1、考研数学二-401 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：19，分数：100.00)1.计算行列式 （分数：4.00）_2.计算 （分数：9.00）_3.证明： （分数：9.00）_设 （分数：4.00）(1).计算 D（分数：2.00）_(2).求 M 31 +M 33 +M 34 （分数：2.00）_4.设 （分数：4.00）_5.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=0 （分数：4.00）_6.设 AX=A+2X，其中 （分数：4.00）_7.设 （分数：4.00）_8.设四阶矩阵 B 满足 ，
2、且 （分数：4.00）_9.设 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，且 （分数：4.00）_10.设 （分数：9.00）_11.设 （分数：9.00）_12.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O求：(1)(A+2E) -1 ；(2)(A+4E) -1 （分数：4.00）_13.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =O，求(E-A) -1 （分数：4.00）_设 A，B 为 n 阶矩阵， （分数：8.00）(1).求 PQ（分数：4.00）_(2).证明：当 P 可逆时，Q 也可逆（分数：4.00）_14.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 =|A|E证明：A=A* （分数：4.
3、00）_15.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 -2A-8E=O证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n （分数：4.00）_16.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一 （分数：4.00）_17.设 A 是 mn 阶矩阵，若 A T A=O，证明：A=O （分数：4.00）_考研数学二-401 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：19，分数：100.00)1.计算行列式 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 2.计算 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 3.证明： （分数：9.00）_正确答案：()解析：证明 设 （分数：4.00）(1
4、).计算 D（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (2).求 M 31 +M 33 +M 34 （分数：2.00）_正确答案：()解析：M 31 +M 33 +M 34 =1A 31 +0A 32 +1A 33 +(-1)A 344.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 (1)|-2B|=(-2) 3 |B|=-8； (2) ，则 5.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=0 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由 A2= 2 A，B 2 =B 及(A+B) 2 =A+B=A 2 +B 2 +AB+BA 得 A
5、B+BA=O 或 AB=-BA，AB=-BA 两边左乘 A 得 AB=-ABA，再在 AB=-BA 两边右乘 A 得 ABA=-BA，则 AB=BA，于是 AB=O6.设 AX=A+2X，其中 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 AX=A+2X 得(A-2E)X=A，其中 因为|A-2E|=-10，所以 X=(A-2E) -1 A， 由 得 7.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 AX+|A|E=A*+X 得 (A-E)X=A*-|A|E=A*-AA*=(E-A)A*， 因为|E-A|=-30，所以 E-A 可逆，于是 X=-A*， 由|A|=6 得 X=-6A -
6、1 由 得 ，于是 8.设四阶矩阵 B 满足 ，且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 9.设 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 A*BA=2BA-8E 得 AA*BA=2ABA-8A， 即-2BA=2ABA-8A，整理得(A+E)B=4E，所以 10.设 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 则 11.设 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 令 C=(a n )，则 ，从而 12.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A-3E=O求：(1)(A+2E) -1 ；(2)(A+4E) -1 （分数：4.00）_正确答案
7、：()解析：解 (1)由 A 2 +2A-3E=O 得 A(A+2E)=3E， ，根据逆矩阵的定义，有 (2)由 A 2 +2A-3E=O 得(A+4E)(A-2E)+5E=O，则 13.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =O，求(E-A) -1 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 E k -A k =(E-A)(E+A+A 2 +A k-1 )，又 E k -A k =E， 所以(E-A) -1 =E+A+A 2 +A k-1 设 A，B 为 n 阶矩阵， （分数：8.00）(1).求 PQ（分数：4.00）_正确答案：()解析：解 (2).证明：当 P 可逆时，Q 也可逆（分数：
8、4.00）_正确答案：()解析：证明 因为|P|=|A|B|，所以当 P 可逆时，|A|B|0，而 PQ=|A|B|E，即 ，于是 Q 可逆且14.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 =|A|E证明：A=A* （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 AA*=|A|E，又已知 A 2 =|A|E，所以 AA*=A 2 ，而 A 可逆，故 A=A*15.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 -2A-8E=O证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由 A2 2 -2A-8E=O 得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得 r(4E-A
9、)+r(2E+A)n又r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有 r(4E-A)+r(2E+A)=n16.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(B-C)=O 故 rA+r(B-C)n，因为 A 可逆，所以rA=n，从而 r(B-C)=0，B-C=0，于是 B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的17.设 A 是 mn 阶矩阵，若 A T A=O，证明：A=O （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为，rA=r(A T A)，而 A T A=O，所以 rA=0，于是 A=O
