1、考研数学二-403 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. （分数：4.00）A.B.C.D.2.设当 x0 时，有 则_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D.3. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点5.的值_ （分数：4.00）A.等于 0B.大于
2、 0C.小于 0D.不能确定6.函数 y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 满足的一个微分方程是_ A.y“-y“-2y=3xex B.y“-y“-2y=3ex. C.y“+y“-2y=3xex. D.y“+y“-2y=3ex（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 （分数：4.00）A.a=1，b=0B.a=2，b=1C.a=0，b=-1D.a=1，b=18. （分数：4.00）A.P1P3AB.P2P3AC.AP3P2.D.AP1P3.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.设平面区域 D 为 x 2 +y 2 1
3、，则二重积分 （分数：4.00）12.微分方程 xy“+y=0 满足条件 y(2)=1 的解 y= 1 （分数：4.00）13.设 G 是位于曲线 （分数：4.00）14.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 的秩等于 1，A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：9.00）_16.求函数 z=2x 2 -2xy+y 2 在区域 D：|x|+|y|1 上的最大、最小值 （分数：11.00）_17.设 求 （分数：10.00）_18.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲
4、线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：10.00）_19.设 e -2 abe -1 ，证明 alnb-blna3e 4 (ab 2 -a 2 b) （分数：10.00）_20.一质量为 M，长为 l 的均匀细杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C，此质点位于杆 AB 的中垂线上，且与AB 的距离为 a，试求： ()细杆 AB 与质点 C 的相互吸引力的大小； ()当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C(0，a)沿 y 轴移向无穷远处时，克服引力所做的功 （分数：11.00）_21.设函数 y=f(x)在(-，+)内可导，且对任意实数 a，b 均满足 f(a+b)=e a f(b
5、)+e b f(a)，又 f“(0)=1，试求 f(x)及 f“(x) （分数：11.00）_22.设矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：11.00）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 在正交变换 X=QY 下的标准形为 且 Q 的第三列为 （分数：11.00）(1).求矩阵 A;（分数：5.50）_(2).证明：A-E 为负定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵，（分数：5.50）_考研数学二-403 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 原极限可变形为
6、又 2.设当 x0 时，有 则_ A B C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 所以 显然 c=0，则 3. A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 观察发现，本题既是无穷上限的广义积分，又是无界函数的广义积分，瑕点在积分域的边界上 从而 4.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 由 得 f(0)+f“(0)=0，于是
7、f“(0)=0 再由 5.的值_ （分数：4.00）A.等于 0B.大于 0 C.小于 0D.不能确定解析：解析 令 x 2 =t，则 6.函数 y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 满足的一个微分方程是_ A.y“-y“-2y=3xex B.y“-y“-2y=3ex. C.y“+y“-2y=3xex. D.y“+y“-2y=3ex（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设可知 y 1 =e x 及 y 2 =e -2x 是所求方程对应的齐次方程的解，故特征方程有根 r 1 =1，r 2 =-2，特征方程为 (r-1)(r+2)=r 2 +r-2=0， 对应齐次方程
8、为 y“+y“-2y=0 设所求方程为 y“+y“-2y=f(x)将 y * =xe x 代入其中得 f(x)=3e x 故满足的微分方程为 y“+y“-2y=3e x 7.已知 （分数：4.00）A.a=1，b=0 B.a=2，b=1C.a=0，b=-1D.a=1，b=1解析：解析 因 AB，则 tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即 8. （分数：4.00）A.P1P3AB.P2P3A C.AP3P2.D.AP1P3.解析：解析 矩阵 A 作两次行变换可得到矩阵 B，而 AP 3 P 2 ，AP 1 P 3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除 把矩阵 A 第 1 行的 2 倍加至第
9、3 行后，再 1、2 两行互换可得到 B 或者把矩阵 A 的 1、2 两行互换后，再把第 2 行的 2 倍加至第 3 行亦可得到 B，而 P 2 P 3 A 正是后者，所以应选 B二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：2 2 -8 解析 10. （分数：4.00）解析：2 解析 本题为“”型未定式，作变量替换 后未定式化为“ ”型 11.设平面区域 D 为 x 2 +y 2 1，则二重积分 （分数：4.00）解析： 解析 由于积分区域是圆域，故考虑用极坐标进行计算，但本题中被积函数用极坐标表示较复杂，可考虑将被积函数变成 的形式 由于积分区域关于 y=x 对称
