1、考研数学二-405 (1)及答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：18，分数：100.00)1.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 ，向量 （分数：4.00）_2.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由 （分数：4.00）_设 A，B 为 n 阶矩阵（分数：4.00）(1).是否有 ABBA（分数：2.00）_(2).若 A 有特
2、征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_设 为 n 维非零列向量， （分数：8.00）(1).证明：A 可逆并求 A -1 ；（分数：4.00）_(2).证明： 为矩阵 A 的特征向量（分数：4.00）_设矩阵 （分数：8.00）(1).求 y（分数：4.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：4.00）_设 A 是三阶实对称矩阵，rA=1，A2 -3A=O，设(1，1，-1)T 为 A 的非零特征值对应的特征向量（分数：8.00）(1).求 A 的特征值（分数：4.00）_(2).求矩阵 A（分数：4.00）_3.设三阶实对称矩阵 A 的特征值
3、为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 ，属于特征值 2 = 3 =2 的特征向量为 （分数：4.00）_4.设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：A 可对角化 （分数：4.00）_5.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化 （分数：4.00）_设 （分数：8.00）(1).证明：A 可对角化（分数：4.00）_(2).求 A m （分数：4.00）_6.设 （分数：4.00）_7.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =O证明：A 不可以对角化 （分数：4.00）_8
4、.设 A 为三阶矩阵，A i =i i (i=1，2，3)， （分数：4.00）_9.设 为 （分数：4.00）_10.设 ，|A|=-1， （分数：4.00）_设 AB， （分数：8.00）(1).求 a，b（分数：4.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：4.00）_设 （分数：8.00）(1).求 a（分数：4.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：4.00）_设 （分数：8.01）(1).求 a（分数：2.67）_(2).求 A 的特征向量（分数：2.67）_(3).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角阵（分数：2.67）_考
5、研数学二-405 (1)答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：18，分数：100.00)1.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 ，向量 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方法一 令 ，则 ，则 ，于是 方法二 令 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ，解得 x 1 =2，x 2 =-2，x 3 =1，则 2.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否
6、一定为 A 的特征向量?说明理由 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 AX=X 得 A 2 X=A(AX)=A(X)=AX= 2 X 可知 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量若 A 2 X=AX,其中 ，A 2 =O，A 2 的特征值为 =0，取 显然 A 2 X=0X, 设 A，B 为 n 阶矩阵（分数：4.00）(1).是否有 ABBA（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 一般情况下，AB 与 BA 不相似，如 (2).若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 因为|A|=n!0，所以 A 为可逆矩阵，取 P=A，则有
7、 P -1 ABP=BA，故 ABBA设 为 n 维非零列向量， （分数：8.00）(1).证明：A 可逆并求 A -1 ；（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 (2).证明： 为矩阵 A 的特征向量（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为设矩阵 （分数：8.00）(1).求 y（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 3 为 A 的特征值，所以|3E-A|=0，解得 y=2(2).求可逆矩阵 P，使得(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 (AP) T (AP)=P T A T AP=P T A 2 P， 令 |E-A 1
8、|=0 得 1 =1， 2 =9， 当 =1 时，由(E-A 1 )X=0 得 =9 时，由(9E-A1)X=0 得 单位化得 ，令 ，则 设 A 是三阶实对称矩阵，rA=1，A2 -3A=O，设(1，1，-1)T 为 A 的非零特征值对应的特征向量（分数：8.00）(1).求 A 的特征值（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 (2).求矩阵 A（分数：4.00）_正确答案：()解析：设特征值 0 对应的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x 1 +x 2 -x 3 =0，则 0 对应的特征向量为 2 =(-1，1，0) T ， 3 =(1，0，1) T ，令 对应的特
9、征向量为 令 2 = 3 =2 对应的另一个特征向量为 ，由不同特征值对应的特征向量正交，得 3.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 ，属于特征值 2 = 3 =2 的特征向量为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有 对应的特征向量为 令 2 = 3 =2 对应的另一个特征向量为 ，由不同特征值对应的特征向量正交，得 4.设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：A 可对角化 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由(aE-A
