1、考研数学二-387 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinx-sin3x与 cx k 是等价无穷小，则（分数：4.00）A.k=1，c=4.B.k=1，c=-4.C.k=3，c=4.D.k=3，c=-4.2.设函数 y=f(x)由方程 cos(xy)+lny-x=1确定，则 （分数：4.00）A.2.B.1.C.-1.D.-2.3.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 （分数：4.00）A.函数 f(x)有 2个极值点，曲线 y=f(x)有 2个拐点B.函数 f(x
2、)有 2个极值点，曲线 y=f(x)有 3个拐点C.函数 f(x)有 3个极值点，曲线 y=f(x)有 1个拐点D.函数 f(x)有 3个极值点，曲线 y=f(x)有 2个拐点4.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3处的法线与 x轴交点的横坐标是 A B （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x，y)为连续函数，则 等于 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 f(u，v)满足 则 依次是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.n阶矩阵 A具有，n 个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的（分数：4.00）A.充分必要条
3、件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件8.设 A是 n阶矩阵， 是 n维列向量，若秩 则线性方程组 AAx= 必有无穷多解 BAx= 必有惟一解 C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）10.反常积分 （分数：4.00）11.设函数 （分数：4.00）12.设封闭曲线 L的极坐标方程为 （分数：4.00）13.极限 （分数：4.00）14.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1 （分数：4.0
4、0）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设函数 z=f(xy，yg(x)，函数 f具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1处取得极值 g(1)=1.求 （分数：10.00）_17.已知函数 f(x，y)满足 f“ xy (x，y)=2(y+1)e x ，f“ x (x，0)=(x+1)e x ，f(0，y)=y 2 +2y，求f(x，y)的极值 （分数：10.00）_18.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， 其中 D=(x，y)|0x1，0y1，计算二重积 （分数：10.00）_已知函数
5、f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)-2f(x)=0及 f“(x)+f(x)=2e x ，（分数：12.00）(1).求 f(x)的表达式；（分数：6.00）_(2).求曲线 （分数：6.00）_设奇函数 f(x)在闭区间-1，1上具有 2阶导数，且 f(1)=1.证明（分数：10.00）(1).存在 (0，1)，使得 f“()=1；（分数：5.00）_(2).存在 (-1，1)，使得 f“()+f“()=1.（分数：5.00）_设曲线 L的方程为 （分数：10.00）(1).求 L的弧长；（分数：5.00）_(2).设 D是由曲线 L，直线 x=1，x=e 及 x轴所围平面图形，求 D的
6、形心的横坐标（分数：5.00）_设四元齐次线性方程组()为 （分数：11.00）(1).求方程组()的一个基础解系；（分数：5.50）_(2).当 a为何值时，方程组()与()有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解（分数：5.50）_19.设 A为 m阶实对称矩阵且正定，B 为 mn阶实矩阵，B T 为 B的转置矩阵，试证 B T AB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B的秩 r(B)=n （分数：11.00）_考研数学二-387 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinx-sin3x
7、与 cx k 是等价无穷小，则（分数：4.00）A.k=1，c=4.B.k=1，c=-4.C.k=3，c=4. D.k=3，c=-4.解析：解析一 用泰勒公式 由题意 即 所以 k=3，c=4.因此应选 C 解析二 欲使 由洛必达法则可得， 只需 和差化积得 亦是 2.设函数 y=f(x)由方程 cos(xy)+lny-x=1确定，则 （分数：4.00）A.2. B.1.C.-1.D.-2.解析：解析 在方程 cos(xy)+lny-x=1中，令 x=0，得 y=1，等式两端对 x求导得 将 x=0，y=1 代入上式，得 y“(0)=1.于是 3.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其导函数的
8、图形如图所示，则 （分数：4.00）A.函数 f(x)有 2个极值点，曲线 y=f(x)有 2个拐点B.函数 f(x)有 2个极值点，曲线 y=f(x)有 3个拐点 C.函数 f(x)有 3个极值点，曲线 y=f(x)有 1个拐点D.函数 f(x)有 3个极值点，曲线 y=f(x)有 2个拐点解析：解析 从图可看出，函数 f(x)有 3个驻点及 1个不可导点，前两个驻点两侧 f“(x)符号相反，而后一个驻点及不可导点两侧 f“(x)符号相同，故函数 f(x)有 2个极值点 4.设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3处的法线与 x轴交点的横坐标是 A B （分数：4
9、.00）A. B.C.D.解析：解析 先由 x=3确定 t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标当 x=3时，有 t 2 +2t=3，得 t=1，t=-3(舍去，此时 y无意义)，于是 可见过点 x=3(此时 y=ln2)的法线方程为：y-ln2=-8(x-3)， 令 y=0，得其与 x轴交点的横坐标为： 5.设 f(x，y)为连续函数，则 等于 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查将极坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可由题设可知积分区域 D如图所示，显然
10、是 Y型域，则 故选 C 6.设函数 f(u，v)满足 则 依次是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析一 先求出 f(u，v)，直接求偏导数即可 令 则 故 所以 选 D 解析二 令 时， 方程 两边分别对 x，y 求偏导数得 把 代入上两式 解方程组有 7.n阶矩阵 A具有，n 个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：解析 A 8.设 A是 n阶矩阵， 是 n维列向量，若秩 则线性方程组 AAx= 必有无穷多解 BAx= 必有惟一解 C D （分数：4.00）A.
