1、考研数学二-389 及答案解析(总分：148.03，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.F(x)是奇函数B.F(x)在(-，+)上单调递增C.F(x)在(-，+)上单调递减D.F(x)是以 2 为周期的函数2.由下列四个条件 f(x)=(x-a)(x)，其中 (x)在 x=a 连续 f(x)=|x-a|(x)，其中 (x)在 x=a 连续且 (a)0. 存在 0，使对任意 x(a-，a+)，有|f(x)|L|x-a| ，其中 1 为常数 （分数：4.00）A.，B.，C.，D.，3.把当 x0 时的无穷小量 =4x 2 +5x 3 -x
2、 5 ，=ln(1+x 3 )-ln(1-x 3 )， （分数：4.00）A.，B.，C.，D.，4.下列函数中在区间-2，3上不存在原函数的是 A Bf(x)=max|x|，1 C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 0 是常数， （分数：4.00）A.无零点B.只有一个零点C.恰有两个零点D.零点的个数随 a 取值不同而变化6.点(0，0)是 f(x，y)=x 3 -4x 2 +2xy-y 2 在区域 D=(x，y)|-2x4，-1y1内的唯一驻点（分数：4.00）A.但不是极值点B.且是极小值点C.且是极大值点，但不是 D 的最大值点D.且是极大值点，也是 D 的最大值点7.设
3、 （分数：4.00）AABBCCDD8.已知多项式 （分数：4.00）A.1，40.B.0，40.C.0，-40.D.1，-40.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）10.函数 （分数：4.00）11.设质点 P 在直角坐标系 oxy 的 y 轴上作匀速运动，速度为 c，定点 A 在 x 轴上 x=a0 处，记 AP 之长为 l，则直线段 AP 的角速度与 l 2 之积为 1 （分数：4.00）12.设 f(x)为连续函数， （分数：4.00）13.微分方程 xdy-ydx=y 2 e y dy 的通解是 1 （分数：4.00）14.设 =(1，0，1)
4、T ，=(0，1，-1) T ， （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：92.00)设 （分数：11.01）(1).求 f(x)的表达式（分数：3.67）_(2).求 f(x)在(0，+)的最小值点（分数：3.67）_(3).f(x)在(0，+)有无最大值?为什么?（分数：3.67）_设 f(x)在(-，+)连续，且 （分数：10.00）(1).F(x)在(-，+)有连续的导数；（分数：5.00）_(2).若 f(x)在(-，+)单调递增，则 F(x)在(-，0单调递增，在0，+)单调递减（分数：5.00）_设曲线 （分数：10.00）(1). （分数：5.00）_(2). （分数：
5、5.00）_设 f(x)是连续函数（分数：8.01）(1).求初值问题 （分数：2.67）_(2).求证 是初值问题 （分数：2.67）_(3).求 y“+4y=f(x)的通解（分数：2.67）_证明下列结论：（分数：11.00）(1).设 f(x，y)定义在全平面上，且 （分数：5.50）_(2).设 u(x，y)，v(x，y)定义在全平面上，且满足 （分数：5.50）_15.计算二重积分 （分数：10.00）_16.求证： （分数：10.00）_17.已知 1 ， 2 ， 1 ， 2 均是 3 维向量，且 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1
6、， 2 线性表出，又可由 1 ， 2 线性表出 当 （分数：11.00）_已知二次型 （分数：11.01）(1).求矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：3.67）_(2).若二次型 x T Ax 正定，求 a 的取值（分数：3.67）_(3).当 a=-2 时，二次型 x T Ax 的规范形（分数：3.67）_考研数学二-389 答案解析(总分：148.03，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.F(x)是奇函数B.F(x)在(-，+)上单调递增C.F(x)在(-，+)上单调递减D.F(x)是以 2 为周期的函数 解析：解析一 已知 f(