10、)(bE-A)=O，得|aE-A|bE-A|=0，则|aE-A|=0 或者|bE-A|=0又由(aE-A)(bE-A)=O，得 r(aE-A)+r(bE-A)n 同时 r(aE-A)+r(bE-A)r(aE-A)-(bE-A)=r(a-b)E=n 所以 r(aE-A)+r(bE-A)=n (1)若|aE-A|0，则 r(aE-A)=n，所以 r(6E-A)=0，故 A=bE (2)若|bE-A|0，则 r(bE-A)=n，所以 r(aE-A)=0，故 A=aE (3)若|aE-A|=0 且|bE-A|=0，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值 方程组(aE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(a
11、E-A)个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(aE-A)个； 方程组(bE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(bE-A)个 因为 n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化5.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则 AX=X，显然 A 2 X= 2 X，因为 ， 正交，所以
12、 A 2 = T T =O，于是 2 X=0，而 X0，故矩阵 A 的特征值为 1 = 2 = n =0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(0E-A)=rA1，所以 n-r(0E-A)n-1n，所以 A 不可相似对角化设 （分数：8.00）(1).证明：A 可对角化（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由|E-A|=(-1) 2 (+2)=0 得 1 = 2 =1， 3 =2 当 =1 时，由(E-A)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 当 =-2 时，由(-2E-A)X=0 得 =-2 对应的线性无关的特征向量为 (2).求 A m （分数：4.00）_正确答案：
13、()解析：解 令 ，则 ，且 于是 6.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 1 =-1， 2 = 3 =1， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(E-A)=1， 由 7.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =O证明：A 不可以对角化 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 令 AX=X(X0)，则有 A k X= k X，因为 A k =O，所以 k X=0，注意到X0，故 k =0，从而 =0，即矩阵 A 只有特征值 0 因为 r(0E-A)=rA1，所以方程组(0E-A)X=0 的基础解系至多含 n-
14、1 个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化 方法二 设矩阵 A 可以对角化，即存在可逆阵 P，使得 ，两边 k 次幂得 8.设 A 为三阶矩阵，A i =i i (i=1，2，3)， （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 ，则 ，于是9.设 为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 A= 0 ，即 ，解得 0 =4，x=10，y=-9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 10.设 ，|A|=-1， （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 A*的特征向量也是 A 的特征向量，由 得 ，解得 因为|A|=-1，所以 a=2，于是 a=2，b=-3，c=2， 设
15、 AB， （分数：8.00）(1).求 a，b（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方法一 因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1 = 2 =2，因为 A 相似于对角阵，所以r(2E-A)=1，而 (2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 由(6E-A)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 令 设 （分数：8.00）(1).求 a（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 AB，所以 trA=trB，即 2+a+0=1+(-1)+2，于是 a=0(2).求可
16、逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 A，B 的特征值为 1 =-1， 2 =1， 3 =2 当 =-1 时，由(-E-A)X=0 即(E+A)X=0 得 1 =(0，-1，1) T ； 当 =1 时，由(E-A)X=0 得 2 =(0，1，1) T ； 当 =2 时，由(2E-A)X=0 得 3 =(1，0，0) T ，取 ，则 当 =-1 时，由(-E-B)X=0 即(E+B)X=0 得 1 =(0，1，2) T ； 当 =1 时，由(E-B)X=0 得 2 =(1，0，0) T ； 当 =2 时，由(2E-B)X=0 得 3 =(0，0，
17、1) T ，取 ，则 由 得 取 设 （分数：8.01）(1).求 a（分数：2.67）_正确答案：()解析：解 由 得矩阵 A 的特征值为 1 =-2， 2 = 3 =1， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以相似对角化，从而 r(E-A)=1， 由 (2).求 A 的特征向量（分数：2.67）_正确答案：()解析：解 将 =-2 代入(E-A)X=0，即(2E+A)X=0， 由 得 =-2 对应的线性无关的特征向量为 将 =1 代入(E-A)X=0，即(E-A)X=0， 由 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 (3).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角阵（分数：2.67）_正确答案：()解析：解 令 ，则
