1、考研数学二-395 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设存在正整数 N，使得 nN 时，有 a n Ab n ，且 则_ A 但 不一定存在 B 都存在，但不一定相等 C 都不一定存在 D （分数：4.00）A.B.C.D.2.若 f(x)在a，b上可导，且 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0今给出下列论断： f(x)在(a，b)内必有拐点 f(x)在(a，b)内必有极大值点和极小值点 f(x)的最大值点和最小值点都在(a，b)内 f(x)在(a，b)内只可能有有限个极值点 其中正确的论断有_（分数：
2、4.00）A.一个B.二个C.三个D.四个3.设 D t =(x，y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ，t0，f(x)为满足 的连续函数， （分数：4.00）AB.2C.-2D.-4. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 （分数：4.00）A.取极大值B.取极小值C.可导D.不可导6.设 f 0 (x)在(-，+)上可积，且满足 （分数：4.00）A.连续，但不一定可导B.可导，但不一定二阶可导C.二阶可导，但不一定三阶可导D.三阶可导，但不一定四阶可导7.n 阶矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B，下列命题正确的是_（分数：4.00）A.A 与 B 有相同的特征值和特
3、征向量B.Ax=b 是 Bx=b 的同解方程组C.A 的行向量组与 B 的行向量组是等价的D.A 的列向量组与 B 的列向量组是等价的8.已知 （分数：4.00）A.a=-10.B.a=10C.a10.D.a-10.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 y“-4y“+4y“=1 的一般解为 1 （分数：4.00）10.定积分 （分数：4.00）11.若 f(x)在(-1，1)内可微，且 f“(0)=0，f“(0)=A，则 （分数：4.00）12.设 z=xf(y)-yg(xy)，其中函数 f，g 具有二阶连续导数若 f“(0)=1，g“(0)=g“(0)=A则 （分数：4.0
4、0）13.设 则 （分数：4.00）14.设 A 是 n(n2)阶非零实矩阵，满足 a ij =A ij (i=1，2，n；j=1，2，n)，若 a 11 =a 12 =a 13 =a 1n ，则 a 11 = 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且 F(0)=1，F(x)f(x)=cos2x，求 （分数：10.00）_17.求常微分方程初始值问题 （分数：10.00）_若 f(x)=3x 2 +64x -3 （分数：10.00）(1).在(0，+)内作 y=f(x)的图形；（分数：5.
5、00）_(2).证明： （分数：5.00）_18.已知平面图形 D 由 y 轴、曲线 y=e x (x0)和该曲线过原点的切线围成，求 D 的面积和 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积 （分数：10.00）_19.设 f(x)在a，b上连续非负，且单调增加， 为区域 D=(x，y)R 2 |axb，0yf(x)的重心，证明 （分数：11.00）_（分数：11.00）(1).若当 x0 时，nlnf(x)与 lncosx 是等价无穷小，求参数 n 的值；（分数：5.50）_(2).证明不等式：f 3 (x)cosx， （分数：5.50）_20. （分数：11.00）_21.若 n 阶矩阵 A 满
6、足 AA T =E，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则称 A 为正交矩阵证明： ()若 A，B 是 n 阶正交矩阵，则 A T B 也是 n 阶正交矩阵； ()若 是正交矩阵 A 的实特征值，则 只可能是 1 或-1； ()若|A|B|0，则|A+B|=|A|+|B| （分数：11.00）_考研数学二-395 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设存在正整数 N，使得 nN 时，有 a n Ab n ，且 则_ A 但 不一定存在 B 都存在，但不一定相等 C 都不一定存在 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为存在
7、 N，当 nN 时，a n Ab n ，所以 0A-a n b n -a n 对上述不等式令 n，由题设条件及夹逼准则，有 即得 另外由 b n =(b n -a n )+a n ，又得到 注意：由 a n b n 和 推不出 存在，例如： 2.若 f(x)在a，b上可导，且 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0今给出下列论断： f(x)在(a，b)内必有拐点 f(x)在(a，b)内必有极大值点和极小值点 f(x)的最大值点和最小值点都在(a，b)内 f(x)在(a，b)内只可能有有限个极值点 其中正确的论断有_（分数：4.00）A.一个B.二个C.三个 D.四个解析
8、：解析 对选项：用反证法，如果 f(x)在(a，b)内没有拐点，则 f(x)在(a，b)内都是上凸的，或者都是下凸的即 f“(x)在(a，b)内是单调减的，或者 f“(x)在(a，b)内是单调增的因此 f“(x)在(a，b)至多有一个零点但由条件 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0，可推出 f(x)在(a，b)内至少还有一个零点，即 f(x)在a，b内至少有三个零点，因此 f“(x)在(a，b)内至少有两个零点，这与 f“(x)在(a，b)内单调矛盾因此正确 对选项：f(x)在a，b上连续 f(x)在a，b上有最大、最小点； f(a)=f(b)和 f“(a)f“(b
9、)0 最大最小点不在端点； 区间内的最大值、最小值点必是极大值、极小值点 f(x)在(a，b)内必有极大值点和极小值点，正确 对选项：不正确，可举反例： 满足条件：在a，b上可导，且 f“ + (a)f“ - (b)0 和 f(a)=f(b)=0其导函数为 3.设 D t =(x，y)R 2 |x 2 +y 2 t 2 ，t0，f(x)为满足 的连续函数， （分数：4.00）AB.2 C.-2D.-解析：解析 依题得 令 u=t-，得 因为 f(u)是连续函数，所以 F(t)可导，且 所以 4. A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 又 则 5.设 （分数：4.
