1、考研数学二-296 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：19，分数：47.50)1. （分数：2.50）2.设 ，则 （分数：2.50）3.设 z=e sin2xy ，则 dz= 1 （分数：2.50）4.设 ，则 （分数：2.50）5.设 ，则 （分数：2.50）6.设 f(x，y)满足 （分数：2.50）7. ，其中 f，g 二阶连续可导，则 （分数：2.50）8.设 ，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.50）9.设 ，其中 f(u)可导，则 （分数：2.50）10.设 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ，xyz)且 f 一阶连续
2、可偏导，则 （分数：2.50）11.设 y=y(x，z)是由方程 e x+y+z =x 2 +y 2 +z 2 确定的隐函数，则 （分数：2.50）12.设 x=f(x，y)是由 确定的函数，则 （分数：2.50）13.设 y=y(x)由 确定，则 （分数：2.50）14.设 z=z(x，y)由 z+e z =xy 2 确定，则 dz= 1 （分数：2.50）15.设 z=f(x+y，y+z，z+x)，其中厂连续可偏导，则 （分数：2.50）16.设 ，其中 f 可导，则 （分数：2.50）17.由方程 （分数：2.50）18.设 f(x，y，z)=e x y 2 。，其中 z=z(x，y)是
3、由 z+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f“ x (0，1，-1)= 1 （分数：2.50）19.设 f(x，y)可微，且 f“ 1 (-1，3)=-2，f“ 2 (-1，3)=1，令 （分数：2.50）二、选择题(总题数：7，分数：17.50)20.设 （分数：2.50）A.对 x 可偏导，对 y 不可偏导B.对 x 不可偏导，对 y 可偏导C.对 x 可偏导，对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导21.设 f“ x (x 0 ，y 0 )，f“ y (x 0 ，y 0 )都存在，则_ Af(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续 B 存在 Cf(x，y)在(x 0
4、，y 0 )处可微 D （分数：2.50）A.B.C.D.22.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.50）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极值23.设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.50）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值24.设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.50）A.f“2+xf“11+(x+z)f“12+xzf“22B.xf“12+xzf“22C.f“2+xf“12+xzf“22D.xzf“2225.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )可偏导是
5、函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )连续的_（分数：2.50）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件26.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是_（分数：2.50）A.f(x0，y)在 y=y0 处导数为零B.f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零C.f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零D.f(x0，y)在 y=y0 处导数不存在三、解答题(总题数：8，分数：35.00)27.设 u=x yz ，求 du （分数：4.00）_28.设 z=yf(x 2 -y 2 )，其中 f 可导，证明： （分数：4.00）_
6、29.设 ，其中 f，g 二阶可导，证明： （分数：7.00）_30.设 u=f(x+y，x 2 +y 2 )，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_31.设 z=fxg(y)，x-y，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 （分数：4.00）_32.设 x=z(x，y)由 xyz=x+y+z 确定，求 （分数：4.00）_33.举例说明多元函数连续不一定可偏导可偏导不一定连续 （分数：4.00）_34.设 （分数：4.00）_考研数学二-296 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：19，分数：47.50)1. （分数：2.50）解析：解析
7、2.设 ，则 （分数：2.50）解析：解析 3.设 z=e sin2xy ，则 dz= 1 （分数：2.50）解析：e sin2xy sin2xy(ydx+xdy) 解析 4.设 ，则 （分数：2.50）解析：解析 则5.设 ，则 （分数：2.50）解析：解析 6.设 f(x，y)满足 （分数：2.50）解析：y 2 +xy+1 解析 由 得 因为 f“ y (x，0)=x，所以 1 (x)=x，即 ， 再由 7. ，其中 f，g 二阶连续可导，则 （分数：2.50）解析：解析 8.设 ，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.50）解析： 解析 9.设 ，其中 f(u)可导，则
8、 （分数：2.50）解析：2z解析 ，则10.设 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ，xyz)且 f 一阶连续可偏导，则 （分数：2.50）解析： 解析 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ，xyz)两边对 x 求偏导得 ，于是 11.设 y=y(x，z)是由方程 e x+y+z =x 2 +y 2 +z 2 确定的隐函数，则 （分数：2.50）解析： 解析 e x+y+z =x 2 +y 2 +z 2 两边对 z 求偏导得 ，从而 12.设 x=f(x，y)是由 确定的函数，则 （分数：2.50）解析： 解析 将 代入 中得 z=0， 两边求微分得 2e 2yz (zdy+ydz)+dx+