7、x)在-a，s连续为奇函数，则 在-a，a为偶函数 于是 为偶函数 F“(x)=sin 2n+1 x 在(-，+)变号，因而 F(x)在(-，+)不单调 选项 A、B、C 被排除，选 D 解析二 已知：f(x)在(-，+)连续，以 T 为周期， 则 以 T 为周期 这里 f(x)=sin 2n+1 x 连续，以 2 为周期， 因此 2.由下列四个条件 f(x)=(x-a)(x)，其中 (x)在 x=a 连续 f(x)=|x-a|(x)，其中 (x)在 x=a 连续且 (a)0. 存在 0，使对任意 x(a-，a+)，有|f(x)|L|x-a| ，其中 1 为常数 （分数：4.00）A.，B.，
8、 C.，D.，解析：解析 由可推出 f“(a)存在，因为由有： 故 f“(a)=(a) 由不能推出 f“(a)存在，由导数定义可得： f“ + (a)=(a)，f“ - (a)=-(a) 因为 (a)0，所以有 f“ + (a)f“ - (a)，故 f“(a)不存在 由可推出 f“(a)存在，因为在不等式中取 x=a，知 f(a)=0，故当 1 时，有 于是 即 f“(a)=0. 由不能推出 f“(a)存在，例如： 则 f(x)在 x=0 处不连续，因此 f(x)在 x=0 不可导， 但是 3.把当 x0 时的无穷小量 =4x 2 +5x 3 -x 5 ，=ln(1+x 3 )-ln(1-x
9、3 )， （分数：4.00）A.，B.， C.，D.，解析：解析 我们分别确定当 x0 时 ， 分别是 x 的几阶无穷小当 x0 时 因此 ， 当 x0 时分别 2，3，4 阶无穷小，正确的排列次序是 B 选 B xa 时 ， 分别是 x-a 的 n 阶与 m 阶无穷小，nm，则 + 是 x-a 的 n 阶无穷小，若 n=m，则+ 是 x-a 的 n 阶或高于 n 阶的无穷小，如 x0 时，x，sinx 均是 x 的一阶无穷小，但 x-sinx 是 x 的3 阶无穷小 ln(1+x 3 )与 ln(1-x 3 )均是 x 的 3 阶无穷小，我们不能立即看出 =ln(1+x 3 )-ln(1-x
10、 3 ) 是 x 的几阶无穷小除了上述解法外，我们也可用泰勒公式来确定 的阶： =1+x 3 +o(x 3 )-1-x 3 +o(x 3 )=2x 3 +o(x 3 )2x 3 即 是 x 的 3 阶无穷小 x0 时 当然我们也可把无穷小 ， 两两进行比较，看谁的阶高如 若判断出 比 高阶后，去比较 与 ： 4.下列函数中在区间-2，3上不存在原函数的是 A Bf(x)=max|x|，1 C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析一 我们知道连续函数一定存在原函数，若这四个函数中有三个是连续的，则剩下的一个就被选中 A 项存在原函数显然，x0 时 f(x)连续，又因 在 x=0 连
11、续因此 f(x)在-2，3上连续，故存在原函数 B 项存在原函数因为 在-2，3连续，故存在原函数 D 项存在原函数因为 g(x)在-2，3有界，除 x=1 外连续 在-2，3可积 在-2，3连续 在 原函数因此选 C 解析二 直接证明 C 项不 原函数 显然，x0 时 f(x)连续由 是 f(x)的第一类间断点 在-2，3不 原函数因此应选 C f(x)在a，b连续 在a，b一定 原函数若 f(x)在a，b有不连续点，f(x)在a，b不一定 原函数但是，若 c(a，b)，f(x)在a，b除 x=c 外连续，x=c 是 f(x)的第一类间断点，则f(x)在a，b不 5.设 0 是常数， （分数
12、：4.00）A.无零点B.只有一个零点 C.恰有两个零点D.零点的个数随 a 取值不同而变化解析：解析 显然，f(x)在(0，)连续先考察 及 由连续函数零点定理 在(0，)存在零点 再求 6.点(0，0)是 f(x，y)=x 3 -4x 2 +2xy-y 2 在区域 D=(x，y)|-2x4，-1y1内的唯一驻点（分数：4.00）A.但不是极值点B.且是极小值点C.且是极大值点，但不是 D 的最大值点 D.且是极大值点，也是 D 的最大值点解析：解析 先求驻点，解方程组 得(x，y)=(0，0)，(2，2)，点(2，2)不属于 D，因而(0，0)是 f(x，y)在 D 内唯一驻点 再看(0，
13、0)是否极值点，求 在(0，0)处 AC-B 2 0，A0 是极大值点， f(4，1)=4 3 -44 2 +241-1 2 =7f(0，0)=0 7.设 （分数：4.00）AABBCCDD 解析：解析 C 是对称矩阵必和对角矩阵相似 矩阵 A 的特征值是 1，2，3，有 3 个不同的特征值必和对角矩阵相似 矩阵 B 的特征值是 3，3，-1，特征值有重根，但 =3 有 2 个线性无关的特征向量，故和对角矩阵相似 矩阵 D 的特征值是 2，0，0，特征值有重根，但 =0 时(0E-D)x=0 只有一个线性无关的解， 亦即 =0 只有一个线性无关的特征向量，故 D 不能相似对角化8.已知多项式
