1、考研数学二-393 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：25，分数：65.00)1.设 （分数：5.00）2.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a-2，a-1，则 a= 1 （分数：2.50）3.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，则 （分数：2.50）4.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )为三阶矩阵，且|A|=3，则| 1 +2 2 ， 2 -3 3 ， 3 +2 1 = 1 （分数：2.50）5.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ，
2、 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|= 1 （分数：2.50）6.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A*)* -1 = 1(用 A*表示) （分数：2.50）7.设 =(1，-1，2)T，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A*= 1 （分数：2.50）8. （分数：2.50）9.设 （分数：2.50）10.A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)的充分必要条件是 1 （分数：2.50）11.设 A 是三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：2.50）12.设 A 为三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：2.50）13.设 A 为四阶矩阵
3、，|A*|=8，则 （分数：2.50）14.设 A 为三阶矩阵，且|A|=3，则|(-2A)*|= 1 （分数：2.50）15.设 （分数：2.50）16.设 （分数：2.50）17.设 （分数：2.50）18.设 （分数：2.50）19.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A=3E，则(A-3E) -1 = 1 （分数：2.50）20.设 ，则 （分数：2.50）21.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 a0，又 A=E- T ， （分数：2.50）22.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A -1 BA=6A+BA，且 （分数：2.50）23.设 A 是 43 阶矩阵且 rA=2
4、， （分数：2.50）24.设 （分数：2.50）25. ，则 （分数：2.50）二、选择题(总题数：14，分数：35.00)26.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且|A|=2，|B|=6，则 （分数：2.50）A.24B.-24C.48D.-4827.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且|E+A|=0，则|2E+A 2 |为_（分数：2.50）A.0B.54C.-2D.-2428.设 n 维行向量 （分数：2.50）A.B.C.D.29.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_（分数：2.50）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB
5、可逆C.若 A+B 可逆，则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆30.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是_ A.AB 为对称矩阵 B.设 A，B 可逆，则 A-1+B-1为对称矩阵 C.A+B 为对称矩阵 D.kA 为对称矩阵（分数：2.50）A.B.C.D.31.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_（分数：2.50）A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.AB=O 且 rA=n，则 B=OD.若 ABO，则|A|0 或|B|032.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则_（分
6、数：2.50）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0 则|B|=0D.若|A|0 则|B|033.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 rA=r，rB=r 1 ，则_（分数：2.50）A.rr1B.rr1C.rr1D.r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定34.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则_（分数：2.50）A.rmB.r=mC.rmD.rm35.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)=1，则_（分数：2.50）A.rA=1B.rA=2C.rA=3D.rA=436.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是
7、非零矩阵，且 AB=O，则_ A.rB=n B.rBn C.A2-B2=(A+B)(A-B) D.|A|=0（分数：2.50）A.B.C.D.37.没 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.38.设 ， ， ， （分数：2.50）A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P139.设 ，又 ，则_ AB=P 1 AP 2 BB=P 2 AP 1 C D （分数：2.50）A.B.C.D.考研数学二-393 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：25，分数：6
8、5.00)1.设 （分数：5.00）解析：23 解析 按行列式的定义，f(x)的 3 次项和 2 次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以 x 2 项的系数为 232.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a-2，a-1，则 a= 1 （分数：2.50）解析：1解析 由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0 得 a=13.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，则 （分数：2.50）解析：(-1) mn ab 解析 将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B
9、 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则 4.设 A=( 1 ， 2 ， 3 )为三阶矩阵，且|A|=3，则| 1 +2 2 ， 2 -3 3 ， 3 +2 1 = 1 （分数：2.50）解析：-33 解析 | 1 +2 2 ， 2 -3 3 ， 3 +2 1 | =| 1 ， 2 -3 3 ， 3 +2 1 |+|2 2 ， 2 - 3 3 ， 3 +2 1 | =| 1 ， 2 -3 3 ， 3 |+2| 2 ，-3 3 ， 3 +2 1 | =| 1 ， 2 ， 3 |-6| 2 ， 3 ， 3 +2 1 |=| 1 ， 2 ， 3
10、 |-6| 2 ， 3 ，2 1 | =| 1 ， 2 ， 3 |-12| 2 ， 3 ， 1 |=| 1 ， 2 ， 3 |-12| 1 ， 2 ， 3 |=-335.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|= 1 （分数：2.50）解析：-63 解析 由 5A-2B=(5， 1 ，5 2 )-(2，2 1 ，2 2 )=(5-2，3 1 ，3 2 )，得 |5A-2B|=|5-2，3 1 ，3 2 |=9|5-2， 1 ， 2 | =9(5|， 1 ， 2 |-2|， 1 ， 2 |)=6
11、36.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A*)* -1 = 1(用 A*表示) （分数：2.50）解析： 解析 由 A*=|A|A -1 得 (A*)*=|A*|(A*) -1 =|A| n-1 (|A|A -1 ) -1 =|A| n-2 A， 故 7.设 =(1，-1，2)T，=(2，1，1) T ，A= T ，则 A*= 1 （分数：2.50）解析： 解析 T =3，A 2 = T T =3 T =3A，则 8. （分数：2.50）解析：O 解析 由 A2 2 =2A 得 A n =2 n-1 A，A n-1 =2 n-2 A，所以 A n -2A n-1 =O9.设 （分数：2.
