1、考研数学二-296 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:19,分数:47.50)1. (分数:2.50)2.设 ,则 (分数:2.50)3.设 z=e sin2xy ,则 dz= 1 (分数:2.50)4.设 ,则 (分数:2.50)5.设 ,则 (分数:2.50)6.设 f(x,y)满足 (分数:2.50)7. ,其中 f,g 二阶连续可导,则 (分数:2.50)8.设 ,且 f(u,v)具有二阶连续的偏导数,则 (分数:2.50)9.设 ,其中 f(u)可导,则 (分数:2.50)10.设 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ,xyz)且 f 一阶连续
2、可偏导,则 (分数:2.50)11.设 y=y(x,z)是由方程 e x+y+z =x 2 +y 2 +z 2 确定的隐函数,则 (分数:2.50)12.设 x=f(x,y)是由 确定的函数,则 (分数:2.50)13.设 y=y(x)由 确定,则 (分数:2.50)14.设 z=z(x,y)由 z+e z =xy 2 确定,则 dz= 1 (分数:2.50)15.设 z=f(x+y,y+z,z+x),其中厂连续可偏导,则 (分数:2.50)16.设 ,其中 f 可导,则 (分数:2.50)17.由方程 (分数:2.50)18.设 f(x,y,z)=e x y 2 。,其中 z=z(x,y)是
3、由 z+y+z+xyz=0 确定的隐函数,则 f“ x (0,1,-1)= 1 (分数:2.50)19.设 f(x,y)可微,且 f“ 1 (-1,3)=-2,f“ 2 (-1,3)=1,令 (分数:2.50)二、选择题(总题数:7,分数:17.50)20.设 (分数:2.50)A.对 x 可偏导,对 y 不可偏导B.对 x 不可偏导,对 y 可偏导C.对 x 可偏导,对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导,对 y 也不可偏导21.设 f“ x (x 0 ,y 0 ),f“ y (x 0 ,y 0 )都存在,则_ Af(x,y)在(x 0 ,y 0 )处连续 B 存在 Cf(x,y)在(x 0
4、,y 0 )处可微 D (分数:2.50)A.B.C.D.22.设 f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,且满足 (分数:2.50)A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极值23.设 f(x,y)在(0,0)的某邻域内连续,且满足 (分数:2.50)A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值24.设 u=f(x+y,xz)有二阶连续的偏导数,则 (分数:2.50)A.f“2+xf“11+(x+z)f“12+xzf“22B.xf“12+xzf“22C.f“2+xf“12+xzf“22D.xzf“2225.函数 z=f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )可偏导是
5、函数 z=f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )连续的_(分数:2.50)A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件26.设可微函数 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )处取得极小值,则下列结论正确的是_(分数:2.50)A.f(x0,y)在 y=y0 处导数为零B.f(x0,y)在 y=y0 处导数大于零C.f(x0,y)在 y=y0 处导数小于零D.f(x0,y)在 y=y0 处导数不存在三、解答题(总题数:8,分数:35.00)27.设 u=x yz ,求 du (分数:4.00)_28.设 z=yf(x 2 -y 2 ),其中 f 可导,证明: (分数:4.00)_
6、29.设 ,其中 f,g 二阶可导,证明: (分数:7.00)_30.设 u=f(x+y,x 2 +y 2 ),其中 f 二阶连续可偏导,求 (分数:4.00)_31.设 z=fxg(y),x-y,其中 f 二阶连续可偏导,g 二阶可导,求 (分数:4.00)_32.设 x=z(x,y)由 xyz=x+y+z 确定,求 (分数:4.00)_33.举例说明多元函数连续不一定可偏导可偏导不一定连续 (分数:4.00)_34.设 (分数:4.00)_考研数学二-296 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:19,分数:47.50)1. (分数:2.50)解析:解析
7、2.设 ,则 (分数:2.50)解析:解析 3.设 z=e sin2xy ,则 dz= 1 (分数:2.50)解析:e sin2xy sin2xy(ydx+xdy) 解析 4.设 ,则 (分数:2.50)解析:解析 则5.设 ,则 (分数:2.50)解析:解析 6.设 f(x,y)满足 (分数:2.50)解析:y 2 +xy+1 解析 由 得 因为 f“ y (x,0)=x,所以 1 (x)=x,即 , 再由 7. ,其中 f,g 二阶连续可导,则 (分数:2.50)解析:解析 8.设 ,且 f(u,v)具有二阶连续的偏导数,则 (分数:2.50)解析: 解析 9.设 ,其中 f(u)可导,则
8、 (分数:2.50)解析:2z解析 ,则10.设 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ,xyz)且 f 一阶连续可偏导,则 (分数:2.50)解析: 解析 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ,xyz)两边对 x 求偏导得 ,于是 11.设 y=y(x,z)是由方程 e x+y+z =x 2 +y 2 +z 2 确定的隐函数,则 (分数:2.50)解析: 解析 e x+y+z =x 2 +y 2 +z 2 两边对 z 求偏导得 ,从而 12.设 x=f(x,y)是由 确定的函数,则 (分数:2.50)解析: 解析 将 代入 中得 z=0, 两边求微分得 2e 2yz (zdy+ydz)+dx+
