1、考研数学二-394 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设常数 a，b 满足 则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.下列等式中正确的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 y=f(x)在a，b上单调，且有连续的导函数，反函数为 x=g(y)，又 =f(a)，=f(b)， （分数：4.00）A.a-b-A0B.b-a-A0C.-b+A0D.b-a+A04.设 f(x)在(-，+)有连续的二阶导数且满足：f(x+h)+f(x-h)=f“(x+h) 则 Af(x)只能恒为零 B （分数：4.00
2、）A.B.C.D.5.设 f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )的某邻域内有连续的二阶偏导数，又记 A=f“ xx (x 0 ，y 0 )，B=f“ xy (x 0 ，y 0 )，C=f“ yy (x 0 ，y 0 ) 则下列命题中错误的是 A.若 f(x0，y 0)是极值，则 AC-B20. B.若 f“x(x0，y 0)0，则 f(x0，y 0)不是极值 C.若 AC-B20，则 f(x0，y 0)是极值 D.若 f(x0，y 0)是极小值，则 f“x(x0，y 0)=0 且 A0.（分数：4.00）A.B.C.D.6.累次积分 其中 a0 为常数，则 I 可写成 A B C D
3、 （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 ， 1 ， 2 ， 3 均为 4 维列向量，若|A|=|， 1 ， 2 ， 3 |=3，|B|=|， 1 ， 2 ， 3 |=1，则|A+2B|=（分数：4.00）A.135.B.45.C.15.D.81.8.三元二次型 x T Ax=(x 1 +3x 2 +ax 3 )(x 1 +5x 2 +bx 3 ) 的正惯性指数 p=（分数：4.00）A.1.B.2.C.3.D.与 a、b 有关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. 则 （分数：4.00）10.已知函数 y(x)的参数方程是 （分数：4.00）11.设正值函数 f(x)在1，+)连
4、续，则函数 （分数：4.00）12.曲线 （分数：4.00）13.设 y=y(x)是 y“+4y“+4y=0 满足 y(0)=0，y“(0)=1 的解，则 （分数：4.00）14.二次型 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 （分数：10.00）_(1).设 f(x)在(a，+)连续又存在 （分数：5.50）_(2).求证： （分数：5.50）_设 f(x)在a，b有连续的二阶导数，求证：（分数：11.00）(1). （分数：5.50）_(2).若又有 f(b)=f“(b)=0，则 （分数：5.50）_16.求一曲线通过(2，3)，它在两坐标轴间的任意切线段被
5、切点平分，求此曲线的方程 y=y(x) （分数：10.00）_17.设 f(x，y)在区域 D 上连续，且 （分数：10.00）_设 u=u(x，t)有二阶连续导数，并满足 （分数：10.00）(1).作自变量替换 =x-at，=x+at，导出 u 作为 ， 的函数的二阶偏导数所满足的方程；（分数：5.00）_(2).求 u(x，t)（分数：5.00）_18.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且 求证：至少 （分数：10.00）_19.已知齐次线性方程组 和 （分数：11.00）_设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3 维列向量，其中 3 0，若 A 1 = 2 ，A
6、2 = 3 ，A 3 =0.（分数：11.01）(1).证明 1 ， 2 ， 3 线性无关；（分数：3.67）_(2).求矩阵 A 的特征值和特征向量；（分数：3.67）_(3).求行列式|A+2E|的值（分数：3.67）_考研数学二-394 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设常数 a，b 满足 则 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析一 由 选 A 解析二 用带皮亚诺余项的麦克劳公式 其中 因此 2.下列等式中正确的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析一 直接证 C 正确
7、易知 在-1，1连续，且是奇函数 故选 C 解析二 指出 A、B、D 是错的由于 在0，连续，又 f(x)0， 不正确错误的步骤是 应是 f(x)在(-，+)连续，是奇函数 可能积分 不存在这里 不存在因为 同样道理， 是反常积分(瑕积分)x=0 是瑕点， 是发散的 3.设 y=f(x)在a，b上单调，且有连续的导函数，反函数为 x=g(y)，又 =f(a)，=f(b)， （分数：4.00）A.a-b-A0B.b-a-A0 C.-b+A0D.b-a+A0解析：解析 4.设 f(x)在(-，+)有连续的二阶导数且满足：f(x+h)+f(x-h)=f“(x+h) 则 Af(x)只能恒为零 B （分
