 tanx 与 sinx 之间) 当 x0 - 时，sinx0 - ，tanx0 - ，则 0 - ，故 由 f(0 - )=f(0 + )=f(0)得 解得 17.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 积分区域 D 如下图所示 18.证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证法一 设辅助函数 F(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx 当 x0 时，F“(x)0，故 F“(x)在(0，+)内单调递增 于是
20、F“(x)F“(0)=0，故 F(x)在(0，+)内单调递增， 因此 F(x)F(0)=0，即 (1+x)ln(1+x)arctanx. 又由于当 x0 时，arctanx0，故 证法二 设辅助函数 f(x)=(1+x)ln(1+x)，g(x)=arctanx 由于函数 f(x)、g(x)在0，x上连续，在(0，x)内可导，根据柯西中值定理，有 其中 (0，x) 将 由于(1+ 2 )1，1+ln(1+)1，所以有(1+ 2 )1+ln(1+)1，从而 19.设 ，其中常数 a0，求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 根据夹逼准则， 20.求函数 z=f(x，y)=x 2 +y
21、 2 -2x-4y 在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 20，y0上的最大值和最小值 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 解方程组 得 D 内部的驻点(1，2)，且有 f(1，2)=-5 在 D 的边界 上，把 y=0 代入 f(x，y)，得 z=x 2 -2x=(x-1) 2 -1 易知，该函数在 内有最小值-1，无最大值 在 D 的边界 上，把 代入 f(x，y)，得 令 ，得 x 1 =2，x 2 =-2 由于 ，该函数在 上有最大值 及最小值 0，从而 f(x，y)在 D 的边界上有最大值 及最小值-1 综上所述，f(x，y)在 D 上的最大值为 ，最小值为 (1).证
22、明罗尔定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)，则存在 (a，b)，使得 f“()=0；（分数：5.50）_正确答案：()解析：证 由最值定理可知，f(x)在a，b上有最大值 M 和最小值 m. 若 M=m，则 f(x)=M=m，故对于任意 x(a，b)，有 f“(x)=0 若 Mm，则 M 和 m 中至少有一个在(a，b)内的点 处取到根据费马引理，f“()=0(2).设函数 f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，g(x)在a，b上连续，且在a，b上满足 f“(x)+g(x)f“(x)-f(x)=0 证明：对于a，b上的任意 x，有
23、f(x)=0（分数：5.50）_正确答案：()解析：证 采用反证法， 假设在区间a，b上，f(x)不恒为 0，则由 f(a)-f(b)=0 可知f(x)在a，b上存在正的最大值或负的最小值， 若 f(x)在a，b上存在正的最大值，则设 f(x)在 x=x 0 处取得最大值 f(x 0 )，即有 f(x 0 )0，f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0 把 x=x 0 代入 f“(x)+g(x)f“(x)-f(x)，得 f“(x 0 )+g(x 0 )f“(x 0 )-f(x 0 )=f“(x 0 )-f(x 0 )0,与已知矛盾，故原假设不成立 同理，若 f(x)在a，b上存在负的最小值，原
24、假设亦不成立， 综上所述，对于a，b上的任意 x，有 f(x)=021.求向量组 1 =(1，2，1，3) T ， 2 =(1，1，-1，1) T ， 3 =(1，3，3，5) T ， 4 =(4，5，-2，7) T ， 5 =(-3，-5，-1，-7) T 的秩和一个极大无关组，并将其余的向量用该极大无关组线性表出 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 所以矩阵 A 的秩为 3，从而向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的秩为 3 所以， 1 ， 2 ， 4 是向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的一个极大无关组 设 A=(a ij )(i，j=1，2，3)为 3 阶实
25、对称矩阵， 1 =-1， 2 =1 是 A 的两个特征值，已知|A|=-1，且 1 =-1 所对应的特征向量为 （分数：11.00）(1).求 A 的主对角线元素之和 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由于|A|=-1，所以 3 =1(-1)1=1 由于 a 11 +a 22 +a 33 = 1 + 2 + 3 ， 所以 a 11 +a 22 +a 33 =1(2).求矩阵 A.（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由于 A 是实对称矩阵，所以 A 必能对角化，即必存在可逆矩阵 P 和对角矩阵 使得 ，(1) 式(1)可化为 . (2) 不妨取 设 P=( 1 ， 2 ， 3 )，其中 1 为特征值-1 所对应的特征向量 2 ， 3 为特征值 1 所对应的特征向量且线性无关题中所给的 1 就可以作为 1 ，但 2 ， 3 未知，需求出 2 ， 3 设 由于实对称矩阵的两个来自于不同特征值的特征向量必正交，所以 1 ， 2 正交，所以有0x 1 +1x 2 +1x 3 =0只要取满足此关系的任意 x 1 ，x 2 ，x 3 ，这里取的是 x 1 =1，x 2 =0，x 3 =0所以 设 ，同理有 0x 4 +1x 5 +1x 6 =0这里取 x 4 =0，x 5 =1，x 6 =-1，所以 现 P 和 均有了，即 ，还差 P -1 .
