1、考研数学二-283 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：22，分数：66.00)1.设 y=y(x)由 （分数：3.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)二阶可导，且 f“(x)0，f“(x)0，y=f(x+x)-f(x)，其中 x0，则_（分数：3.00）A.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy03.设 f“(x)连续，f“(0)=0， （分数：3.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.f(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点4.设函数 f(x)在0，a上
2、连续，在(0，a)内二阶可导，且 f(0)=o，f“(x)0，则 （分数：3.00）A.单调增加B.单调减少C.恒等于零D.非单调函数5.设 f(x)可导，则当 x0 时，y-dy 是 x 的_（分数：3.00）A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小6.设函数 （分数：3.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续7.设 （分数：3.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导8.若 f(-x)=-f(x)，且在(0，+)内 f“(x)0，f“(x)0，则在(-，0)内_（分数：3.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)
3、0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)09.f(x)在(-，+)内二阶可导，f“(x)0， （分数：3.00）A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零10.若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：3.00）A.x=0 是 f(x)的零点B.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极大点D.x=0 是 f(x)的极小点11.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是_ A 存在 B 存在 C 存在 D （分数：3.00
4、）A.B.C.D.12.设曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=xy 3 -1 在点(1，-1)处切线相同，则_（分数：3.00）A.a=1，b=1B.a=-1，b=-1C.a=2，b=1D.a=-2，b=-113.设 f 在(-，+)上有定义，x 0 0 为函数 f(x)的极大值点，则_（分数：3.00）A.x0 为 f(x)的驻点B.-x0 为-f(-x)的极小值点C.-x0 为-f(x)的极小值点D.对一切的 x 有 f(x)f(x0)14.设 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0， （分数：3.00）A.f“(x0)是 f“(x)的极大值B.f(x0)是 f(x)的极大值C.f
5、(x0)是 f(x)的极小值D.(x0，f(x0)是 y=f(x)的拐点15.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx 在 x=1 处有极小值-2，则_（分数：3.00）A.a=1，b=2B.a=-1，b=-2C.a=0，b=-3D.a=0，b=316.设 f(x)=|x 3 -1|g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的_（分数：3.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件17.设 f(x)连续，且 ，则 F“(x)=_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.18.当 z0，1时，f“(x)0，则 f“(0)，f“
6、(1)，f(1)=f(0)的大小次序为_（分数：3.00）A.f“(0)f(1)-f(0)f“(1)B.f(0)f“(1)f(1)-f(0)C.f“(0)f“(1)f(1)-f(0)D.f“(0)f(1)-f(0)f“(1)19.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则_ A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 （分数：3.00）A.B.C.D.20.设 f(x)，g(x)(axb)为大于零的可导函数，且 f“(x)g(x)-f(x)g“(x)0，则当 axb 时，有_（分数：3.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(
7、x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)21.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 （分数：3.00）A.不可导B.可导但 f“(0)0C.取极大值D.取极小值22.设 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得_（分数：3.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(-，0)内单调减少C.对任意的 x(-，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)二、解答题(总题数：6，分数：34.00)23.设 f(x)=g(a+bc)-g(a-bc)，其中 g“(a)存在，求 f“(0) （分数：4.00）_24.设 f(x)=|x-a
8、|g(x)，其中 g(x)连续，讨论 f“(a)的存在性 （分数：6.00）_25.设 （分数：6.00）_26.设 （分数：6.00）_27.设 （分数：6.00）_28.设 ，且 （分数：6.00）_考研数学二-283 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：22，分数：66.00)1.设 y=y(x)由 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 当 x=0 时，由 得 y=1， 两边对 x 求导得 ， 解得 ，且 ， 由 得 2.设函数 f(x)二阶可导，且 f“(x)0，f“(x)0，y=f(x+x)-f(x)，其中 x0，则_（分数：3.00）A
9、.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy0 解析：解析 根据微分中值定理，y=f(x+x)-f(x)=f“()x0(x+xx)，dy=f“(x)x0，因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调增加，而 x，所以 f“()f“(x)，于是 f“()xf“(x)x，即 dyy0，选 D3.设 f“(x)连续，f“(0)=0， （分数：3.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.f(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点解析：解析 由 及 f“(x)的连续性，得 f“(0)=0，由极限的保号性，存在 0，当 0
10、|x| 时，4.设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a)内二阶可导，且 f(0)=o，f“(x)0，则 （分数：3.00）A.单调增加B.单调减少 C.恒等于零D.非单调函数解析：解析 令 h(x)=xf“(x)-f(x)，h(0)=0，h“(x)=xf“(x)0(0xa)， 由 得 h(x)0(0xa)， 于是 ，故 5.设 f(x)可导，则当 x0 时，y-dy 是 x 的_（分数：3.00）A.高阶无穷小 B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析 因为 f(x)可导，所以 f(x)可微分，即 y=dy+o(x)，所以 y-dy 是 x 的高阶无穷小，选 A6.设函数 （分
