1、考研数学二-392 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 g(x)可微，f(x)=ln 2 (1+g(x)+2ln(1+g(x)，f“(1)=1， 则 g(1)= A1. B0. C2. D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设0，4区间上 y=f(x)的导函数的图形如图，则 f(x) （分数：4.00）A.在(0，2)单调上升且为凸的，在(2，4)单调下降且为凹的B.在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凹的，在(2，4)是凸的C.在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(
2、0，2)是凸的，在(2，4)是凹的D.在(0，2)单调上升且是凹的，在(2，4)单调下降且是凸的3. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列命题中正确的是（分数：4.00）A.设(x0，f(x0)是 y=f(x)的拐点，则 x=x0 不是 f(x)的极值点B.设 x=x0 是 f(x)的极小值点，f(x)在 x=x0 二阶可导，则 f“(x0)=0，f“(x0)0.C.f(x)在(a，b)只有一个驻点 x0，且 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x0)是 f(x)在(a，b)的最小值D.若 f“-(b)0，则 f(b)不是 f(x)在a，b的最大值5. （分数：4.00
3、）A.可导的奇函数B.连续，但在 x=0 不可导的奇函数C.可导的偶函数D.连续，但在 x=0 不可导的偶函数6.设常数 0a1，区域 D 由 x 轴，y 轴，直线 x+y=a 以及 x+y=1 围成 记 （分数：4.00）A.JKIB.JIKC.IJKD.IKJ7.已知 A 是 3 阶矩阵且 则 （分数：4.00）A.16.B.-16.C.256.D.-256.8.已知 =(1，-3，2) T ，=(0，1，-1) T ，矩阵 A=2 T +7E，则矩阵 A 的最小特征值的特征向量是（分数：4.00）ABC.+D.-二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 a n 0(n=1，2，3
4、，)且 则 （分数：4.00）10.已知 （分数：4.00）11.已知 f(x)(x0，+)为非负连续函数，且满足 （分数：4.00）12.设 u=u(x，y)满足 （分数：4.00）13.设 (z)有连续导数，1-y“(z)0，z=z(x，y)由方程 x=x+y(z)确定，则 dz= 1 （分数：4.00）14.已知 A 是 3 阶非零矩阵，且矩阵 A 中各行元素之和均为 0，又知 AB=O，其中 B= （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知曲线在直角坐标系中的参数方程给出： （分数：10.00）_抛物线 y=x 2 上任意点(a，a 2 )(a0)处引切线
5、L 1 ，在另一点处引一切线 L 2 ，L 2 与 L 1 垂直（分数：11.01）(1).求 L 1 与 L 2 的交点横坐标 x 1 ；（分数：3.67）_(2).证明：L 1 ，L 2 与抛物线 y=x 2 所围图形的面积 （分数：3.67）_(3).问 a0 取何值时 S(a)取最小值（分数：3.67）_设函数 y=y(x)在(-，+)有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：10.00）(1).试将 x=x(y)满足的微分方程 （分数：5.00）_(2).求满足 y(0)=0，y“(0)=1 的 y=y(x)（分数：5.00）_(1).求不定积分 （分数：5
6、.00）_(2).求极坐标系中曲线 （分数：5.00）_16.设 f(u，v)有二阶连续偏导数，且满足 又 求 （分数：10.00）_17.求二重积分 （分数：10.00）_18.设 P(x)=x 3 +ax 2 +bx+c，a，b，c，为常数，方程 P(x)=0 有三个相异实根 x 1 ，x 2 ，x 3 ，且 x 1 x 2 x 3 ，又 （分数：11.00）_已知矩阵 与矩阵 （分数：11.00）(1).求 a 的值；（分数：5.50）_(2).求可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B（分数：5.50）_设 A 是各行元素之和均为 0 的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足 A=3，
7、A=3（分数：11.01）(1).证明矩阵 A 和对角矩阵相似；（分数：3.67）_(2).如 =(0，-1，1) T ，=(1，0，-1) T ，求矩阵 A；（分数：3.67）_(3).用配方法化二次型 x T Ax 为标准形，并写出所用坐标变换（分数：3.67）_考研数学二-392 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 g(x)可微，f(x)=ln 2 (1+g(x)+2ln(1+g(x)，f“(1)=1， 则 g(1)= A1. B0. C2. D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 按题设 令 即 2.设0，4
8、区间上 y=f(x)的导函数的图形如图，则 f(x) （分数：4.00）A.在(0，2)单调上升且为凸的，在(2，4)单调下降且为凹的B.在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凹的，在(2，4)是凸的 C.在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凸的，在(2，4)是凹的D.在(0，2)单调上升且是凹的，在(2，4)单调下降且是凸的解析：解析 当 x(0，1)或 x(3，4)时， 在(0，1)，(3，4)单调下降；当 x(1，3)时，在(1，3)单调上升又 f“(x)在(0，2)单调上升 在(0，2)是凹的；f“(x)在(2，4)单调
