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    【考研类试卷】考研数学二-405及答案解析.doc

    • 资源ID:1395793       资源大小:206.50KB        全文页数:10页
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    【考研类试卷】考研数学二-405及答案解析.doc

    1、考研数学二-405 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 f(x)在(-,+)内有定义,且 f(x)的反函数为 g(x)记 (分数:4.00)A.x=0 必是 F(x)的可去间断点B.x=0 必是 F(x)的跳跃间断点C.x=0 必是 F(x)的连续点D.x=0 必是 F(x)的第二类间断点2.函数 y=C 1 e x +C 2 e -x +C 3 xe x (C 1 ,C 2 ,C 3 为任意常数)满足的一个微分方程是(分数:4.00)A.y“-y“-y“+y=0B.y“-y“+y“+y=0C.y“+y“-y“+y=0D.

    2、y“-y“-y“-y=03.设函数 f(x)在(-,+)内存在一阶导数,则下列命题正确的是(分数:4.00)A.若 f(x)只有一个零点,则 f“(x)无零点B.若 f“(x)至少有一个零点,则 f(x)至少有两个零点C.若 f(x)无零点,则 f“(x)至多有一个零点D.若 f“(x)无零点,则 f(x)至多有一个零点4.设函数 (分数:4.00)A.b 为任意常数,a=0B.b 为任意常数,a=eC.a 为任意常数,b=0D.a 为任意常数,b=e5.设函数 f(x,y)在点(0,0)处连续,且 (分数:4.00)A.fx(0,0)存在且不为零B.fx(0,0)不存在C.f(x,y)在点(

    3、0,0)处取得极小值D.f(x,y)在点(0,0)处取得极大值6.设区域 D 是由 y=x 2 (0x1),y=-x 2 (-1x0),y=1 及 x=-1 所围成的平面区域,则 (分数:4.00)A.0B.1C.2D.47.设 a,b,c,d,e,f 均为常数,则下列向量组线性无关的为 A. 1=(1,-1,0,2) T, 2=(0,1,-1,1) T, 3=(0,0,0,0) T B. 1=(a,b,c) T, 2=(b,c,d) T, 3=(c,d,a) T, 4=(d,a,b) T C. 1=(a,1,b,0,0) T, 2=(c,0,d,1,0) T, 3=(e,0,f,0,1) T

    4、 D. 1=(1,2,1,5) T, 2=(1,2,3,6) T, 3=(1,2,5,7) T, 4=(0,0,0,1) T(分数:4.00)A.B.C.D.8.下列矩阵中与矩阵 合同的矩阵是 A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)10.微分方程 ydx-tanxdy=0 的通解为 1 (分数:4.00)11.已知函数 z=f(x,y)的全微分为 dx=(x+y)dx+(x-y)dy,且 f(0,0)=1,则 f(x,y)= 1 (分数:4.00)12.设函数 (分数:4.00)13.已知 ,则 (分数:4.00)1

    5、4.设矩阵 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求极限 (分数:10.00)_16.设函数 u=f(x,y,z)具有二阶连续偏导数,且 z=z(x,y)由方程 e yz -xy=1 所确定,求 du 与 (分数:10.00)_17.设常数 a0,求函数 (分数:10.00)_18.计算二重积分 (分数:10.00)_19.设函数 f(x)在0,1上可导,且 (分数:10.00)_20.已知函数 (分数:11.00)_21.已知曲线 y=f(x)在0,a(当 x0 时,f(x)0)上与 x 轴围成的面积值比 f(a)大 be a (其中常数a0,b0),且 f(x)

    6、在 x=b 处取极小值,试求 f(x)的表达式 (分数:11.00)_设矩阵 (分数:11.00)(1).计算 A 2 ;(分数:5.50)_(2).证明矩阵 E+A 可逆,并求(E+A) -1 (分数:5.50)_22.设矩阵 (分数:11.00)_考研数学二-405 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设函数 f(x)在(-,+)内有定义,且 f(x)的反函数为 g(x)记 (分数:4.00)A.x=0 必是 F(x)的可去间断点B.x=0 必是 F(x)的跳跃间断点C.x=0 必是 F(x)的连续点 D.x=0 必是 F(x)

    7、的第二类间断点解析:解析 题中说 f(x)的反函数是 g(x),根据反函数的性质有 fg(x)=x,所以有2.函数 y=C 1 e x +C 2 e -x +C 3 xe x (C 1 ,C 2 ,C 3 为任意常数)满足的一个微分方程是(分数:4.00)A.y“-y“-y“+y=0 B.y“-y“+y“+y=0C.y“+y“-y“+y=0D.y“-y“-y“-y=0解析:解析 由题意,(C 1 +C 3 x)e x 是特征方程的二重根 1 对应的项,C 2 e -x 是特征方程的单根-1对应的项,因此,特征方程为(r-1) 2 (r+1)=0,即 r 3 -r 2 -r+1=0从而可知所求方