11、数：3.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续 解析：解析 因为 ，所以 f(x)在 x=0 处连续； 由 ，得 f(x)在 x=0 处可导，且 f“(0)=0； 当 x0 时， ；当 x0 时，f“(x)=2x， 因为 7.设 （分数：3.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导 解析：解析 因为 ，所以 f(x)在 x=1 处连续 因为 ，所以 f(x)在 x=1 处可导 当 x1 时，f“(x)=2x+1，因为 8.若 f(-x)=-f(x)，且在(0，+)内 f“(x)0，f“(x)0，则在(-，0)内_（分数：3.00）A.f“(x
12、)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0 D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析 因为 f(x)为奇函数，所以 f“(x)为偶函数，故在(-，0)内有 f“(x)0因为 f“(x)为奇函数，所以在(-，0)内 f“(x)0，选 C9.f(x)在(-，+)内二阶可导，f“(x)0， （分数：3.00）A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零 C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零解析：解析 由10.若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：3.00）A.x=0 是 f(x)的零点B.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f
13、(x)的极大点D.x=0 是 f(x)的极小点 解析：解析 由 得 f“(0)=0， 由 11.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是_ A 存在 B 存在 C 存在 D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 设 显然 ，而 f(x)在 x=0 处不可导，A 不对； 即 存在只能保证 f(x)在 x=0 处右可导，故 B 不对； 因为 ，所以 h0 时 ， 于是 存在不能保证 f(x)在 x=0 处可导，故 D 不对； 12.设曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=xy 3 -1 在点(1，-1)处切线相同，则_
14、（分数：3.00）A.a=1，b=1B.a=-1，b=-1 C.a=2，b=1D.a=-2，b=-1解析：解析 由 y=x 2 +ax+b 得 y“=2x+a，2y=xy 3 -1 两边对 x 求导得 2y“=y 3 +3xy 2 y“，解得 ， 因为两曲线在点(1，-1)处切线相同，所以 ，解得 13.设 f 在(-，+)上有定义，x 0 0 为函数 f(x)的极大值点，则_（分数：3.00）A.x0 为 f(x)的驻点B.-x0 为-f(-x)的极小值点 C.-x0 为-f(x)的极小值点D.对一切的 x 有 f(x)f(x0)解析：解析 因为 y=f(-x)的图像与 y=f(x)的图像关
15、于 Y 轴对称，所以-x 0 为 f(-x)的极大值点，从而-x 0 为-f(-x)的极小值点，选 B14.设 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0， （分数：3.00）A.f“(x0)是 f“(x)的极大值B.f(x0)是 f(x)的极大值C.f(x0)是 f(x)的极小值D.(x0，f(x0)是 y=f(x)的拐点 解析：解析 因为 ，所以存在 0，当 0|x-x 0 | 时， 15.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx 在 x=1 处有极小值-2，则_（分数：3.00）A.a=1，b=2B.a=-1，b=-2C.a=0，b=-3 D.a=0，b=3解析：解析 f“(x)=3x 2
16、+2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小值-2，所以 16.设 f(x)=|x 3 -1|g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的_（分数：3.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析：解析 设 g(1)=0， ， ， 因为 f“ - (1)=f“ + (1)=0，所以 f(x)在 x=1 处可导设 f(x)在 x=1 处可导， 17.设 f(x)连续，且 ，则 F“(x)=_ A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 18.当 z0，1时，f“(x)0，则 f“(0)，f“(1)，f(1)=
17、f(0)的大小次序为_（分数：3.00）A.f“(0)f(1)-f(0)f“(1)B.f(0)f“(1)f(1)-f(0)C.f“(0)f“(1)f(1)-f(0)D.f“(0)f(1)-f(0)f“(1) 解析：解析 由拉格朗日中值定理得 f(1)-f(0)=f“C(0c1)，因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调增加，故 f“(0)f“Cf“(1)，即 f“(0)f(1)-f(0)f“(1)，应选 D19.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则_ A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 取 ，显然 ，但 ，A 不对；
18、取 f(x)=cosx，显然 ，但 ，B 不对； 取 f(x)=x，显然 ，但 ，C 不对，应选 D事实上，取 ，因为 ，所以存在X0，当 xX 时， ，从而 当 xX 时， ， 从而 ，两边取极限得 20.设 f(x)，g(x)(axb)为大于零的可导函数，且 f“(x)g(x)-f(x)g“(x)0，则当 axb 时，有_（分数：3.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x) B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析：解析 由 f“(x)g(x)-f(x)g“(x)0 得 即 ，从而 为单调减函数 由 axb 得 21
19、.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 （分数：3.00）A.不可导B.可导但 f“(0)0C.取极大值D.取极小值 解析：解析 由 得 f(0)=0， 由极限保号性，存在 0，当 0|x| 时， 22.设 f(x)连续，且 f“(0)0，则存在 0，使得_（分数：3.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(-，0)内单调减少C.对任意的 x(-，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) 解析：解析 因为 ， 所以由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时， 二、解答题(总题数：6，分数：34.00)23.设 f(x)=g(a+bc)-g(a-bc)，其中 g“(a)存在，求 f“(0) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 24.设 f(x)=|x-a|g(x)，其中 g(x)连续，讨论 f“(a)的存在性 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 由 得 f“ - (a)=-g(a)； 由 25.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 26.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 由 得 27.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 28.设 ，且 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解