9、下降3. A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析一 令 解析二 解析三 令 4.下列命题中正确的是（分数：4.00）A.设(x0，f(x0)是 y=f(x)的拐点，则 x=x0 不是 f(x)的极值点B.设 x=x0 是 f(x)的极小值点，f(x)在 x=x0 二阶可导，则 f“(x0)=0，f“(x0)0.C.f(x)在(a，b)只有一个驻点 x0，且 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x0)是 f(x)在(a，b)的最小值D.若 f“-(b)0，则 f(b)不是 f(x)在a，b的最大值 解析：解析一 由举例易知 A、B、C 不正确 如图 1 所示，(x 0
10、，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点且 x=x 0 是 f(x)的极小值点A 是错的 极小值点 x 0 处可以有 f“(x 0 )=0.如 f(x)=(x-x 0 ) 4 ，x=x 0 是 f(x)的极小值点，f“(x 0 )=0.B 是错误的 若 f(x)不连续，命题 C 不正确，如图 2. f(x)在(a，b)有唯一驻点 x 0 ，是 f(x)的极小值点，但 f(x 0 )不是 f(x)在(a，b)的最小值因此，选D 图 15. （分数：4.00）A.可导的奇函数 B.连续，但在 x=0 不可导的奇函数C.可导的偶函数D.连续，但在 x=0 不可导的偶函数解析：解析 因为改变有限个点的函
11、数值，则不改变函数的可积性与积分值，所以 e x2 +x 2 是偶函数且处处连续，由变限积分函数的性质知 是奇函数且处处可导 因此选 A 6.设常数 0a1，区域 D 由 x 轴，y 轴，直线 x+y=a 以及 x+y=1 围成 记 （分数：4.00）A.JKIB.JIK C.IJKD.IKJ解析：解析 在区域 D 上有 0x+y1，于是 ln 3 (x+y)0sin 2 (x+y)(x+y) 2 (x+y)，且它们互不恒等，连续，因此，它们在 D 上的积分值满足 7.已知 A 是 3 阶矩阵且 则 （分数：4.00）A.16.B.-16.C.256.D.-256. 解析：解析 由(kA) *
12、 =k n-1 A * 知(2A) * =2 2 A * =4A * ，又 有 以及 A * =|A|A -1 得 8.已知 =(1，-3，2) T ，=(0，1，-1) T ，矩阵 A=2 T +7E，则矩阵 A 的最小特征值的特征向量是（分数：4.00）AB C.+D.-解析：解析 B= T ，则秩 r(B)=1. 由 T =-5，知矩阵 B 的特征值是-5，0，0. 那么矩阵 A=2B+7E 的特征值是-3，7，7. 矩阵 B 关于 =-5 的特征向量就是矩阵 A 关于 =-3 的特征向量 而 B=( T )=( T )=-5， 所以应选 B二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.
13、设 a n 0(n=1，2，3，)且 则 （分数：4.00）解析：1 解析 记 其中 10.已知 （分数：4.00）解析：(0，+) 解析 当 0xe 时 当 xe 时 11.已知 f(x)(x0，+)为非负连续函数，且满足 （分数：4.00）解析： 解析 注意 于是原方程改写成 先求 由 及 (0)=0， 积分得 最后得 12.设 u=u(x，y)满足 （分数：4.00）解析： 解析 将 y 看作常量，这是以 x 为自变量，函数 u=u(x，y)的一阶线性微分方程 改写成 两边乘 e -xy 得 对 x 积分得 由 因此 13.设 (z)有连续导数，1-y“(z)0，z=z(x，y)由方程
14、x=x+y(z)确定，则 dz= 1 （分数：4.00）解析： 解析一 将方程 z=x+y(z)两边求全微分 dz=dx+d(y(z) dz=dx+(z)dy+y“(z)dz 移项并解出 解析二 先求出 方程两边分别对 x 求偏导数并注意 x，y 为自变量，z=z(x，y)，于是由复合函数求导法得 解出 同理，方程两边对 y 求偏导数得 因此 14.已知 A 是 3 阶非零矩阵，且矩阵 A 中各行元素之和均为 0，又知 AB=O，其中 B= （分数：4.00）解析：k 1 (1，1，1) T +k 2 (1，-1，1) T ，k 1 ，k 2 为任意常数 解析 矩阵 A 各行元素之和均为0，即
15、 故(1，1，1) T 是齐次方程组 Ax=0 的一个解 由 AB=O，知 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知曲线在直角坐标系中的参数方程给出： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 先证 x=tlnt 单调，必存在反函数，于是 确定 y=y(x)再用参数求导法求出 然后求出单调性区间，极值点，凹凸性区间及拐点 ()因为 在1，+)单调上升，值域是0，+) x=tlnt 反函数，记为 t=t(x)，它在0，+)连续，t(x)1(单调连续函数的反函数连续)再由连续函数的复合函数的连续性 在0，+)上连续 ()现知 y(x)在0，+)连续，再由参数式求导法有 因此 y(
16、x)的单调增区间为 x0，e，单调减区间为e，+)，x=e 为极大值点 因此 为 y(x)的凸区间， 为凹区间，拐点的横坐标是 解析 于是 抛物线 y=x 2 上任意点(a，a 2 )(a0)处引切线 L 1 ，在另一点处引一切线 L 2 ，L 2 与 L 1 垂直（分数：11.01）(1).求 L 1 与 L 2 的交点横坐标 x 1 ；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 抛物线 y=x 2 在点(a，a 2 )处的切线方程为 L 1 ：y=a 2 +2a(x-a)即 y=2ax-a 2 另一点(b，b 2 )处的切线方程为 L 2 ：y=b 2 +2b(x-b)即 y=2bx-b