9、2ydy+dz=0,将 , ,z=0 代入得 13.设 y=y(x)由 确定,则 (分数:2.50)解析:e-1解析 当 x=0 时,y=1, 两边对 x 求导,得 ,将 x=0,y=1 代入得14.设 z=z(x,y)由 z+e z =xy 2 确定,则 dz= 1 (分数:2.50)解析: 解析 方法一 z+e z =xy 2 两边关于 x 求偏导得 ,解得 ;z+e z =xy 2 两边关于 y 求偏导得 ,解得 故 方法二 z+e z =xy 2 两边求微分得 d(z+e z )=d(xy 2 ),即 dz+e z dz=y 2 dx+2xydy,解得 15.设 z=f(x+y,y+z
10、,z+x),其中厂连续可偏导,则 (分数:2.50)解析:解析 z=f(x+y,y+z,z+x)两边求 z 求偏导得 解得16.设 ,其中 f 可导,则 (分数:2.50)解析:z+xy 解析 则 17.由方程 (分数:2.50)解析: 解析 两边求微分得 把(1,0,-1)代入上式得 18.设 f(x,y,z)=e x y 2 。,其中 z=z(x,y)是由 z+y+z+xyz=0 确定的隐函数,则 f“ x (0,1,-1)= 1 (分数:2.50)解析:1 解析 x+y+z+xyz=0 两边对 x 求偏导得 ,将 x=0,y=1,z=-1,代入得 19.设 f(x,y)可微,且 f“ 1
11、 (-1,3)=-2,f“ 2 (-1,3)=1,令 (分数:2.50)解析:-7dx+3dy 解析 , 则 二、选择题(总题数:7,分数:17.50)20.设 (分数:2.50)A.对 x 可偏导,对 y 不可偏导B.对 x 不可偏导,对 y 可偏导 C.对 x 可偏导,对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导,对 y 也不可偏导解析:解析 因为 不存在,所以 f(x,y)在(0,0)处对 x 不可偏导, 因为 21.设 f“ x (x 0 ,y 0 ),f“ y (x 0 ,y 0 )都存在,则_ Af(x,y)在(x 0 ,y 0 )处连续 B 存在 Cf(x,y)在(x 0 ,y 0 )处
12、可微 D (分数:2.50)A.B.C.D. 解析:解析 多元函数在一点可偏导不一定在该点连续,A 不对; 函数 在(0,0)处可偏导,但 不存在,B 不对;f(x,y)在(x 0 ,y 0 )处可偏导是可微的必要而非充分条件,C 不对,应选 D,事实上由 存在得 22.设 f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,且满足 (分数:2.50)A.取极大值 B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极值解析:解析 因为 ,根据极限保号性,存在 0,当 时,有 ,而 , 所以当 23.设 f(x,y)在(0,0)的某邻域内连续,且满足 (分数:2.50)A.取极大值 B.取极小值C.不取极值D.无
13、法确定是否取极值解析:解析 ,所以由极限的保号性,存在 0,当 时, 因为当 时,|x|+y 2 0,所以当 24.设 u=f(x+y,xz)有二阶连续的偏导数,则 (分数:2.50)A.f“2+xf“11+(x+z)f“12+xzf“22B.xf“12+xzf“22C.f“2+xf“12+xzf“22 D.xzf“22解析:解析 25.函数 z=f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )可偏导是函数 z=f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )连续的_(分数:2.50)A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件 解析:解析 如 在点(0,0)处可偏导,但不连续; 又如 26.设可
14、微函数 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )处取得极小值,则下列结论正确的是_(分数:2.50)A.f(x0,y)在 y=y0 处导数为零 B.f(x0,y)在 y=y0 处导数大于零C.f(x0,y)在 y=y0 处导数小于零D.f(x0,y)在 y=y0 处导数不存在解析:解析 可微函数 f(x,y)在点(x 0 ,y 0 )处取得极小值,则有 f“ x (x 0 ,y 0 )=0,f“ y (x 0 ,y 0 )=0,于是 f(x 0 ,y=y 0 处导数为零,选 A三、解答题(总题数:8,分数:35.00)27.设 u=x yz ,求 du (分数:4.00)_正确答案:()解析:解
15、 由 u=e yzlnx 得 故 28.设 z=yf(x 2 -y 2 ),其中 f 可导,证明: (分数:4.00)_正确答案:()解析:证明 ,则 29.设 ,其中 f,g 二阶可导,证明: (分数:7.00)_正确答案:()解析:证明 故 30.设 u=f(x+y,x 2 +y 2 ),其中 f 二阶连续可偏导,求 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 则 31.设 z=fxg(y),x-y,其中 f 二阶连续可偏导,g 二阶可导,求 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 32.设 x=z(x,y)由 xyz=x+y+z 确定,求 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解
16、方法一 令 F=xyz-x-y-z, 则 方法二 xyz=x+y+z 两边对 x 求偏导得 ,解得 ,故 33.举例说明多元函数连续不一定可偏导可偏导不一定连续 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 设 ,显然 f(x,y)在点(0,0)处连续,但 不存在,所以 f(x,y)在点(0,0)处对 x 不可偏导,由对称性,f(x,y)在点(0,0)处对 y 也不可偏导 设 因为 , 所以 f(x,y)在点(0,0)处可偏导,且 f“ x (0,0)=f“ y (0,0)=0 因为 ,所以 34.设 (分数:4.00)_正确答案:()解析:解 因为 ,所以 不存在,故函数 f(x,y)在点(0,0)处不连续 因为