1、考研数学二-282 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 的某邻域连续，且当 x0 时，f(x)与 xm为同阶无穷小又设 x0 时， （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A 是三阶非零矩阵，满足 A2=A，且 AE，则必有( )（分数：4.00）A.r()=1B.r(-E)=2C.r()-1r(A-E)-2=0D.r()-1r(A-E)-1=03.设 f(x)在 x=0 处存在 3 阶导数，且 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)=0，f“(0)0，则 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.下述
2、论断正确的是( )（分数：4.00）A.设 f(x)在(-，+)上有定义，除 x=0 外均可导，且 f(x)0，则 f(x)在(-，+)上严格单调增加B.设 f(x)为偶函数且 x=0 是 f(x)的极值点，则 f(0)=0C.设 f(x)在 x=x0处存在二阶导数，且 f“(x0)0，则 x=x0是 f(x)的极小值D.设 f(x)在 x=x0处连续但不可导，并设5.设 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 所确定又设题中出现的分母不为零，则( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设下述命题成立的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f(x)在 x=x0
3、邻域内有界，g(x)在 x=x0领域内无界， ， =，则下述命题f(x)g(x)在 x=x0，领域内必无界； ； （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A，B 是 n 阶可逆阵，且 AB，则A -1B -1 A TB T A *B * ABBA其中正确的项数是( )（分数：4.00）A.1B.2C.3D.4二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 f(x)在(0，+)上连续且对任意正值 a 与 b，积分 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 y1=
4、xex+2e2x，y 2=xex+3e-x，y 3=xex-e2x-e-x为某二阶常系数线性非齐次方程的三个特解，设该方程的y“前的系数为 1，则该方程为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 1=1，3，-2 T， 2=2，-1，3 T是 AX=0 的基础解系，BX=0 和 AX=0 是同解方程组，=2，a，b T是方程组 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 0x1， （分数：9.00）(1).试用初等函数表示 f(x)；（分数：4.50）_(2).设 （分数：4.50）_15.设 f(x)在(-，+)上有界，且存在二阶导数试证明：至少存在一点
5、(-，+)使 f“()=0（分数：11.00）_16.设 f(x)在0，1上可导，且满足 试证明：存在 (0，1)，使 （分数：9.00）_17.适当选取函数 (x)，作变量变换 y=(x)u，将 y 关于 x 的微分方程 化为 u 关于 x 的二阶常系数线性齐次微分方程 （分数：11.00）_18.设 ，D=(x，y)|x|y1)求 （分数：10.00）_19.求由方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0 所确定的函数 z(x，y)的极值（分数：10.00）_（分数：12.00）(1).设圆盘的半径为 R，厚为 h，点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距离平方，求该圆盘的质量m（分数
6、：6.00）_(2).将以曲线 （分数：6.00）_已知 是 AX=b 的一个特解， 1， 2， n-r是对应齐次方程组 AX=0 的基（分数：11.00）(1).，+ 1，+ 2，+ n-r是 AX=b 的 n-r+1 个线性无关解；（分数：5.50）_(2).方程组 AX=b 的任一个解均可由 ，+ 1，+ n-r线性表出（分数：5.50）_设三阶矩阵 （分数：11.00）(1).t 为何值时，矩阵 A，B 等价?说明理由（分数：5.50）_(2).t 为何值时，矩阵 A，C 相似?说明理由（分数：5.50）_考研数学二-282 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择
