1、考研数学二-393 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 f“(x)在 x=0 不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 连续2.设 f(x)有一阶导数且 f(0)=1， （分数：4.00）A.函数 F(x)在 x=0 处取极大值B.函数 F(x)在 x=0 处取极小值C.函数 F(x)在 x=0 处不取极值，但点(0，F(0)是曲线 y=F(x)的拐点D.函数 F(x)在 x=0 处不取极僮，点(0，F(0)也不是曲线 y=F(x)的拐点3.下列反常积分 （分数：4.00）
2、A.，B.，C.，D.，4.微分方程 y“+9y=x+cos3x 的特解可设为（分数：4.00）A.ax+b+x(Acos3x+Bsin3x)B.x(ax+b+Acos3x+Bsin3x)C.ax+b+Acos3xD.ax+b+Asin3x5.累次积分 的值为 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 是 4 维向量，下列命题中正确的是（分数：4.00）A.如果 1，2，3，a4 线性相关，那么 k1，k2，k3，k4 不全为 0 时，有k11+k22+k33+k44=0.B.如果 1，2，3，4 线
3、性相关，那么当 k11+k22+k33+k44=0 时，有 k1，k2，k3，k4 不全为 0.C.如果 5 不能由 1，2，3，4 线性表出，那么 1，2，3，4 必线性相关D.如果 1，2，3，4 线性相关，那么 5 不能由 1，2，3，4 线性表出8.已知 A，B，C，D 都是 4 阶非零矩阵，且 ABCD=0，如果|BC|0，记 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r 的最大值是（分数：4.00）A.11.B.12.C.13.D.14.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知当 x0 时， （分数：4.00）10.曲线 （分数：4.00）11.设函数 f(x)在(
4、-，+)上连续，且 若常数 C0，使得 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.设0，1上连续函数 y(x)满足 （分数：4.00）14.已知矩阵 A 和 B 相似，若 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 ()求 f“(0)与 f“(0)； () （分数：10.00）_求下列积分值：（分数：10.00）(1). （分数：5.00）_(2).J=arcsinxarccosxdx（分数：5.00）_(1).设有一块平板竖放在比重为 的液体中，选择位于液体表面的某点为原点 o，沿铅直线向下方向为ax 轴正方向，深度为 x
5、 的地方平板宽度为 f(x)，平板浸入液体的最小深度和最大深度分别为 a 和 b，试用微元法导出整块平板所受的液体的侧压力的积分表达式；（分数：5.00）_(2).有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 ，求薄板所受的侧压力（分数：5.00）_16.设 b0，求 x 0 (0，b)，使得由曲线 过点 的曲线 （分数：10.00）_求下列二重积分：（分数：11.00）(1).其中 D=(x，y)|0x，0y； （分数：5.50）_(2).其中 D 由星形 与 x 轴围成 （分数：5.50）_17.设 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F
6、 有连续偏导数，求 （分数：10.00）_18.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，f(0)=0，f(1)=1， 求证： 使得 （分数：11.00）_19.解方程组 （分数：11.00）_20.设二次型 矩阵 A 满足 AB=O，其中 （分数：11.00）_考研数学二-393 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 f“(x)在 x=0 不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 连续 解析：解析 x0 时 其中 2.设 f(x)有一阶导数且 f(0)=1， （分数：4.0
7、0）A.函数 F(x)在 x=0 处取极大值B.函数 F(x)在 x=0 处取极小值C.函数 F(x)在 x=0 处不取极值，但点(0，F(0)是曲线 y=F(x)的拐点 D.函数 F(x)在 x=0 处不取极僮，点(0，F(0)也不是曲线 y=F(x)的拐点解析：解析 先求 F“(0)，F“(0) 再求 F (3) (x)=4f(x)+2xf“(x)，故 F (3) (0)=4f(0)=4 (0，F(0)是 y=F(x)的拐点 由 当 x(-，)，x0 时 时 F“(x)0，x(0，)时 F“(x)0 F“(x)F“(0)=0(x(-，)，x0)，F(x)在(-，)单调上升 3.下列反常积分
8、 （分数：4.00）A.，B.， C.，D.，解析：解析 由题中选项可知，这四个积分中有两个收敛，两个发散 找出其中两个收敛的 因此选 B 找出其中两个发散的 由 而 发散 4.微分方程 y“+9y=x+cos3x 的特解可设为（分数：4.00）A.ax+b+x(Acos3x+Bsin3x) B.x(ax+b+Acos3x+Bsin3x)C.ax+b+Acos3xD.ax+b+Asin3x解析：解析 相应的齐次方程的特征方程 2 +9=0 的特征根为 =3i 由线性方程解的叠加原理，分别考察方程 y“+9y=x 与 y“+9y=cos3x 显然，0 不是特征根，有特解 注意 cos3x=e x