11、B.C.D. 解析：解析 因 A是 n阶矩阵， 是 n+1阶矩阵，有 所以 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）解析： 解析 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可 因为 于是所求斜渐近线方程为 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握 这里应注意两点：1.当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线； 2.若当 x时，极限 10.反常积分 （分数：4.00）解析： 解析 利用凑微分法和牛顿莱布尼兹公式求解 11.设函数 （分数：4.00）解析： 解析 本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克劳林展开式 则 故 12.设封闭曲线
12、 L的极坐标方程为 （分数：4.00）解析： 解析 由极坐标下平面图形的面积公式直接计算即得 13.极限 （分数：4.00）解析：sin1-cos1. 解析 利用定积分的定义 14.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的秩为 1 （分数：4.00）解析：2 解析 因为 二次型 f的矩阵是 易见秩 r(A)=2，故二次型 f的秩为 2. 若认为二次型的标准形是 从而秩 r(f)=3就错误了 因为对于 而言，由于行列式 从而不是坐标变换，因而 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分
13、数：10.00）_正确答案：()解析：解 16.设函数 z=f(xy，yg(x)，函数 f具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1处取得极值 g(1)=1.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由题意 g“(1)=0.因为 所以，令 x=y=1，且注意到 g(1)=1，g“(1)=0，得 17.已知函数 f(x，y)满足 f“ xy (x，y)=2(y+1)e x ，f“ x (x，0)=(x+1)e x ，f(0，y)=y 2 +2y，求f(x，y)的极值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 f“ xy (x，y)=2(y+1)e x 两边以 y积分，得 f“
14、 x (x，y)=(y+1) 2 e x +(x)， 由 f“ x (x，0)=(x+1)e x ，有 (x)=xe x ， 再 f“ x (x，y)=(y+1) 2 e x +xe x 两边以 x积分，得 f(x，y)=(y+1) 2 e x +(x-1)e x +(y)， 用 f(0，y)=y 2 +2y，可知 (y)=0，因而 f(x，y)=(y+1) 2 e x +(x-1)e x ， 解方程组 18.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， 其中 D=(x，y)|0x1，0y1，计算二重积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 用分部
15、积分法 交换积分次序 再用分部积分法 所以 已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)-2f(x)=0及 f“(x)+f(x)=2e x ，（分数：12.00）(1).求 f(x)的表达式；（分数：6.00）_正确答案：()解析：解 齐次线性微分方程 f“(x)+f“(x)-2f(x)=0的特征方程为：r 2 +r-2=0，特征根为 r 1 =1，r 2 =-2， 因此齐次微分方程的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e -2x 于是 f“(x)=C 1 e x -2C 2 e -2x ，f“(x)=C 1 e x +4C 2 e -2x ， 代入 f“(x)+f(x)=2e
16、x 得 2C 1 e x +5C 2 e -2x =2e x ，从而 C 1 =1，C 2 =0， 故 f(x)=e x (2).求曲线 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 因曲线方程为 所以 设奇函数 f(x)在闭区间-1，1上具有 2阶导数，且 f(1)=1.证明（分数：10.00）(1).存在 (0，1)，使得 f“()=1；（分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 方法一：令 F(x)=f(x)-x，则 F(1)=f(1)-1=0.由 f(x)为奇函数知 f(0)=0，因此 F(0)=f(0)-0=0，即 F(x)在区间0，1上满足罗尔定理条件，于是存在点 (0，1)，使得
17、 F“()=0，即 f“()=1. 方法二：由 f(x)为奇函数知 f(0)=0，且易知 f(x)在区间0，1上满足拉格朗日中值定理条件，因此存在点 (0，1)，使得 (2).存在 (-1，1)，使得 f“()+f“()=1.（分数：5.00）_正确答案：()解析：证明 令 G(x)=e x f“(x)-1由第一小题知 G()=0.又已知 f(x)为奇函数，故 f“(x)为偶函数，于是 f“(-)=f“()=1，故 G(-)=0.因此 G(x)在区间-，上满足罗尔定理条件，于是存在点 设曲线 L的方程为 （分数：10.00）(1).求 L的弧长；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 因为
18、 故 L的弧长 (2).设 D是由曲线 L，直线 x=1，x=e 及 x轴所围平面图形，求 D的形心的横坐标（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 D 的形心的横坐标 而且 故 设四元齐次线性方程组()为 （分数：11.00）(1).求方程组()的一个基础解系；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有 (2).当 a为何值时，方程组()与()有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 设 是方程组()和()的非零公共解，则 =x 1 1 +x 2 2 =-x 3 1 -x 4 2 那么 x 1 1
19、+x 2 2 +x 3 1 +x 4 4 =0. 对系数矩阵 A=( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )作初等行变换，有 由 不全为 当 a=-1时 得基础解系 1 =(-1，-1，1，0) T ， 2 =(-4，-7，0，1) T 所以 Ax=0的通解为 k 1 1 +k 2 2 =(-k 1 -4k 2 ，-k 1 -7k 2 ，k 1 ，k 2 ) T 故方程组()和()的公共解 19.设 A为 m阶实对称矩阵且正定，B 为 mn阶实矩阵，B T 为 B的转置矩阵，试证 B T AB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B的秩 r(B)=n （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 必要性：设 B T AB是正定矩阵，按正定定义 恒有 x T (B T AB)x0 即(Bx) T A(Bx)0 那么 恒有 Bx0.从而齐次方程组 Bx=0只有零解，故秩 r(B)=n 充分性：因为(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，知 B T AB为实对称矩阵 当秩 r(B)=n时，Bx=0 只有零解，那么 恒有 Bx0.因为 A是正定矩阵，那么当 Bx0 时必有(Bx) T A(Bx)0，所以