7、题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 的某邻域连续，且当 x0 时，f(x)与 xm为同阶无穷小又设 x0 时， （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由 x0 时 f(x)与 xm为同阶无穷小，从而知存在常数 A0，当 x0 时 f(x)Ax m，从而f(xn)Ax nm于是*按题意，上式为不等于零的常数，故 k=nm+n2.设 A 是三阶非零矩阵，满足 A2=A，且 AE，则必有( )（分数：4.00）A.r()=1B.r(-E)=2C.r()-1r(A-E)-2=0D.r()-1r(A-E)-1=0 解析：分析 A 是三阶非零阵，则 A0，r(A)1AE
8、，A-E0，r(A-E)1，因 A2=A，即 A(A-E)=0，得 r(A)+r(A-E)3，且1r(A)2，1r(A-E)2故矩阵 A 和 A-E 的秩 r(A)和 r(A-E)或者都是 1，或者一个是 1，另一个是 2(不会是 3，也不会是 0，也不可能两个都是 2故两个中至少有一个的秩为 1)故(A)，(B)，(C)均是错误的，正确选项是(D)3.设 f(x)在 x=0 处存在 3 阶导数，且 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)=0，f“(0)0，则 ( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 先作积分变量变换，令 x-t=u，*而*所以*4.下述论断正确的是( )（分数：
9、4.00）A.设 f(x)在(-，+)上有定义，除 x=0 外均可导，且 f(x)0，则 f(x)在(-，+)上严格单调增加B.设 f(x)为偶函数且 x=0 是 f(x)的极值点，则 f(0)=0C.设 f(x)在 x=x0处存在二阶导数，且 f“(x0)0，则 x=x0是 f(x)的极小值D.设 f(x)在 x=x0处连续但不可导，并设 解析：分析 由*，于是知存在 x=x0的某去心邻域 U，当 xU 且 xx 0时 f(x)0；当 xU 且 xx 0时，f(x)0，故知 f(x0)为极小值，选(D)(A)不正确例如*符合(A)的一切条件，但*不成立(B)不正确，因未设 f(0)存在例如
10、f(x)=|x|，f(0)是极小值，但 f(0)不存在(C)不正确，因未设 f(x0)=0例如 f(x)=ex，处处 f“(x)=ex0，但无极小值5.设 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 所确定又设题中出现的分母不为零，则( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *6.设下述命题成立的是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 g(x)在-1，1上连续，故存在原函数(A)不正确f(x)在点 x=0 处具有跳跃间断点函数在某点具跳跃间断点，那么在包含此点的区间上，该函数必不存在原函数(B)不正确按定义容易知道 g(0)不存在(D)不正确可以具体
11、计算出 F(x)，容易看出 F-(0)=0，F +(0)=1，故 F(0)不存在7.设 f(x)在 x=x0邻域内有界，g(x)在 x=x0领域内无界， ， =，则下述命题f(x)g(x)在 x=x0，领域内必无界； ； （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 没有一个是正确的的反例：x 0=0，f(x)=x 2，在 x=0 邻域内有界，*，在 x=0 邻域内无界，f(x)g(x)=x 在 x=0 邻域内并非无界的反例：x 0=0，*在 x=0 邻域内无界，*在 x=0 邻域无界，但*的反例：x 0=0，*在 x=0 邻域无界，*，但*8.设 A，B 是 n 阶可逆阵，且 AB，则A
12、-1B -1 A TB T A *B * ABBA其中正确的项数是( )（分数：4.00）A.1B.2C.3D.4 解析：分析 AB，有|A|=|B|，且存在可逆阵 P，使 P-1AP=B(*)(*)两边求逆得 P-1A-1P=B-1(*)，从而 A-1B -1(成立)(*)两边转置，得 PTAT(P-1)T=BT，记(P -1)T=Q，P T=Q-1，即 Q-1ATQ=BT，从而 ATB T(成立)(*)两边乘|A|，P -1|A|A-1P=P-1A*P=|B|B-1=B*，从而 A*B *(成立)因 A 可逆，故BA=EBA=A-1ABA=A-1(AB)A，即 ABBA(成立)故应选(D)
