1、考研数学二-288 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：24，分数：100.00)1.证明： （分数：4.00）_2.证明方程 x+p+qcosx=0 有且仅有一个实根，其中 p，q 为常数，且 0q1 （分数：2.00）_3.证明方程 （分数：4.00）_4.设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点 （分数：4.00）_5.设 （分数：4.00）_6.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_设 f(x)在a，b上
2、连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：（分数：8.00）(1).存在 (a，b)，使得 f“()=2f()（分数：4.00）_(2).存在 (a，b)，使得 f“()+f()=0（分数：4.00）_7.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f“()-f()=f(2)-2f(1) （分数：4.00）_8.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f“(x)0，证明：存在 ，(1，2)，使得 （分数：4.00）_9.证明：当 x1 时， （分数：4.00）_10.证明：当 x0 时， （分数：4.00）_11.证明：当 0x1
3、 时， （分数：4.00）_12.当 时，证明： （分数：4.00）_13.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明： （分数：4.00）_14.求曲线 （分数：4.00）_15.求曲线 （分数：4.00）_16.求 （分数：4.00）_17.证明：当 x0 时， （分数：4.00）_18.设 0a1，证明：方程 arctan=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根 （分数：4.00）_19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_20.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，
4、证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()g“()=0 （分数：2.00）_设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 （分数：4.00）(1). 1 ， 2 (0，3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0（分数：2.00）_(2).存在 (0，3)，使得 f“()-2f“()=0（分数：2.00）_设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1z2)，又 （分数：8.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：4.00）_(2).存在 (1，2)，使得 （分数：4.00）_21.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b
5、)内为凹函数 （分数：4.00）_考研数学二-288 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：24，分数：100.00)1.证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(0)=0 方法一 由 得 则 x=0 为 f(x)的最小值点，而最小值为 f(0)=0，故 f(x)0，即 方法二 令 ，得 x=0，因为 ，所以 x=0 为 f(x)的最小值点，最小值为 f(0)=0，所以有 2.证明方程 x+p+qcosx=0 有且仅有一个实根，其中 p，q 为常数，且 0q1 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=x+p+qcosx，
6、因为 f“(x)=1-qsinx0，所以 f(x)在(-，+)上单调增加，又因为3.证明方程 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 ，令 ，令 ，得 x=e，因为 ，所以 为 f(x)的最大值，又因为，4.设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 f(x)的定义域为(0，+)， 由 f“(x)=lnx+1=0，得驻点为 ，由 ，得 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 时，函数 f(x)在(0，+)内没有零点； (2)当 时，函数 f(x)在(0，+)内有唯一零
7、点 ； (3)当 时，函数 f(x)在(0，+)内有两个零点，分别位于 与 5.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 因为 ，所以 f(x)在(-，+)上单调增加 因为 ，当 x0 时，f“(x)0；当 x0 时，f“(x)0，则 y=f(x)在(-，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0，+)内是凸的，(0，0)为 y=f(x)的拐点 因为 f(-x)=-f(x)，所以 f(x)为奇函数 由 得 与 6.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=(b-x) a f(
8、x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0， 由 “(x)=(b-x) a-1 (b-x)f“(x)-af(x)得(b-) a-1 (b-)f“()-af()且(b-) a-1 0，故 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：（分数：8.00）(1).存在 (a，b)，使得 f“()=2f()（分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e -x2 f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “
9、()=0， 而 “(x)=e -x2 f“(x)-2xf(x)且 e -x2 0，故 f“()=2f()(2).存在 (a，b)，使得 f“()+f()=0（分数：4.00）_正确答案：()解析：令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0， 而 “(x)=xf“(x)+f(x)，故 f“()+f()=07.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f“()-f()=f(2)-2f(1) （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 则 (x)在1，2上连续，在(1，2)
10、内可导，且 (1)=(2)=f(2)-f(1)， 由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 “()=0， 而 ，故 f“()-f()=f(2)-2f(1) 解析 由 xf“(x)-f(x)=f(2)-2f(1)得 ，从而 ，辅助函数为 8.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f“(x)0，证明：存在 ，(1，2)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 F(x)=lnx， ，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 即 由拉格朗日中值定理得 ，其中 (1，2)，f(2)-f(1)=f“()(2-1)=f“()，其中 (1，2)，故 9.证明：当 x1 时， （分数：4.
11、00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，f(1)=2ln20， 因为 所以 f(x)在1，+)上单调增加， 再由 f(1)=2ln20 得当 x1 时，f(x)0，即 分析当 x1 时， 10.证明：当 x0 时， （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 因为 ，所以 f(x)在(0，+)内单调递减， 又因为 ，所以 ，即 11.证明：当 0x1 时， （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，f(0)=0， ， 由 得当 0x1 时，f(x)0，故 解析 等价于 12.当 时，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明
12、 令 f(x)=x-sinx，f(0)=0 f“(x)=1-cosx0 ， 由 得 ，即当 时，sinxx； 令 ，g(0)=0， 由 得 g(x)在 内为凸函数 由 得 ，即当 时， ，故当 时， 13.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，(0)=-1， ， 因为 f(x)1，所以 ，从而 (0)(1)0，由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (c)=0 因为 “(x)=2-f(x)0，所以 (x)在0，1上单调增加，故方程 14.求曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 ， ， 由 y“0 得(x-3) 2 -1
13、0，解得 2x4， 故曲线 15.求曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 得 曲线 16.求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 y=f(x)没有水平渐近线， 由 得 x=0 为铅直渐近线， 由 得 x=2 为铅直渐近线， 由 ， 17.证明：当 x0 时， （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 (t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得 由 得 18.设 0a1，证明：方程 arctan=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=arctanx-ax，由 得 ， 由 得 为 f(x)的最大
14、点， 由 ，f(x)=0 得方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有唯一实根，位于 19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 F(x)=lnx， ， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 ， 即 ，整理得 20.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()g“()=0 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=f(x)e g(x) ， 由 f(a)=f(b)=0 得 (a)=(b)=
15、0，则存在 (a，b)，使得 “()=0， 因为 “(x)=e g(x) f“(x)+f(x)g“(x)且 e g(x) 0，所以 f“()+f()g“()=0设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 （分数：4.00）(1). 1 ， 2 (0，3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，F“(x)=f(x)， ，其中 0c2 因为 f(x)在2，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值 m 和最大值 M， ， 由介值定理，存在 x 0 2，3，使得 ，即 f(2)+f(3)=2f(x 0 )，于是 f(0)=f(c)=
16、f(x 0 )， 由罗尔定理，存在 (2).存在 (0，3)，使得 f“()-2f“()=0（分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e -2x f“(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) 设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1z2)，又 （分数：8.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 令 h(x)=lnx， ，且 F“(x)=f(x)0， 由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 ，即 (2).存在 (1，2)，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 由 得 f(1)=0， 由拉格朗日中值定理得 f()=f()-f(1)=f“()(-1)，其中 1， 故 21.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 对任意的 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，取 ，由泰勒公式得 ，其中 介于 x 0 与 x 之间 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )，“=”成立当且仅当“x=x 0 ”，从而 两式相加得 即
