1、考研数学二-405 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，且 f(x)的反函数为 g(x)记 （分数：4.00）A.x=0 必是 F(x)的可去间断点B.x=0 必是 F(x)的跳跃间断点C.x=0 必是 F(x)的连续点D.x=0 必是 F(x)的第二类间断点2.函数 y=C 1 e x +C 2 e -x +C 3 xe x (C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)满足的一个微分方程是（分数：4.00）A.y“-y“-y“+y=0B.y“-y“+y“+y=0C.y“+y“-y“+y=0D.
2、y“-y“-y“-y=03.设函数 f(x)在(-，+)内存在一阶导数，则下列命题正确的是（分数：4.00）A.若 f(x)只有一个零点，则 f“(x)无零点B.若 f“(x)至少有一个零点，则 f(x)至少有两个零点C.若 f(x)无零点，则 f“(x)至多有一个零点D.若 f“(x)无零点，则 f(x)至多有一个零点4.设函数 （分数：4.00）A.b 为任意常数，a=0B.b 为任意常数，a=eC.a 为任意常数，b=0D.a 为任意常数，b=e5.设函数 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 （分数：4.00）A.fx(0，0)存在且不为零B.fx(0，0)不存在C.f(x，y)在点(
3、0，0)处取得极小值D.f(x，y)在点(0，0)处取得极大值6.设区域 D 是由 y=x 2 (0x1)，y=-x 2 (-1x0)，y=1 及 x=-1 所围成的平面区域，则 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.47.设 a，b，c，d，e，f 均为常数，则下列向量组线性无关的为 A. 1=(1，-1，0，2) T， 2=(0，1，-1，1) T， 3=(0，0，0，0) T B. 1=(a，b，c) T， 2=(b，c，d) T， 3=(c，d，a) T， 4=(d，a，b) T C. 1=(a，1，b，0，0) T， 2=(c，0，d，1，0) T， 3=(e，0，f，0，1) T
4、 D. 1=(1，2，1，5) T， 2=(1，2，3，6) T， 3=(1，2，5，7) T， 4=(0，0，0，1) T（分数：4.00）A.B.C.D.8.下列矩阵中与矩阵 合同的矩阵是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.微分方程 ydx-tanxdy=0 的通解为 1 （分数：4.00）11.已知函数 z=f(x，y)的全微分为 dx=(x+y)dx+(x-y)dy，且 f(0，0)=1，则 f(x，y)= 1 （分数：4.00）12.设函数 （分数：4.00）13.已知 ，则 （分数：4.00）1
5、4.设矩阵 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设函数 u=f(x，y，z)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 e yz -xy=1 所确定，求 du 与 （分数：10.00）_17.设常数 a0，求函数 （分数：10.00）_18.计算二重积分 （分数：10.00）_19.设函数 f(x)在0，1上可导，且 （分数：10.00）_20.已知函数 （分数：11.00）_21.已知曲线 y=f(x)在0，a(当 x0 时，f(x)0)上与 x 轴围成的面积值比 f(a)大 be a (其中常数a0，b0)，且 f(x)
6、在 x=b 处取极小值，试求 f(x)的表达式 （分数：11.00）_设矩阵 （分数：11.00）(1).计算 A 2 ；（分数：5.50）_(2).证明矩阵 E+A 可逆，并求(E+A) -1 （分数：5.50）_22.设矩阵 （分数：11.00）_考研数学二-405 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内有定义，且 f(x)的反函数为 g(x)记 （分数：4.00）A.x=0 必是 F(x)的可去间断点B.x=0 必是 F(x)的跳跃间断点C.x=0 必是 F(x)的连续点 D.x=0 必是 F(x)