    8、程为 y“-y“-y“+y=03.设函数 f(x)在(-,+)内存在一阶导数,则下列命题正确的是(分数:4.00)A.若 f(x)只有一个零点,则 f“(x)无零点B.若 f“(x)至少有一个零点,则 f(x)至少有两个零点C.若 f(x)无零点,则 f“(x)至多有一个零点D.若 f“(x)无零点,则 f(x)至多有一个零点 解析:解析 本题需用到如下结论: 若题中先说低阶,那就是:至少,越来越少; 若题中先说高阶,那就是:至多,越来越多 由以上结论直接可知本题应选择选项 D.4.设函数 (分数:4.00)A.b 为任意常数,a=0B.b 为任意常数,a=eC.a 为任意常数,b=0D.a

    9、为任意常数,b=e 解析:解析 首先求出函数 f“(x)对于分段点来说,要用导数的定义式来求;对于其他点来说,直接用导数公式来求即可, 先用导数的定义式求 f(x)在 x=0 处的导数: 然后,要分 和 来做因为如果不分,就不知道要将 f(x)显化成什么 本题说函数 f“(x)连续,就暗示函数 f“(x)存在,既然函数 f“(x)存在,所以 f“(0)存在由于 f“(0)存在,所以肯定有 5.设函数 f(x,y)在点(0,0)处连续,且 (分数:4.00)A.fx(0,0)存在且不为零B.fx(0,0)不存在C.f(x,y)在点(0,0)处取得极小值 D.f(x,y)在点(0,0)处取得极大值

    10、解析:解析 由 存在可知 根据极限的局部保号性, 由于 ,在(0,0)的某一去心邻域内有 ,即 f(x,y)f(0,0) 根据极值定义,f(x,y)在(0,0)处取得极小值,故选 C. 由于 ,故排除 A、B. 还可由 存在得到 f(x,y)在点(0,0)处可微,这是由于 6.设区域 D 是由 y=x 2 (0x1),y=-x 2 (-1x0),y=1 及 x=-1 所围成的平面区域,则 (分数:4.00)A.0B.1C.2 D.4解析:解析 用 y=x 2 (-1x0)把 D 分割成 D 1 和 D 2 (如下图所示),其中 D 1 =(x,y)|-1x1,x 2 y1, D 2 =(z,y

    11、)|-1x0,-x 2 yx 2 记 ,根据二重积分的可加性,有 因为 f(x)(-x,y)=-f(x,y),且 D 1 关于 y 轴对称,故 ;因为 f(x,-y)=-f(x,y),且 D 2 关于x 轴对称,故 由于 D 1 关于 y 轴对称,D 2 关于 x 轴对称,故 D 的面积就等于下图中阴影部分面积的 2 倍于是 7.设 a,b,c,d,e,f 均为常数,则下列向量组线性无关的为 A. 1=(1,-1,0,2) T, 2=(0,1,-1,1) T, 3=(0,0,0,0) T B. 1=(a,b,c) T, 2=(b,c,d) T, 3=(c,d,a) T, 4=(d,a,b) T

    12、 C. 1=(a,1,b,0,0) T, 2=(c,0,d,1,0) T, 3=(e,0,f,0,1) T D. 1=(1,2,1,5) T, 2=(1,2,3,6) T, 3=(1,2,5,7) T, 4=(0,0,0,1) T(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 单位向量组(1,0,0) T ,(0,1,0) T ,(1,0,0) T 是线性无关的,而如果某个向量组线性无关,则增加维数后(相应的位置)仍线性无关, 选择题中判断线性相(无)关时很少使用定义,大多是用性质,因此请大家务必掌握线性相(无)关的性质8.下列矩阵中与矩阵 合同的矩阵是 A B C D (分数:4.00)A.

