1、考研数学二-295 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：26，分数：100.00)1.设 f(x)在区间0，1上可导， （分数：2.00）_2.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_3.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：4.00）_4.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且|f“(x)|2证明： （分数：4.00）_5.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_6.求曲线 （分数：4.00）_7.求曲线
2、 y=x 2 -2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积V （分数：4.00）_设 L：y=e -x (x0)（分数：4.00）(1).求由 y=e -x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a)（分数：2.00）_(2).设 （分数：2.00）_设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数（分数：4.00）(1).证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；（分数：2.00）_(2).设 f(x)在(0，1)
3、内可导，且 （分数：2.00）_8.求圆 x 2 +y 2 =2y 内位于抛物线 y=x 2 上方部分的面积 （分数：4.00）_9.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )所围成的面积 （分数：4.00）_10.抛物线 y 2 =2x 把圆 x 2 +y 2 =8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比 （分数：4.00）_11.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是
4、 （分数：4.00）_12.设曲线 y=a+x-x 3 ，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a （分数：4.00）_13.曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积 （分数：4.00）_14.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积 （分数：4.00）_15.求曲线 y=3-|x 2 -1|与 x 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积 （分数：4.00）_16
5、.求由曲线 y=4-x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积 （分数：4.00）_17.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 （分数：4.00）_18.求摆线 （分数：4.00）_19.设曲线 （分数：4.00）_20.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小 （分数：2.00）_设直线 y=kx 与曲线 （分数：4.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V 1 与 V 2 之和最小，
6、并求最小值；（分数：2.00）_(2).求此时的 D 1 +D 2 （分数：2.00）_21.求摆线 （分数：4.00）_22.设曲线 （分数：4.00）_23.一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功 （分数：4.00）_考研数学二-295 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：26，分数：100.00)1.设 f(x)在区间0，1上可导， （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=x 2 f(x)，由积分中值定理得 ，其中 c ，即 (c)=(1)，显然(x)在区间0，1上可导，由罗尔中值
7、定理，存在 (c，1) 2.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，显然 (x)在a，b上可导，又 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0，而 ， 所以 ，即 解析 由 得 即 ，则辅助函数为 3.设 f(t)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，因为 F(0)=F()=0，所以存在 x 1 (0，)，使得 F“(x 1 )=0，即 f(x 1 )sinx 1 =0，又因为 sinx 1 0，所以 f(x 1 )=0 设 x 1 是 f
8、(x)在(0，)内唯一的零点，则当 x(0，)且 xx 1 时，有 sin(x-x 1 )f(x)恒正或恒负，于是 而 矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点不妨设 f(x 1 )=f(x 2 )=0，x 1 ，x 2 (0，)且x 1 x 2 ，由罗尔中值定理，存在 (x 1 ，x 2 ) 4.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且|f“(x)|2证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由微分中值定理得 f(x)-f(0)=f“( 1 )x，其中 0 1 x，f(x)-f(2)=f“( 2 )(x-2)，其中 x 2 2，于是 从而
9、5.设 f(x)在区间a，b上二阶连续可导，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，则 F(x)在a，b上三阶连续可导，取 ，由泰勒公式得 两式相减得 ，即 因为 f“(x)在a，b上连续，所以存在 1 ， 2 (a，b)，使得 ，从而 6.求曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 取 ，dV y =2xcosxdx， 故 7.求曲线 y=x 2 -2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积V （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 区域面积为设 L：y=e -x (x0)（分数：4.
10、00）(1).求由 y=e -x 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴一周而得的旋转体的体积 V(a)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 (2).设 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 ， 得 ，解得设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数（分数：4.00）(1).证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 S 1 (c)=cf(c)， ，即证明 S 1 (c)=S 2 (c)，或 令 ，(0)=(1)=0，根据罗尔定理，存
11、在 c(0，1)，使得 “(c)=0，即 (2).设 f(x)在(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令8.求圆 x 2 +y 2 =2y 内位于抛物线 y=x 2 上方部分的面积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 所围成的面积为 9.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )所围成的面积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 根据对称性，所求面积为第一卦限面积的 4 倍，令 则双纽线的极坐标形式为 ，第一卦限的面积为 10.抛物线 y 2 =2x 把圆 x 2 +y 2 =8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之
12、比 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设左边的面积为 S 1 ，右边的面积为 S 2 ， 由 得 则 由 得 11.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由题设 C:y=x 2 ， ，令 C 2 :x=f(y)，P 点坐标为(x，y)，则 所以 ，因为 PC，所以有 ，即 ，两边对 x 求导，得 ，即 从而 C 2 的方程为 ，即 12.设曲
13、线 y=a+x-x 3 ，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设曲线 y=a+x-x 3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，()，由条件得 ，移项得 因为 0，所以 4a+2- 3 =0 又因为(，0)为曲线 y=a+x-x 3 与 x 轴的交点，所以有 a+- 3 =0，从而有 13.曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 取x，x+dx 1，2，dv
14、=2x|(x-1)(x-2)|dx=-2x(x-1)(x-2)dx， 14.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 取x，x+dx 0，1，则 15.求曲线 y=3-|x 2 -1|与 x 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 取x，x+dx 0，1， dv 1 =3 2 -(x 2 -1) 2 dx=(8+2x 2 -x 4 )dx， dv 2 =3 2 -(1-x 2 ) 2 dx=(8+2x 2 -x 4 )dx
15、， 则所求体积为 16.求由曲线 y=4-x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方法一 取x，x+dx -2，2，则 dV=2(3-x)(4-x 2 )dx， 方法二 取y，y+dy 0，4， 则 17.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设切点坐标为(a，a 2 )(a0)，则切线方程为 y-a 2 =2a(x-a)，即 y=2ax-a 2 ， 由题意得 ，解得 a=1， 则切线方程为 y-2x-1，旋转体的体积为 18.求摆
16、线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 19.设曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4-a曲线可化为 ，对任意的x，x+dx 0,a， 于是 ，根据对称性，有 于是 令 ，又 V“(2)0，所以 a=2 时，两体积之和最大，且最大值为 20.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以 a+b=2，b=2-a 因
17、为 a0，所以 b0，抛物线与 x 轴的两个交点为 0， ，所以 设直线 y=kx 与曲线 （分数：4.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小值；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由方程组 得直线与曲线交点为 则 令 因为 V“(k)0，所以函数 V(k)当 时取最小值，且最小值为 (2).求此时的 D 1 +D 2 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以此时21.求摆线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 ，则22.设曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设切点为 ，则过原点的切线方程为 将 代入切线方程，得 a=2， ，故切线方程为 ， 由曲线 在区间1，2上的一段绕 x 轴一周所得旋转面的面积为 切线 y 在区间0，2上一段绕 x 轴一周所得旋转曲面面积为 所求旋转曲面的表面积为 23.一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x 轴铅直向下，取x，x+dx 0，2R，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功， d=(2R-x)R 2 -(R-x)2 2 1gdx=x(2R-x) 2 gdx，