7、的第二类间断点解析：解析 题中说 f(x)的反函数是 g(x)，根据反函数的性质有 fg(x)=x，所以有2.函数 y=C 1 e x +C 2 e -x +C 3 xe x (C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)满足的一个微分方程是（分数：4.00）A.y“-y“-y“+y=0 B.y“-y“+y“+y=0C.y“+y“-y“+y=0D.y“-y“-y“-y=0解析：解析 由题意，(C 1 +C 3 x)e x 是特征方程的二重根 1 对应的项，C 2 e -x 是特征方程的单根-1对应的项，因此，特征方程为(r-1) 2 (r+1)=0，即 r 3 -r 2 -r+1=0从而可知所求方
8、程为 y“-y“-y“+y=03.设函数 f(x)在(-，+)内存在一阶导数，则下列命题正确的是（分数：4.00）A.若 f(x)只有一个零点，则 f“(x)无零点B.若 f“(x)至少有一个零点，则 f(x)至少有两个零点C.若 f(x)无零点，则 f“(x)至多有一个零点D.若 f“(x)无零点，则 f(x)至多有一个零点 解析：解析 本题需用到如下结论： 若题中先说低阶，那就是：至少，越来越少； 若题中先说高阶，那就是：至多，越来越多 由以上结论直接可知本题应选择选项 D.4.设函数 （分数：4.00）A.b 为任意常数，a=0B.b 为任意常数，a=eC.a 为任意常数，b=0D.a
9、为任意常数，b=e 解析：解析 首先求出函数 f“(x)对于分段点来说，要用导数的定义式来求；对于其他点来说，直接用导数公式来求即可， 先用导数的定义式求 f(x)在 x=0 处的导数： 然后，要分 和 来做因为如果不分，就不知道要将 f(x)显化成什么 本题说函数 f“(x)连续，就暗示函数 f“(x)存在，既然函数 f“(x)存在，所以 f“(0)存在由于 f“(0)存在，所以肯定有 5.设函数 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 （分数：4.00）A.fx(0，0)存在且不为零B.fx(0，0)不存在C.f(x，y)在点(0，0)处取得极小值 D.f(x，y)在点(0，0)处取得极大值
10、解析：解析 由 存在可知 根据极限的局部保号性， 由于 ，在(0，0)的某一去心邻域内有 ，即 f(x，y)f(0，0) 根据极值定义，f(x，y)在(0，0)处取得极小值，故选 C. 由于 ，故排除 A、B. 还可由 存在得到 f(x，y)在点(0，0)处可微，这是由于 6.设区域 D 是由 y=x 2 (0x1)，y=-x 2 (-1x0)，y=1 及 x=-1 所围成的平面区域，则 （分数：4.00）A.0B.1C.2 D.4解析：解析 用 y=x 2 (-1x0)把 D 分割成 D 1 和 D 2 (如下图所示)，其中 D 1 =(x，y)|-1x1，x 2 y1, D 2 =(z，y
11、)|-1x0，-x 2 yx 2 记 ，根据二重积分的可加性，有 因为 f(x)(-x，y)=-f(x，y)，且 D 1 关于 y 轴对称，故 ；因为 f(x，-y)=-f(x，y)，且 D 2 关于x 轴对称，故 由于 D 1 关于 y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，故 D 的面积就等于下图中阴影部分面积的 2 倍于是 7.设 a，b，c，d，e，f 均为常数，则下列向量组线性无关的为 A. 1=(1，-1，0，2) T， 2=(0，1，-1，1) T， 3=(0，0，0，0) T B. 1=(a，b，c) T， 2=(b，c，d) T， 3=(c，d，a) T， 4=(d，a，b) T
12、 C. 1=(a，1，b，0，0) T， 2=(c，0，d，1，0) T， 3=(e，0，f，0，1) T D. 1=(1，2，1，5) T， 2=(1，2，3，6) T， 3=(1，2，5，7) T， 4=(0，0，0，1) T（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 单位向量组(1，0，0) T ，(0，1，0) T ，(1，0，0) T 是线性无关的，而如果某个向量组线性无关，则增加维数后(相应的位置)仍线性无关， 选择题中判断线性相(无)关时很少使用定义，大多是用性质，因此请大家务必掌握线性相(无)关的性质8.下列矩阵中与矩阵 合同的矩阵是 A B C D （分数：4.00）A.