17、2 由 L 1 与 L 2 垂直 即 L 1 与 L 2 的交点(x 1 ，y 1 )满足 代入 得 (2).证明：L 1 ，L 2 与抛物线 y=x 2 所围图形的面积 （分数：3.67）_正确答案：()解析：解 L 1 ，L 2 与 y=x 2 所围图形的面积 由 x 1 的表达式 知 (3).问 a0 取何值时 S(a)取最小值（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 求导解最值问题 设函数 y=y(x)在(-，+)有二阶导数，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：10.00）(1).试将 x=x(y)满足的微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 这实质
18、上是求反函数 x=x(y)的一、二阶导数问题，由反函数求导公式知， 再由复合函数求导法知， 代入原方程得 即 (2).求满足 y(0)=0，y“(0)=1 的 y=y(x)（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 求 y=y(x)就是求解满足初始条件 y(0)=0，y“(0)=1 的可降阶微分方程(1)看作不显含因变量 y 的类型，令 得 这是可分离变量的方程，分离变量解得 p=1(p=0 不合题意) 或 由 p=1 得 ，再由初值得 y=x 由(2)式积分得 即 由初值得 C=0，仍然只求得 y=x 因此求得 y(x)=x 解析 这也是不显含 x 的一类可降阶的二阶微分方程 令 并以 y
19、为自变量，由 方程(3)化为一阶微分方程 对于原方程(1)，我们得 (P=0 不合题意)，于是分离变量得 积分得 ln|P-1|=y+C 1 ，P-1=Ce y 由 y=0 时，P=1 得 C=0，因此 再由 y(0)=1 得 y=x 这也是伯努利方程(大纲中不要求，若熟悉)，P=0 不合题意，P0 时改写成 两边乘 e -x 得 积分并注意到 P(0)=1 得 由 (1).求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 方法一 而 因此 方法二 (2).求极坐标系中曲线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 先求 按弧长计算公式得 16.设 f(u，v)有二阶连续偏导数，且满足
20、 又 求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由复合函数求导法得 现将，式相加得 17.求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解法一 将 D 1 看成正方形区域与半圆形区域的差集，在半圆形区域上用极坐标变换于是 于是 如果积分区域关于 x 轴(或 y 轴)对称，考察被积函数关于 y(或 x)的奇偶性，往往会简化计算 解法二 在直角坐标系下计算 而 或 因此 于是 解法三 被积函数 x 对 x 是奇函数，但积分区域 D 1 关于 y 轴不对称，但关于 对称作平移变换：则 D 1 变为 关于 v 轴对称，于是 解析 J 的积分区域如图阴影部分，设 D 1 为由 x=a，x
21、=0，y=a， 所围 由于 D 关于 x 轴对称，故 18.设 P(x)=x 3 +ax 2 +bx+c，a，b，c，为常数，方程 P(x)=0 有三个相异实根 x 1 ，x 2 ，x 3 ，且 x 1 x 2 x 3 ，又 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 对 常数 a，b，c 均有 进一步按题设应有 P(x)0(xx 1 )，P(x)0(x(x 1 ，x 2 ) P(x)0(x(x 2 ，x 3 )，P(x)0(xx 3 ) P(x)在(-，+)连续 ()当 xx 1 时 时 在(-，x 1 )无零点F(x 1 )=0. 当 x(x 1 ，x 2 )时 时 在(x 1 ，x
22、2 无零点 因 F(x)在x 2 ，x 3 连续，又 即 F(x)在(x 2 ，x 3 )有零点又因 F“(x)=P(x)0(x(x 2 ，x 3 ) 在 在(x 2 ，x 3 )有唯一零点 因此 F(x)在(-，x 3 )恰有两个零点(x 1 与 ) ()由 当 xx * 时 又因 F“(x)=P(x)0 (xx 3 ) 在 已知矩阵 与矩阵 （分数：11.00）(1).求 a 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 矩阵 A 和 B 等价 和 B 均为 mn 矩阵且秩 r(A)=r(B) 对矩阵 A 作初等变换，有 (2).求可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B（分数：5.50）
23、_正确答案：()解析：对矩阵 A 作初等变换化为矩阵 B，有 把所用初等矩阵写出，得 设 A 是各行元素之和均为 0 的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足 A=3，A=3（分数：11.01）(1).证明矩阵 A 和对角矩阵相似；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 矩阵 A 各行元素之和均为 0，即 (2).如 =(0，-1，1) T ，=(1，0，-1) T ，求矩阵 A；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 当 =(0，-1，1) T ，=(1，0，-1) T 时，按已知有 A( 1 ，)=(0，3，3) 即 所以 (3).用配方法化二次型 x T Ax 为标准形，并写出所用坐标变换（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 令 即 有