14、（分数：4.00）A.1，40.B.0，40.C.0，-40. D.1，-40.解析：解析 由于行列式是不同行不同列元素乘积的代数和，现在第四行元素中没有 x 项，因此多项式f(x)中不存在 x 4 项，其系数必为 0. 而常数项是由不含 x 的项所得，故令 x=0，有 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）解析： 解析 求 转化为求 10.函数 （分数：4.00）解析：-2 解析一 先作分解与恒等变形将 y 化简，则有 由 得 y=1+(2x+2x 2 )1-x 3 +o(x 3 )=1+2x+2x 2 -2x 4 +o(x 4 ) 于是 x 4 项的系数
15、是-2. 解析二 利用 的泰勒公式，将 y 按变量 x 的正整数幂展开到含 x 4 项为此，则有 于是 x 4 项的系数是-2. 解析三 的麦克劳林公式中 x 4 项的系数等同于 的麦克劳林公式中 x 3 项的系数可利用求乘积的 n 阶导数公式，求出 g (3) (0)，然后求得 x 3 项系数 11.设质点 P 在直角坐标系 oxy 的 y 轴上作匀速运动，速度为 c，定点 A 在 x 轴上 x=a0 处，记 AP 之长为 l，则直线段 AP 的角速度与 l 2 之积为 1 （分数：4.00）解析：ca 解析 令 P 的坐标为(0，y)，直线段 AP 与 x 轴夹角为 ，则 两边对时间 t
16、求导得 因此 12.设 f(x)为连续函数， （分数：4.00）解析：6f(3) 解析 是变限积分，被积函数含有参变量 t 且还是变限积分，不能直接用变限积分函数求导公式，要设法转化为纯变限积分函数的求导 分析一 (交换积分顺序) 设 t1.F(t)是某区域 D 上 xf(x)的二重积分的一个累次积分： 由累次积分限知，D：1yt，yxt(t1 为常数)， 如图所示，现改为先 y 后 x 的积分顺序 分析二 (分部积分法) 13.微分方程 xdy-ydx=y 2 e y dy 的通解是 1 （分数：4.00）解析：x=Cy-ye y 解析 对 x 是一次的，改写成 以 y 为自变量，这是一阶线
17、性的，两边乘 ，得 积分得 14.设 =(1，0，1) T ，=(0，1，-1) T ， （分数：4.00）解析： 解析 又 B 2 =( T )( T )=( T ) T =- T =-B 递推地，B 2017 =(-1) 2016 B=B 故 A 2017 =(P -1 BP) 2017 =PQB 2017 P=P -1 BP 注意 三、解答题(总题数：9，分数：92.00)设 （分数：11.01）(1).求 f(x)的表达式（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 由定积分的几何意义知 用分段积分法求 f(x)表达式中的另一积分 当 0x1 时 当 x1 时 于是 (2).求 f(x)
18、在(0，+)的最小值点（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 为求 f(x)在(0，+)上的最小值点，先求 f“(x) 在 在 在(0，+)的最小值点是 (3).f(x)在(0，+)有无最大值?为什么?（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 当 x1 时 于是 设 f(x)在(-，+)连续，且 （分数：10.00）(1).F(x)在(-，+)有连续的导数；（分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 改写 由变限积分的性质，可导性及连续性运算法则可知，当 x0 则 连续又 即 F(x)在 x=0 连续 (2).若 f(x)在(-，+)单调递增，则 F(x)在(-，0单调递增，在0，+)
19、单调递减（分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 由题()，x0 时 其中 于是 F“(x)0(x0)，F“(x)0(x0)，F“(0)=0. 因此，F(x)在 解析 证明 F“(x)在 x=0 连续时用了如下结论：设 F(x)在 x=x 0 连续，在 x=x 0 空心邻域可导且 则 F“(x 0 )=A(F“(x)在 x=x 0 也就连续了) 因此我们在该题中先证 F(x)在 x=0 连续，又求得 从而 F“(0)=0，F“(x)在 x=0 连续 当然，我们也可以先求 然后再求得 设曲线 （分数：10.00）(1). （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 曲线表为， 按面积公式得