9、 (acosx+bsinx)，=0，=3，a=1，b=0，i 是特征根，于是有特解 因此，原方程有特解 5.累次积分 的值为 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析一 J 是二重积分 的一个累次积分，其中 如图所示 现改换成先 y 后 x 的积分顺序得 解析二 用分部积分法求 J 6.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析一 用分解法与归纳法先求出 y (n) (x) 易归纳得 于是 解析二 由间接法写出泰勒公式，再由泰勒公式的系数得 y (n) (0) 应选 C 设 y(x)在 x=0 处 n 阶可导， y(x)=A 0 +A 1 x+A 2 x 2 +A
10、 n x n +o(x n )(x0) 则 7.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 是 4 维向量，下列命题中正确的是（分数：4.00）A.如果 1，2，3，a4 线性相关，那么 k1，k2，k3，k4 不全为 0 时，有k11+k22+k33+k44=0.B.如果 1，2，3，4 线性相关，那么当 k11+k22+k33+k44=0 时，有 k1，k2，k3，k4 不全为 0.C.如果 5 不能由 1，2，3，4 线性表出，那么 1，2，3，4 必线性相关 D.如果 1，2，3，4 线性相关，那么 5 不能由 1，2，3，4 线性表出解析：解析 因为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5
11、是 5 个 4 维向量，它必线性相关 而当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关时， 5 必可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出 现在 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 必线性相关 即命题 C 正确 按定义当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关时，存在不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，使 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0，但不是对任意不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 均有 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0，故命题 A 不正确 因为 0 1 +0
12、 2 +0 3 +0 4 =0 恒成立，所以命题 B 不正确 当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关时， 5 一定能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关时， 5 也有可能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出(例如 5 = 1 )，故命题 D 不正确8.已知 A，B，C，D 都是 4 阶非零矩阵，且 ABCD=0，如果|BC|0，记 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r 的最大值是（分数：4.00）A.11.B.12. C.13.D.14.解析：解析 由 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知当 x0 时， （分数：4
13、.00）解析：6 解析 这是确定无穷小的阶数问题，即确定 n0 使得下面的极限存在且不为 0. 10.曲线 （分数：4.00）解析：yx 解析 因为 又 其中 同理 因此斜渐近线方程为 y=x 因为 所以曲线 11.设函数 f(x)在(-，+)上连续，且 若常数 C0，使得 （分数：4.00）解析： 解析 分别求出左、右端极限，得 C 满足等式，解出 C 即可 是 1 的指数型极限，用求指数型极限的一般方法是 其中 12. （分数：4.00）解析：dz-dx 解析一 取对数：lnu=y(lnz-lnx)求全微分得 令(x，y，z)=(1，1，1)，得 u=1.并代入上式得 解析二 先求偏导数
14、由 得 13.设0，1上连续函数 y(x)满足 （分数：4.00）解析： 解析 在方程中令 x=1 得 y(1)=4.因被积函数在(0，1连续 在(0，1可导 在(0，1可导将原方程两边求导得 这是齐次方程，令 代入上述方程得 分离变量得 积分得 代入 得通解 因此得 14.已知矩阵 A 和 B 相似，若 （分数：4.00）解析：2 解析 由 AB 知 A-4EB-4E 从而 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 ()求 f“(0)与 f“(0)； () （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因为 故 ()解法一 由极限与无穷小的关系得