10、00）A.取极大值B.取极小值C.可导D.不可导 解析：解析 由极限的保号性可知，存在 x=a 点的某邻域 U(a)，当 xU(a)时， 即当 xa 时，f(x)f(a)；当 xa 时，f(x)f(a)，故点 x=a 不是极值点 又 6.设 f 0 (x)在(-，+)上可积，且满足 （分数：4.00）A.连续，但不一定可导B.可导，但不一定二阶可导C.二阶可导，但不一定三阶可导D.三阶可导，但不一定四阶可导 解析：解析 f 0 (x)在(-，+)上可积，则 连续，但不一定可导； 可导，但不一定二阶可导； 二阶可导，但不一定三阶可导； 7.n 阶矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B，下列命题正确的
11、是_（分数：4.00）A.A 与 B 有相同的特征值和特征向量B.Ax=b 是 Bx=b 的同解方程组C.A 的行向量组与 B 的行向量组是等价的 D.A 的列向量组与 B 的列向量组是等价的解析：解析 矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B，故有可逆矩阵 P，使 PA=B，将 A，B 按行分块，有 故 i =P i1 1 +P i2 2 +P in n (i=1，2，n)， 故 1 ， 2 ， n 可由 1 ， 2 ， n 线性表出 又因为 A=P -1 B，从而 即 1 ， 2 ， n 可由 1 ， 2 ， n 线性表出 所以 A 与 B 的行向量组是等价的 由于|E-B|=|E-PA|E-A
12、|，经初等变换，矩阵 A，B 的特征值是不同的，从而特征向量也不同A不成立 对于 B，仅对系数矩阵而非增广矩阵作初等行变换，两个方程组不同解，B 不成立 初等行变换后，A，B 的列向量组不等价，如 8.已知 （分数：4.00）A.a=-10. B.a=10C.a10.D.a-10.解析：解析 已知 则 b=2 是 A 的二重特征值，应对应两个线性无关特征向量，故 r(2E-A)=1， 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 y“-4y“+4y“=1 的一般解为 1 （分数：4.00）解析： (C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数) 解析 y“-4y“+4y“=0 的特征方程为
13、 3 -4 2 +4=0，特征根是 1 =0， 2 = 3 =2因而齐次微分方程一般解为 观察得到非齐次微分方程的一个特解为 因此非齐次微分方程的一般解为 10.定积分 （分数：4.00）解析： 解析 思路一： 又 则 思路二： 令 =arcsinx，则 x=sin，dx=cosd，故 11.若 f(x)在(-1，1)内可微，且 f“(0)=0，f“(0)=A，则 （分数：4.00）解析： 解析 其中 在 x 与 ln(1+x)之间，即 由夹逼准则得到 再由极限运算准则得 12.设 z=xf(y)-yg(xy)，其中函数 f，g 具有二阶连续导数若 f“(0)=1，g“(0)=g“(0)=A则
14、 （分数：4.00）解析：1 解析 由已知得 所以 13.设 则 （分数：4.00）解析： 解析 令 x-2=t，则 dx=dt，故 14.设 A 是 n(n2)阶非零实矩阵，满足 a ij =A ij (i=1，2，n；j=1，2，n)，若 a 11 =a 12 =a 13 =a 1n ，则 a 11 = 1 （分数：4.00）解析： 解析 因为 a ij =A ij ，故 A * =A ji =A ij T =a ij T =A T ，则 AA * =AA T =|A|E |A| 2 =|A| n A 2 (|A| n-2 -1)=0 所以|A|=0 或者|A| n-2 =1因为 A 为非
15、零矩阵，所以 A 中至少有一元素 a ij 不等于 0，则 因此得|A| n-2 =1 |A|=1(n2)，则 得 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：利用等价无穷小：1-e x2 -x 2 ，sinx 2 x 2 16.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且 F(0)=1，F(x)f(x)=cos2x，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由已知得 F“(x)=f(x)，又由 F(x)f(x)=cos2x，得 从而有 F 2 (x)=sin2x+C 又由 F(0)=1，得 C=1，所以 F 2 (x)=sin2x+1，