8、数：4.00）A. B.C.D.解析：解析一 由 令 h0 得 2f(x)=f“(x) 解此微分方程得 代入原式得 Ce 2x+2h +Ce 2x-2h =2Ce 2x+2h 因此，选 A 解析二 将 f(x+h)+f(x-h)=f“(x+h) 两边对 h 求导得 f“(x+h)-f“(x-h)=f“(x+h) 令 h0 得 其中 a，b 为 常数，代入原式 a(x+h)+b+a(x-h)+b=a 即 5.设 f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )的某邻域内有连续的二阶偏导数，又记 A=f“ xx (x 0 ，y 0 )，B=f“ xy (x 0 ，y 0 )，C=f“ yy (x
9、0 ，y 0 ) 则下列命题中错误的是 A.若 f(x0，y 0)是极值，则 AC-B20. B.若 f“x(x0，y 0)0，则 f(x0，y 0)不是极值 C.若 AC-B20，则 f(x0，y 0)是极值 D.若 f(x0，y 0)是极小值，则 f“x(x0，y 0)=0 且 A0.（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析一 f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )某邻域有连续二阶偏导数条件下，f(x，y)在 P 0 取极值的必要条件是：f“ x (x 0 ，y 0 )=f“ y (x 0 ，y 0 )=0 且 AC-B 2 0(否则 AC-B 2 0，则 f(x 0 ，y
10、 0 )不是极值点)于是 A，B 正确 若 f(x 0 ，y 0 )是极小值 一元函数 z=f(x，y 0 )在 x=x 0 取极小值 且 (否则 A0 6.累次积分 其中 a0 为常数，则 I 可写成 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 这是把极坐标系下的累次积分转换成 Oxy 直角坐标系下的累次积分的问题先将 I 表成 由 D 的极坐标表示： 0，0rasin 即 r 2 =x 2 +y 2 arsin=ay 可知 如下图 若是先 y 后 x 的积分顺序，则 于是 因此选 C 若是先 x 后 y 的积分顺序应是 7.已知 ， 1 ， 2 ， 3 均为 4 维列向
11、量，若|A|=|， 1 ， 2 ， 3 |=3，|B|=|， 1 ， 2 ， 3 |=1，则|A+2B|=（分数：4.00）A.135. B.45.C.15.D.81.解析：解析 由 A+2B=(+2，3 1 ，3 2 ，3 3 ) 知|A+2B|=27|+2， 1 ， 2 ， 3 | =27(|A|+2|B|)=135.8.三元二次型 x T Ax=(x 1 +3x 2 +ax 3 )(x 1 +5x 2 +bx 3 ) 的正惯性指数 p=（分数：4.00）A.1. B.2.C.3.D.与 a、b 有关解析：解析 令 有 x T Ax=y 1 y 2 再令 得 所以必有 p=1. 因为 二、
12、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. 则 （分数：4.00）解析：e-1 解析 又 因此 若对 y n 作恒等变形，这是求等比数列的和按公式得 其中 10.已知函数 y(x)的参数方程是 （分数：4.00）解析： 解析 用参数求导法先求出： 在点 P 处 因此曲线 y=y(x)在点 P 处的曲率 11.设正值函数 f(x)在1，+)连续，则函数 （分数：4.00）解析：2 解析 当 x1 时， 于是 进一步考察单调性 在 ，在 在1，+)上 F(x)在 x=2 取最小值 求 F“(2) 12.曲线 （分数：4.00）解析：解析 13.设 y=y(x)是 y“+4y“+4y=0 满足 y(
13、0)=0，y“(0)=1 的解，则 （分数：4.00）解析： 解析 特征方程 2 +4+4=0，特征根 1 = 2 =-2，方程的通解为 y=e -2x (C 1 x+C 2 ) 方法一：由初条件 y(0)=C 2 =0，y“(0)=C 1 =1 现求积分 方法二：由通解表达式易知，总有 因此对原方程两边求积分得 再由初值得 14.二次型 （分数：4.00）解析： 解析 二次型矩阵 由 矩阵 A 的特征值：1，3，-2 那么经正交变换则二次型标准形为 而规范形是 用配方法亦可： 亦知规范形是 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解法一
14、 注意： 由条件 因此 解法二 由 解法三 由已知条件知 sin6x-(tanx)f(x)=o(x 3 )(x0) 并如同解法一中求得 再由泰勒公式 代入得 化简得 两边除以 x 3 并取极限得 (1).设 f(x)在(a，+)连续又存在 （分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 由极限的性质可知，因 当 x(a，a+)时，f(x)有界，又(2).求证： （分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 f(x)在(0，+)连续，又 其中 e x -1x(x0) 设 f(x)在a，b有连续的二阶导数，求证：（分数：11.00）(1). （分数：5.50）_正确答案：()解析：证法一 其中 代入