12、50）解析：解析 10.A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)的充分必要条件是 1 （分数：2.50）解析：AB=BA 解析 A 2 -B 2 =(A+B)(A-B)=A 2 +BA-AB-B 2 的充分必要条件是 AB=BA11.设 A 是三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：2.50）解析：2解析 12.设 A 为三阶矩阵，且|A|=4，则 （分数：2.50）解析： 解析 由 A*=|A|A -1 =4A -1 得 13.设 A 为四阶矩阵，|A*|=8，则 （分数：2.50）解析：8 解析 因为 A 为四阶矩阵，且|A*|=8，所以|A*|=|A| 3 =8，于是|A|=2 又 AA*=
13、|A|E=2E，所以 A*=2A -1 ，故 14.设 A 为三阶矩阵，且|A|=3，则|(-2A)*|= 1 （分数：2.50）解析：576 解析 因为(-2A)*=(-2) 2 A*=4A*，所以|(-2A)*|=|4A*|=4 3 |A| 2 =649=57615.设 （分数：2.50）解析： 解析 则 16.设 （分数：2.50）解析： 解析 设 ，则 ，于是 而 ，故 17.设 （分数：2.50）解析： 解析 |A|=10，因为 A*=|A|A -1 ，所以 A*=10A -1 ，故 18.设 （分数：2.50）解析： 解析 而 则 19.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A=3E
14、，则(A-3E) -1 = 1 （分数：2.50）解析： 解析 由 A 2 +A=3E，得 A2 +A-3E=O，(A-3E)(A+4E)=-9E， ，则 20.设 ，则 （分数：2.50）解析： 解析 令 A=( 1 ， 2 ， 3 )，因为|A|=2，所以 A*A=|A|E=2E，而A*A=(A*1，A* 2 ，A* 3 )，所以 于是 21.设 n 维列向量 =(a，0，0，a) T ，其中 a0，又 A=E- T ， （分数：2.50）解析：-1 解析 由 A 且 T O，得 22.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A -1 BA=6A+BA，且 （分数：2.50）解析： 解析 由 A -
15、1 BA=6A+BA，得 A -1 B=6E+B，于是(A -1 -E)B=6E， 23.设 A 是 43 阶矩阵且 rA=2， （分数：2.50）解析：2解析 因为|B|=100，所以 r(AB)=rA=224.设 （分数：2.50）解析：2解析 因为 AB=O，所以 rA+rB3，又因为 BO，所以 rB1，从而有 rA2，显然 A 有两行不成比例，故 rA2，于是 rA=225. ，则 （分数：2.50）解析： 解析 ，因为 ，所以 ，于是 二、选择题(总题数：14，分数：35.00)26.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且|A|=2，|B|=6，则 （分数：2.50）A.24B.-
16、24C.48D.-48 解析：解析 27.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且|E+A|=0，则|2E+A 2 |为_（分数：2.50）A.0B.54 C.-2D.-24解析：解析 因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又|E+A|=0，所以 A 有特征值-1，于是2E+A 2 的特征值为 18，3，于是|2E+A 2 |=54，选 B28.设 n 维行向量 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 由 29.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_（分数：2.50）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆 C.
17、若 A+B 可逆，则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆解析：解析 若 A，B 可逆，则|A|0，|B|0，又|AB|=|A|B|，所以|AB|0，于是 AB 可逆，选 B30.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是_ A.AB 为对称矩阵 B.设 A，B 可逆，则 A-1+B-1为对称矩阵 C.A+B 为对称矩阵 D.kA 为对称矩阵（分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 由(A+B) T =A T +B T =A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A -1 +B -1 )T=(A -1 ) T +(B -1 ) T =A -1 +B -1 ，得 A -1
18、 +B -1 为对称矩阵；由(kA) T =kA T =kA，得 kA 为对称矩阵，选 A31.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是_（分数：2.50）A.AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=OB.ABO 的充分必要条件是 AO 且 BOC.AB=O 且 rA=n，则 B=O D.若 ABO，则|A|0 或|B|0解析：解析 取 显然 AB=O，故 A、B 都不对，取 ，显然32.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则_（分数：2.50）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|=0 则|B|=0 D.若|A|0 则|B|0解析：解析 因为 A 经过若干次初等
19、变换化为 B，所以存在初等矩阵 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t ，使得 B=P s P 1 AQ 1 Q t ，而 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t 都是可逆矩阵，所以 rA=rB，若|A|=0，即 rAn 则 rBn，即|B|=0，选 C33.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 rA=r，rB=r 1 ，则_（分数：2.50）A.rr1B.rr1C.rr1 D.r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定解析：解析 因为 r 1 =rB=r(AC)rA=r，所以选 C34.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则_（分数
20、：2.50）A.rmB.r=mC.rm D.rm解析：解析 显然 AB 为 m 阶矩阵，rAnrBn，而 r(AB)rainrA，rBnm，所以选 C35.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)=1，则_（分数：2.50）A.rA=1B.rA=2C.rA=3 D.rA=4解析：解析 因为 r(A*)=1，所以 rA=4-1=3，选 C36.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则_ A.rB=n B.rBn C.A2-B2=(A+B)(A-B) D.|A|=0（分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 因为 AB=O，所以 rA+rBn，又因为 B 是非零矩阵，
21、所以 rB1，从而 rAn，于是|A|=0，选 D37.没 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 A，B 都是可逆矩阵，因为 所以38.设 ， ， ， （分数：2.50）A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P1 解析：解析 P 1 =E 12 ，P 2 =E 23 (2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=AE 23 (2)E 12 =AP 2 P 1 ，选 D39.设 ，又 ，则_ AB=P 1 AP 2 BB=P 2 AP 1 C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 显然 因为