13、B. C.D.解析：解析 两个对称矩阵合同的充分必要条件是：将这两个矩阵写为二次型，再化为标准形，则两个标准形的正负惯性指数相同 将 对应的二次型写为 ，用配方法(用正交变换法也可)将其化为标准形 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：2-2ln|1-e x |+C 解析 10.微分方程 ydx-tanxdy=0 的通解为 1 （分数：4.00）解析：y=Csinx 解析 原方程可化为 分离变量得 两端积分 即 11.已知函数 z=f(x，y)的全微分为 dx=(x+y)dx+(x-y)dy，且 f(0，0)=1，则 f(x，y)= 1 （分数：4.00）解析
14、： 解析 由 dz=(x+y)dx+(x-y)dy 可知 等式两边分别对 x、y 积分得 比较两式得 由 f(0，0)=1 得 C=1，故 12.设函数 （分数：4.00）解析：0 解析 13.已知 ，则 （分数：4.00）解析：2 解析 因为 ，由题意得 由于 存在， ，故当 x0 时， 于是 14.设矩阵 （分数：4.00）解析： 解析 设 则 因此，只要计算出 B n 和 C n 即可，求 B n 由于 T =2，所以 求 C n 将矩阵 C 写为 ，由二项式定理可求得 所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 16.设函
15、数 u=f(x，y，z)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 e yz -xy=1 所确定，求 du 与 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 F(x，y，z)=e yz -xy-1，则 F x =-y，F y =ze yz -x，F z =ye yz 于是 从而 故 17.设常数 a0，求函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 显然，f(x)的不可导点为 x=0 和 x=a，驻点为 可能极值点有三个，通过验证可知只有极大值点 x=0，对应的极大值为 接下来求区间端点处的极限值： 所以， 18.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 记 因
16、为 f(-x，y)=-f(x，y)，且 D 关于 y 轴对称，故 因为 g(-x，y)=g(x，y)，且 D 关于 y 轴对称，故 ，其中 D 1 =(x，y)|x 2 +y 2 1，yx0 于是 19.设函数 f(x)在0，1上可导，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 设辅助函数为 F(x)=e -x2 f(x) 根据积分中值定理，在区间 上存在一点 ，使得 f(1)=e 1-2 f() 又由于 F(1)=e -1 f(1)，F()=e -2 f()，故 F()=F(1) 由于函数 F(x)在闭区间，1上连续在开区间(，1)内可导，且 F()=F(1)，所以根据罗尔定理可知存在
17、 (，1) 20.已知函数 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由于 f(x)在区间(-，+)内存在原函数，所以 f(x)在区间(-，+)内连续，或 f(x)在区间(-，+)内只有第二类间断点而没有第一类间断点， 由于 说明 x=0 不可能是 f(x)的第二类间断点，故 f(x)在 x=0 处一定连续 根据连续的定义，有 f(0)=A=0 当 x0 时， 当 x0 时， 由于f(x)dx 在 x=0 处可导，故在 x=0 处连续，于是 1+C 1 =C 2 令 C 1 =C，则 f(x)在区间(-，+)内的所有原函数为 21.已知曲线 y=f(x)在0，a(当 x0 时，f(x)0)
18、上与 x 轴围成的面积值比 f(a)大 be a (其中常数a0，b0)，且 f(x)在 x=b 处取极小值，试求 f(x)的表达式 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由题意， 即 两边对 x 求导，得 f(x)-f“(x)=be x ，即有一阶线性微分方程 ，且满足 y| x=0 =-b 其通解为 设矩阵 （分数：11.00）(1).计算 A 2 ；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 (2).证明矩阵 E+A 可逆，并求(E+A) -1 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 所以 A+E 可逆，且 22.设矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 矩阵
19、 A 是 4 阶实对称方阵，肯定有 4 个实特征值，现求这 4 个特征值 令|A-E|=0，即 ， 解得 1 =-2， 2 = 3 = 4 =2 当 1 =-2 时，特征向量为 ，其中 k0 当 1 = 3 = 4 =2 时，特征向量为 ，其中 k 1 ，k 2 ，k 3 不同时为 0 记 f(x)=x 3 -2x+5，又由于 B=A 3 -2A+5E，故 4 阶矩阵 B 的 4 个特征值分别为 f( 1 )，f( 2 )，f( 3 )，f( 4 ) f( 1 )=f(-2)=-8+4+5=1，对应的特征向量为 f( 2 )=f( 3 )=f( 4 )=f(2)=8-4+5=9，对应的特征向量为 由此可知，矩阵 B 有三重根特征值 9，此特征值对应的特征向量的最大无关组中含三个向量，所以矩阵 B可以对角化(B 可以相似于对角矩阵) 所以，当