10、，所以 12.微分方程 xy“+y=0 满足条件 y(2)=1 的解 y= 1 （分数：4.00）解析：解析 已知 xy“+y=0，分离变量得 两边积分得 将 y(2)=1 代入得 c=2，故13.设 G 是位于曲线 （分数：4.00）解析： 解析 14.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 的秩等于 1，A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1 （分数：4.00）解析： 解析 A 的各行元素之和为 3，则 可见 1 =3 是 A 的一个特征值，又由二次型的秩为 1 知 r(A)=1，从而 A 的另外两个特征值为 2 = 3 =0，故 f
11、在正交变换下的标准形为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：9.00）_正确答案：()解析：16.求函数 z=2x 2 -2xy+y 2 在区域 D：|x|+|y|1 上的最大、最小值 （分数：11.00）_正确答案：()解析：令 解方程组得驻点(0，0)D，且 z(0，0)=0，D 的边界|x|+|y|=1 由四条线段组成： L 1 ：x+y=1， L 2 ：x-y=1 (0x1) L 3 ：x+y=-1， L 4 ：y-x=1 (-1x0) 在 L 1 上：z=5x 2 -4x+1=0，由 z“ x =10x-4=0，得 则 故最大值为 2，最小值为 在 L 2 上：
12、z=x 2 +1，由 z“ x =2x=0，得 x=0，则 z(0)=1，z(1)=2， 故最大值为 2，最小值为 1 在 L 3 上：z=5x 2 +4x+1，由 z“ x =10x+4=0，得 则 故最大值为 2，最小值为 在 L 4 上：z=x 2 +1，由 z“ x =2x=0，得 x=0，则 z(0)=1，z(-1)=2， 故最大值为 2，最小值为 1 综上所述，z 在 D 上的最大值为 2，最小值为 17.设 求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：18.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：因为曲线
13、是上凸的，所以 y“0，由题设得 这是高阶可降阶方程的初值问题： 令 y“=p， 则有 (C 1 为任意常数) 因为曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，所以 p| x=0 =1，从而 积分得 C 2 为任意常数 因为曲线过点(0，1)，所以 所求曲线为 因为 所以当 时函数取极大值 19.设 e -2 abe -1 ，证明 alnb-blna3e 4 (ab 2 -a 2 b) （分数：10.00）_正确答案：()解析：思路一： 要证 alnb-blna3e 4 (ab 2 -a 2 b)， 即要证 构造辅助函数 则 F(x)在e -2 ，e -1 上连续，在(e -2
14、 ，e -1 )内可导，应用拉格朗日中值定理，得 设 e -2 te -1 ，则有 即 g(x)在(e -2 ，e -1 )内单调减小，从而 g(t)g(0)=3e 4 故 即 alnb-blna3e 4 (ab 2 -a 2 b) 思路二： 要证 alnb-blna3e 4 (ab 2 -a 2 b)，即证 设 则 当 e -2 xe -1 时，“(x)0，所以在区间(e -2 ，e -1 )内 “(x)单调减少，则有 “(x)“(e -2 )=3e 4 -3e 4 =0， 所以 (x)在区间(e -2 ，e -1 )内单调减少 又 e -2 abe -1 ，所以 (b)(a)，即 20.一
15、质量为 M，长为 l 的均匀细杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C，此质点位于杆 AB 的中垂线上，且与AB 的距离为 a，试求： ()细杆 AB 与质点 C 的相互吸引力的大小； ()当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C(0，a)沿 y 轴移向无穷远处时，克服引力所做的功 （分数：11.00）_正确答案：()解析：()如图，选 x 做积分变量，则 x 的取值范围为 引力微元为 所以 令 x=atant，则 ()根据上面的计算，当质点 C 位于坐标(0，y)处时，引力的大小为 于是 令 有 21.设函数 y=f(x)在(-，+)内可导，且对任意实数 a，b 均满足 f(a+b)=e
16、a f(b)+e b f(a)，又 f“(0)=1，试求 f(x)及 f“(x) （分数：11.00）_正确答案：()解析：由于对任意 a，b，等式 f(a+b)=e a f(b)+e b f(a)均成立，故建立微分方程根据导数的定义，利用导数的定义式 f(x+x)展开 令 a=b=0，由 f(a+b)=e a f(b)+e b f(a)得 f(0)=0，又 f“(0)=1， 故 f“(x)=e x f“(0)+f(x)=e x +f(x)， 即 f(x)的微分方程为 f“(x)-f(x)=e x ， 两边乘 e -x ，得 e -x f(x)“=1， 两边积分，得 22.设矩阵 A 与 B
17、相似，其中 （分数：11.00）_正确答案：()解析：()因为 AB，则|A|=|B|，tr(A)=tr(B)，即 解得 x=0，y=2 ()由()可知 A 的特征值为 1 =-1， 2 =2， 3 =-2 对应特征向量可由(A+ i E)x=0(i=1，2，3)求得，分别为 1 =(0，2，-1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(1，0，-1) T ， 则 已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 在正交变换 X=QY 下的标准形为 且 Q 的第三列为 （分数：11.00）(1).求矩阵 A;（分数：5.50）_正确答案：()解析：二次型 X T AX 在正
18、交变换下的标准形为 则二次型矩阵 A 的特征值为-1，-1，0又因为 Q 的第三列是 说明 3 =(1，1，0) T 是矩阵 A 关于特征值 =0 的特征向量因为 A 是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，设 A 关于 1 = 2 =-1 的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 T 3 =0，即 x 1 +x 2 =0 取 1 =(0，0，1) T ， 2 =(-1，1，0) T 为特征值 1 = 2 =-1 的特征向量 由 A( 1 ， 2 ， 3 )=(- 1 ，- 2 ，0)，得 (2).证明：A-E 为负定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵，（分数：5.50）_正确答案：()解析：由于矩阵 A 的特征值为-1，-1，0，那么 A-E 的特征值为-2，-2，-1，因为 A-E 的特征值全部小于0，所以 A-E 负定