20、 令 则 x=t 2n ，于是 (2). （分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 对上式中的 I(n)表达式，令 t=sin，则有 由连续函数定积分比较性质可得 设 f(x)是连续函数（分数：8.01）(1).求初值问题 （分数：2.67）_正确答案：()解析：解 特征方程 2 +4=0 的特征根是 的通解是 y=C 1 cos2x+C 2 sin2x 由 由 因此该初值问题的解 (2).求证 是初值问题 （分数：2.67）_正确答案：()解析：解 将 代入 y(x)表达式得 下证 y(x)满足方程与初值，就要计算 y“(x)与 y“(x)、y(x)是由变限积分定义的函数，由于被积函数含
21、参变量 x，故先作变量替换 虽然其中被积函数还含参变量 x，但含于正弦函数中，可将它展开后，含参变量 x 的函数可提出积分号外 现可用变限积分求导法得 (3).求 y“+4y=f(x)的通解（分数：2.67）_正确答案：()解析：解 由二阶线性非齐次方程通解的结构，并由题()与题()知，y“+4y=f(x)的通解是 证明下列结论：（分数：11.00）(1).设 f(x，y)定义在全平面上，且 （分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 即证 转化为一元函数的相应问题由于 因此 (2).设 u(x，y)，v(x，y)定义在全平面上，且满足 （分数：5.50）_正确答案：()解析：证明 由所给条
22、件，我们将证明 由 将 代入上式 作为 的方程组，其系数行列式 若 若 15.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 被积函数分块表示： 要用分块积分法，将 D 分为两块 D 1 与 D 2 ： (因为点 至原点的距离 所以圆域 全在区域 D 内) D 2 =DD 1 ，于是 D=D 1 D 2 ， D 2 上积分不易计算，将它转化为求 D 与 D 1 上积分之差， 代入上式得 其中 D 1 是圆域： 作平移变换 则 再作极坐标变换： (D 关于 x，y 轴均对称，而 x 与 y 都是奇函数，故 ) 因此 16.求证： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 把证明
23、数列不等式转化为证明函数不等式，可以用微分学的方法 令 则 为了确定 f“(x)的符号，考察 于是 因此 f(n)0(n1)，即 17.已知 1 ， 2 ， 1 ， 2 均是 3 维向量，且 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1 ， 2 线性表出，又可由 1 ， 2 线性表出 当 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 4 个 3 维向量 1 ， 2 ， 1 ， 2 必线性相关，故 不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，l 1 ，l 2 使 k 1 1 +k 2 2 +l 1 1 +l 2 2 =0 令 =k 1 1 +k 2 2 =-l 1
24、1 -l 2 2 如果 =0，即 k 1 1 +k 2 2 =0 且 l 1 1 +l 2 2 =0 由 1 ， 2 线性无关，故必有 k 1 =0，k 2 =0，同理由 1 ， 2 线性无关知 l 1 =0，l 2 =0 与 k 1 ，k 2 ，l 1 ，l 2 不全为 0 相矛盾故必有 0.且 既可由 1 ， 2 线性表出也可由 1 ， 2 线性表出 对已知的 1 ， 2 ， 1 ， 2 设 x 1 a 1 +x 2 2 +y 1 1 +y 2 2 =0 作初等行变换有 已知二次型 （分数：11.01）(1).求矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 二次型矩阵 由 A 的特征值：2+2a，2-a(二重根) 对 =2+2a，由(E-A)x=0 且 a0 有 得基础解系 1 =(1，1，1) T 对 =2-a，由(E-A)x=0 (2).若二次型 x T Ax 正定，求 a 的取值（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 二次型 x T Ax 正定 (3).当 a=-2 时，二次型 x T Ax 的规范形（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 当 a=-2 时 A 的特征值为：4，4，-2 故二次型 x T Ax 的规范形是