9、2ydy+dz=0，将 ， ，z=0 代入得 13.设 y=y(x)由 确定，则 （分数：2.50）解析：e-1解析 当 x=0 时，y=1， 两边对 x 求导，得 ，将 x=0，y=1 代入得14.设 z=z(x，y)由 z+e z =xy 2 确定，则 dz= 1 （分数：2.50）解析： 解析 方法一 z+e z =xy 2 两边关于 x 求偏导得 ，解得 ；z+e z =xy 2 两边关于 y 求偏导得 ，解得 故 方法二 z+e z =xy 2 两边求微分得 d(z+e z )=d(xy 2 )，即 dz+e z dz=y 2 dx+2xydy，解得 15.设 z=f(x+y，y+z
10、，z+x)，其中厂连续可偏导，则 （分数：2.50）解析：解析 z=f(x+y，y+z，z+x)两边求 z 求偏导得 解得16.设 ，其中 f 可导，则 （分数：2.50）解析：z+xy 解析 则 17.由方程 （分数：2.50）解析： 解析 两边求微分得 把(1，0，-1)代入上式得 18.设 f(x，y，z)=e x y 2 。，其中 z=z(x，y)是由 z+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f“ x (0，1，-1)= 1 （分数：2.50）解析：1 解析 x+y+z+xyz=0 两边对 x 求偏导得 ，将 x=0，y=1，z=-1，代入得 19.设 f(x，y)可微，且 f“ 1
11、 (-1，3)=-2，f“ 2 (-1，3)=1，令 （分数：2.50）解析：-7dx+3dy 解析 ， 则 二、选择题(总题数：7，分数：17.50)20.设 （分数：2.50）A.对 x 可偏导，对 y 不可偏导B.对 x 不可偏导，对 y 可偏导 C.对 x 可偏导，对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导解析：解析 因为 不存在，所以 f(x，y)在(0，0)处对 x 不可偏导， 因为 21.设 f“ x (x 0 ，y 0 )，f“ y (x 0 ，y 0 )都存在，则_ Af(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续 B 存在 Cf(x，y)在(x 0 ，y 0 )处
12、可微 D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，A 不对； 函数 在(0，0)处可偏导，但 不存在，B 不对；f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可偏导是可微的必要而非充分条件，C 不对，应选 D，事实上由 存在得 22.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.50）A.取极大值 B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极值解析：解析 因为 ，根据极限保号性，存在 0，当 时，有 ，而 ， 所以当 23.设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.50）A.取极大值 B.取极小值C.不取极值D.无
13、法确定是否取极值解析：解析 ，所以由极限的保号性，存在 0，当 时， 因为当 时，|x|+y 2 0，所以当 24.设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.50）A.f“2+xf“11+(x+z)f“12+xzf“22B.xf“12+xzf“22C.f“2+xf“12+xzf“22 D.xzf“22解析：解析 25.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )可偏导是函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )连续的_（分数：2.50）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件 解析：解析 如 在点(0，0)处可偏导，但不连续； 又如 26.设可
14、微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是_（分数：2.50）A.f(x0，y)在 y=y0 处导数为零 B.f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零C.f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零D.f(x0，y)在 y=y0 处导数不存在解析：解析 可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则有 f“ x (x 0 ，y 0 )=0，f“ y (x 0 ，y 0 )=0，于是 f(x 0 ，y=y 0 处导数为零，选 A三、解答题(总题数：8，分数：35.00)27.设 u=x yz ，求 du （分数：4.00）_正确答案：()解析：解
15、 由 u=e yzlnx 得 故 28.设 z=yf(x 2 -y 2 )，其中 f 可导，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 ，则 29.设 ，其中 f，g 二阶可导，证明： （分数：7.00）_正确答案：()解析：证明 故 30.设 u=f(x+y，x 2 +y 2 )，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 则 31.设 z=fxg(y)，x-y，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 32.设 x=z(x，y)由 xyz=x+y+z 确定，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解
16、方法一 令 F=xyz-x-y-z， 则 方法二 xyz=x+y+z 两边对 x 求偏导得 ，解得 ，故 33.举例说明多元函数连续不一定可偏导可偏导不一定连续 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设 ，显然 f(x，y)在点(0，0)处连续，但 不存在，所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x 不可偏导，由对称性，f(x，y)在点(0，0)处对 y 也不可偏导 设 因为 ， 所以 f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且 f“ x (0，0)=f“ y (0，0)=0 因为 ，所以 34.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 不存在，故函数 f(x，y)在点(0，0)处不连续 因为