15、 再由泰勒公式唯一性得：f(0)=0，f“(0)=0，f“(0)=A 解法二 由 解法三 f(x)在 x=0 处二阶可导 在 x=0 邻域一阶可导且 f“(x)在 x=0 连续 由 因此 f“(0)=0，f“(0)=A () 求下列积分值：（分数：10.00）(1). （分数：5.00）_正确答案：()解析：解法一 三角函数代换去根号 再用分解法 cost=A(cost+sint)+B(cost+sint)“ =(A+B)cost+(A-B)sint 取 A，B 满足 A+B=1，A-B=0，即 解法二 作上述三角函数代换后，再作代换 两式相加得 解法三 作上述三角函数代换后，再转化为有理式的
16、积分 (2).J=arcsinxarccosxdx（分数：5.00）_正确答案：()解析：(1).设有一块平板竖放在比重为 的液体中，选择位于液体表面的某点为原点 o，沿铅直线向下方向为ax 轴正方向，深度为 x 的地方平板宽度为 f(x)，平板浸入液体的最小深度和最大深度分别为 a 和 b，试用微元法导出整块平板所受的液体的侧压力的积分表达式；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 平板如下图所示考察从深度 x 到深度 x+x 的一横条，可近似把小横条各点的液面深度看作 x，于是它所受液体压强为 x，小横条面积为 f(x)x，这小横条所受的液体侧压力 Pxf(x)x 于是侧压力微元 dP
17、=xf(x)dx 因此整块平板所受的侧压力 (2).有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体中，而其短轴与液面相齐，液体的比重为 ，求薄板所受的侧压力（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 取坐标系如图所示，椭圆方程为 由题()薄板所受的侧压力 其中 因此， 16.设 b0，求 x 0 (0，b)，使得由曲线 过点 的曲线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 曲线 在点 的切线方程是 即 其中 t(0，b) 所求问题等价于求此切线与直线 x=b，y 轴和 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积的最小值点即求 在(0，b)的最小值点 求 V“(t
18、) 因此，所求的 求下列二重积分：（分数：11.00）(1).其中 D=(x，y)|0x，0y； （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 解法一 D 是关于 y=x 对称的正方形区域，在 y=x 下方部分记为 D 1 则 解法二 若直接在区域 D 上求二重积分，被积函数是分块表示的： 其中 D 2 是 y=x 的上方部分，D 1 是 y=x 的下方部分，于是要用分块积分法，即 (2).其中 D 由星形 与 x 轴围成 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 D 关于 y 轴对称，被积函数关于 x 为偶函数， 其中 D 1 =Dx0 单调， 反函数 的右半部分可表为 y=y(x)=sin
19、 3 t(x) 于是 17.设 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F 有连续偏导数，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解法一 对方程求全微分得 整理后得 两边乘 xy 并解出 dz 得 因此， 解法二 先分别求出 将方程两边对 x 求偏导数，注意 x，y 为白变量，x=z(x，y)，由复合函数求导法得 同理将方程两边对 y 求偏导数得 现将(式乘 x)+(式乘 y)得 因此 18.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，f(0)=0，f(1)=1， 求证： 使得 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 因为 由连续函数的介值定理可知， 使得 对此 c，在0，c与c，1
20、上分别用拉格朗日中值定理 使得 又左端为 故得证 解析 按题设与要证的结论，要在0，1的某两个区间上用拉格朗日中值定理： 取 c(0，1)，分别在0，c，c，1上用拉格朗日中值定理 (0，c)，(c，1)使得 关键是取 c(0，1)及 f(c)使得左端为 2，只须使 f(c)使得 19.解方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 对增广矩阵作初等行变换，有 ()如 a=1，同解方程组为 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =1. 其通解为：(1，0，0，0) T +k 1 (-1，1，0，0) T +k 2 (-1，0，1，0) T +k 3 (-1，0，0，1) T ()当 a1 时 20.设二次型 矩阵 A 满足 AB=O，其中 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 二次型矩阵 ()AB=O 知 =0 是矩阵 A 的特征值且矩阵 B 的列向量(1，0，1) T 是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量故有 于是 由矩阵 A 的特征多项式 得矩阵 A 的特征值为：6，0，-6. 由(6E-A)x=0 得矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量为(1，2，-1) T 由(-6E-A)x=0 得矩阵 A 属于特征值-6 的特征向量为(-1，1，1) T 实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，单位化有 那么令 则有 ()不合同，因为