16、则 因此 17.求常微分方程初始值问题 （分数：10.00）_正确答案：()解析：思路一： 将 y 看成自变量，x 看成是 y 的函数，则原方程是关于未知函数 x=x(y)的一阶线性微分方程 此方程的通解为 由初始条件得 C=e，所求特解为 x=ey-ye y 思路二： 若 f(x)=3x 2 +64x -3 （分数：10.00）(1).在(0，+)内作 y=f(x)的图形；（分数：5.00）_正确答案：()解析： 考察(0，+)内的函数特性 因为 f“(x)=6x-192x -4 =6x(1-32x -5 )， 由 f“(x)=6x-192x -4 =0，得唯一驻点 x 1 =2 又 f“(
17、x)=6+768x -5 0，曲线为下凸， x 1 =2 为极小值点，极小值为 f(2)=20 因为 所以 f(x)在(0，+)内有垂直渐近线 x=0 因为 所以 f(x)在(0，+)内没有斜渐近线 由以上分析，得下图 (2).证明： （分数：5.00）_正确答案：()解析：由于 f(x)=3x 2 +64x -3 在(0，+)上连续且有唯一极值点 x=2，且 所以 x=2 也是 f(x)=3x 2 +64x -3 在(0，+)内的最小值点，最小值为 f(2)=20 所以， 18.已知平面图形 D 由 y 轴、曲线 y=e x (x0)和该曲线过原点的切线围成，求 D 的面积和 D 绕 y 轴
18、旋转所得旋转体的体积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：曲线 y=e x (x0)在(x 0 ，e x0 )处的切线方程为 y=e x0 +e x0 (x-x 0 )，令 x=0，y=0，得 x 0 =1，故曲线 y=e x (x0)过原点的切线方程为 y=e+e(x-1)(如下图)，所以 D 的面积为 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为 19.设 f(x)在a，b上连续非负，且单调增加， 为区域 D=(x，y)R 2 |axb，0yf(x)的重心，证明 （分数：11.00）_正确答案：()解析：本题要证 即要证 思路一： 将 b 视为变量，引入变上限的积分 F(x)，证明函数不等式
19、 F(x)0 令 则 F(a)=0 又 其中 (a，x)，又 f(x)单调增加，因而 F(x)0，令 x=b，则不等式(1)成立 思路二： 利用积分的不等性质和对区间的可加性，按被积函数同号划分区间 其中用到： 思路三： 利用广义积分中值定理 因为，其中 （分数：11.00）(1).若当 x0 时，nlnf(x)与 lncosx 是等价无穷小，求参数 n 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：当 x0 时， 由 (2).证明不等式：f 3 (x)cosx， （分数：5.50）_正确答案：()解析：证明不等式：由于 f(x)，cosx 都是偶函数，及 f 3 (0)=cos0=1，所以只
20、需考虑 x(0， 引入函数 得 再引入函数 h(0)=0 h“(0)=0， h“(x)=12x 2 -6xsin2x=6x(2x-sin2x)0 由此得，当 x(0， 即有 f 3 (x)cosx， 20. （分数：11.00）_正确答案：()解析：()设 则 得齐次方程组 由 得其基础解系 1 =2，2，1，0 T ， 2 =1，0，0，1 T ，其通解为x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 T =c 1 1 +c 2 2 ，即 x 1 =2c 1 +c 2 ，x 2 =2c 1 ，x 3 =c 1 ，x 4 =c 2 (c 1 ，c 2 为任意常数) 所求的所有矩阵为 其中 c 1 ，c
21、2 为任意常数 21.若 n 阶矩阵 A 满足 AA T =E，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则称 A 为正交矩阵证明： ()若 A，B 是 n 阶正交矩阵，则 A T B 也是 n 阶正交矩阵； ()若 是正交矩阵 A 的实特征值，则 只可能是 1 或-1； ()若|A|B|0，则|A+B|=|A|+|B| （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 A，B 为正交矩阵，则 AA T =E，|A|=|A T | |A| 2 =1 |A|=1；同理有|B|=1因此|A|+|B|=0 或2 ()A 为正交矩阵，则有 AA T =E，即 A -1 =A T ，从而有 A -1 (A -1 ) T =A T (A -1 ) T =(A -1 A) T =E， 由此证得 A -1 ，A T 为正交矩阵 A，B 为正交矩阵，则 (AB)(AB) T =ABB T A T =A(BB T )A T =AA T =E， 所以 AB 也为正交矩阵 综上可知 A T B 也为正交矩阵 ()若 A 为正交矩阵， 是 A 的实特征值，设 p0 为相应 的特征向量，则 Ap=p p T A T =p T p T A T (Ap)=p T (p) p T (A T A)p= 2 (p T p) p T p= 2 (p T p) 由 p T p0