15、上式并移项再除以 2 即得结论 证法二 引进辅助函数 则 F(a)=0， 由 F“(x)=0(xa，b)及 F“(a)=0 F“(x)=0(xa，b)，又 F(a)=0 (2).若又有 f(b)=f“(b)=0，则 （分数：5.50）_正确答案：()解析：证法一 将式改写成 因此 证法二 引进辅助函数 由 F (3) (x)=0，xa，b，且 F“(b)=0 F“(x)=0(xa，b)，又 F“(b)=0 F“(x)=0(xa，b)，又由 F(x)=0(xa，b)， 特别 F(b)=0，即原积分等式成立 解析 要把 16.求一曲线通过(2，3)，它在两坐标轴间的任意切线段被切点平分，求此曲线的
16、方程 y=y(x) （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 曲线 y=y(x)上 点(x，y(x)处的切线方程是 Y-y(x)=y“(x)(X-x) 其中(X，Y)是切线上点的坐标，切线与 y 轴的交点是(0，Y)： Y-y(x)=-xy“(x) 与 x 轴的交点(X，0)： 由条件得(Y-y(x) 2 +x 2 =(X-x) 2 +y 2 即 化简得 即 由 xdy+ydx=0 得 d(xy)=0，xy=c 由初值 y(2)=3 c=6.曲线方程为 xy=6. 由 xdy-ydx=0 得 17.设 f(x，y)在区域 D 上连续，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 求 f
17、(x，y)归结为求 它是常数，因为 A 是 f(x，y)在 D 上的积分，于是为求 A，将上式两边在区域 D 上积分得 求 A 归结为求 积分区域 D 如下图， 由被积函数与积分区域 D 的特点，应选极坐标变换： x=rcos，y=rsin，两边界圆的极坐标方程分别是 r=sin，r=4sin D 的极坐标表示： 于是 现把代入式得 解出 A 得 因此 设 u=u(x，t)有二阶连续导数，并满足 （分数：10.00）(1).作自变量替换 =x-at，=x+at，导出 u 作为 ， 的函数的二阶偏导数所满足的方程；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 先由复合函数求导法求出 的关系： 由上
18、面两式得 u 作为 ， 的函数的二阶编导数满足的方程： 即 (2).求 u(x，t)（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 把*式改写成 即 是连续可微的任意函数，再对 积分一次，并注意到积分常数可依赖 ，于是得 u=f()+g() 其中 f()和 g()是二次连续可微的 18.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，且 求证：至少 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 g(0)=f(0)0，g(1)=f(1)-10 即 g()=f()-0 由连续函数的零点定理， 现设 在 1 ， 2 可导，又 F( 1 )=F( 2 )=0，在 1 ， 2 上可对 F(x)用罗尔定理 即
19、f“()+ 2 (f()-)=1. 解析 即证明 (f(x)-x)“+x 2 (f(x)-x)在 零点 由此，只需研究 在0，1或0，1内的某个闭区间上是否满足罗尔定理的条件函数 F(x)在这样的闭区间上连续，开区间内可导是明显的，从而关键是验证函数 F(x)在0，1内某两点函数值相等，为此又只须验证函数 19.已知齐次线性方程组 和 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 对方程组()的系数矩阵 A 作初等行变换，有 可求出()的基础解系为 1 =(-1，1，-4，0) T ， 2 =(-a，0，-3a，1) T 对方程组()的系数矩阵 B 作初等行变换，有 由于()与()同解，r(A
20、)=r(B)知 由于()与()同解， 1 ， 2 也是()的基础解系，它应是 的解从而 设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3 维列向量，其中 3 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A 3 =0.（分数：11.01）(1).证明 1 ， 2 ， 3 线性无关；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 设 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0 (1)因为 A 1= 2，A 2= 3，A 3=0，用 A 左乘(1)式两端，有k1 2+k2 3=0 (2)再用 A 左乘(2)式两端，有 k1 3=0.由于 30，故必有 k1=0.把 k1=0 代入(2)得 k2=0.把 k1=0，k 2=0 代入(1)得 k3=0.所以 1， 2， 3线性无关(2).求矩阵 A 的特征值和特征向量；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由于 据()知 1 ， 2 ， 3 线性无关，即矩阵 P=( 1 ， 2 ， 3 )可逆 从而 (3).求行列式|A+2E|的值（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 因为 AB 有 A+2EB+2E 从而|A+2E|=|B+2E|=8.