    13、B. C.D.解析:解析 两个对称矩阵合同的充分必要条件是:将这两个矩阵写为二次型,再化为标准形,则两个标准形的正负惯性指数相同 将 对应的二次型写为 ,用配方法(用正交变换法也可)将其化为标准形 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)解析:2-2ln|1-e x |+C 解析 10.微分方程 ydx-tanxdy=0 的通解为 1 (分数:4.00)解析:y=Csinx 解析 原方程可化为 分离变量得 两端积分 即 11.已知函数 z=f(x,y)的全微分为 dx=(x+y)dx+(x-y)dy,且 f(0,0)=1,则 f(x,y)= 1 (分数:4.00)解析

    14、: 解析 由 dz=(x+y)dx+(x-y)dy 可知 等式两边分别对 x、y 积分得 比较两式得 由 f(0,0)=1 得 C=1,故 12.设函数 (分数:4.00)解析:0 解析 13.已知 ,则 (分数:4.00)解析:2 解析 因为 ,由题意得 由于 存在, ,故当 x0 时, 于是 14.设矩阵 (分数:4.00)解析: 解析 设 则 因此,只要计算出 B n 和 C n 即可,求 B n 由于 T =2,所以 求 C n 将矩阵 C 写为 ,由二项式定理可求得 所以 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.求极限 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 16.设函

    15、数 u=f(x,y,z)具有二阶连续偏导数,且 z=z(x,y)由方程 e yz -xy=1 所确定,求 du 与 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 令 F(x,y,z)=e yz -xy-1,则 F x =-y,F y =ze yz -x,F z =ye yz 于是 从而 故 17.设常数 a0,求函数 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 显然,f(x)的不可导点为 x=0 和 x=a,驻点为 可能极值点有三个,通过验证可知只有极大值点 x=0,对应的极大值为 接下来求区间端点处的极限值: 所以, 18.计算二重积分 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 记 因

    16、为 f(-x,y)=-f(x,y),且 D 关于 y 轴对称,故 因为 g(-x,y)=g(x,y),且 D 关于 y 轴对称,故 ,其中 D 1 =(x,y)|x 2 +y 2 1,yx0 于是 19.设函数 f(x)在0,1上可导,且 (分数:10.00)_正确答案:()解析:证 设辅助函数为 F(x)=e -x2 f(x) 根据积分中值定理,在区间 上存在一点 ,使得 f(1)=e 1-2 f() 又由于 F(1)=e -1 f(1),F()=e -2 f(),故 F()=F(1) 由于函数 F(x)在闭区间,1上连续在开区间(,1)内可导,且 F()=F(1),所以根据罗尔定理可知存在

    17、 (,1) 20.已知函数 (分数:11.00)_正确答案:()解析:解 由于 f(x)在区间(-,+)内存在原函数,所以 f(x)在区间(-,+)内连续,或 f(x)在区间(-,+)内只有第二类间断点而没有第一类间断点, 由于 说明 x=0 不可能是 f(x)的第二类间断点,故 f(x)在 x=0 处一定连续 根据连续的定义,有 f(0)=A=0 当 x0 时, 当 x0 时, 由于f(x)dx 在 x=0 处可导,故在 x=0 处连续,于是 1+C 1 =C 2 令 C 1 =C,则 f(x)在区间(-,+)内的所有原函数为 21.已知曲线 y=f(x)在0,a(当 x0 时,f(x)0)

    18、上与 x 轴围成的面积值比 f(a)大 be a (其中常数a0,b0),且 f(x)在 x=b 处取极小值,试求 f(x)的表达式 (分数:11.00)_正确答案:()解析:解 由题意, 即 两边对 x 求导,得 f(x)-f“(x)=be x ,即有一阶线性微分方程 ,且满足 y| x=0 =-b 其通解为 设矩阵 (分数:11.00)(1).计算 A 2 ;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 (2).证明矩阵 E+A 可逆,并求(E+A) -1 (分数:5.50)_正确答案:()解析:解 由 所以 A+E 可逆,且 22.设矩阵 (分数:11.00)_正确答案:()解析:解 矩阵

    19、 A 是 4 阶实对称方阵,肯定有 4 个实特征值,现求这 4 个特征值 令|A-E|=0,即 , 解得 1 =-2, 2 = 3 = 4 =2 当 1 =-2 时,特征向量为 ,其中 k0 当 1 = 3 = 4 =2 时,特征向量为 ,其中 k 1 ,k 2 ,k 3 不同时为 0 记 f(x)=x 3 -2x+5,又由于 B=A 3 -2A+5E,故 4 阶矩阵 B 的 4 个特征值分别为 f( 1 ),f( 2 ),f( 3 ),f( 4 ) f( 1 )=f(-2)=-8+4+5=1,对应的特征向量为 f( 2 )=f( 3 )=f( 4 )=f(2)=8-4+5=9,对应的特征向量为 由此可知,矩阵 B 有三重根特征值 9,此特征值对应的特征向量的最大无关组中含三个向量,所以矩阵 B可以对角化(B 可以相似于对角矩阵) 所以,当


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