13、二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -2）解析：分析 *而*所以原式=e -210.设函数 f(x)在(0，+)上连续且对任意正值 a 与 b，积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由*与 a 无关，所以*，即f(ab)b-f(a)O上式对任意 a 成立，所以命 a=1 亦应成立，有 f(b)b-f(1)=0，*，即有 f*可以验算，*，与 a 无关11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -2）解析：分析 *所以原式=e -212.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案
14、：*。）解析：分析 *化为*即*当 x0 时，*当 x0 时，*合并可写成*13.设 y1=xex+2e2x，y 2=xex+3e-x，y 3=xex-e2x-e-x为某二阶常系数线性非齐次方程的三个特解，设该方程的y“前的系数为 1，则该方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y“-y-2y=(1-2x)e x）解析：分析 非齐次方程的两个解的差为对应齐次方程的解，故Y1=y1-y2=2e2x-3e-x，Y2=y1-y3=3e2x+e-x为对应的齐次方程的两个解于是又可推知Y1+3Y2=11e2x，3Y 1-2Y2=-11e-x也是对应的齐次方程的两个解所以 r=2，r=-1
15、是特征方程两个根，特征方程为(r-2)(r+1)=r2-r-2=0，对应齐次方程为y“-y-2y=0设该非齐次方程为y“-y-2y=f(x)将已知的一个特解代入，求得 f(x)=(1-2x)ex，故所求的非齐次方程如上所填14.设 1=1，3，-2 T， 2=2，-1，3 T是 AX=0 的基础解系，BX=0 和 AX=0 是同解方程组，=2，a，b T是方程组 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2，-6，8 T）解析：分析 因 是*的解，故 应满足 x1+2x2+x3=-2，代入 得 2+2a+b=-2，2a+b=-4，得=2，a，-2a-4 T又 AX=0 和 BX=0 是同解
16、方程组 满足 BX=0，即满足 AX=0， 应可由 AX=0 的基础解系线性表出，即方程组x1 1+x2 2= 有解*由 r( 1， 2)=r 1， 2，=2，得 a=-6，故 =2，-6，8 T三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 0x1， （分数：9.00）(1).试用初等函数表示 f(x)；（分数：4.50）_正确答案：(*作积分变量变换*，从而*，于是*)解析：(2).设 （分数：4.50）_正确答案：(*其中“等”表示用了等价无穷小替换欲使上述极限存在且不为零，其充要条件是 p=*，此时，该极限值等于*)解析：15.设 f(x)在(-，+)上有界，且存在二阶导数试证明：至少存
17、在一点 (-，+)使 f“()=0（分数：11.00）_正确答案：(用反证法，设对一切 x(-，+)，f“(x)0，则要么对一切 x(-，+)，f“(x)0，或者对一切 x(-，+)，f“(x)0不妨设对一切 x(-，+)，f“(x)0有以下两种方法：方法一 取 x1使 f(x1)0这种 x1总存在的，因若不存在，则 f(x)0，从而与反证法的前提矛盾，取好 x1之后，将 f(x)在 x=x1处按泰勒公式展开至 n=1，有*若 f(x1)0，命上式中的 x+，若f(x1)0，命上式中的 x-，总有*+，与 f(x)在(-，+)上有界矛盾此矛盾证明了反证法的前提有错，故知存在 (-，+)使 f“
18、()=0方法二 由对一切 x(-，+)，f“(x)0，故知对一切 x，f(x)严格单调增加取 x1使 f(x1)0(若不然，取 x1使 f(x1)0)，由拉格朗日中值定理，当 xx 1时有f(x)=f(x1)+f()(c-x 1)f(x 1)+f(x1)(x-x1)，命 x+得 f(x)+，与 f(x)有界矛盾若 f(x1)0，则当 xx 1时有f(x)=f(x1)+f()(x-x 1)f(x 1)+f(x1)(x-x1)，命 x-得 f(x)+，与 f(x)有界矛盾此矛盾证明了反证法的前提有错，故知存在 (-，+)，使 f“()=0)解析：16.设 f(x)在0，1上可导，且满足 试证明：存
19、在 (0，1)，使 （分数：9.00）_正确答案：(由积分中值定理，存在*使得*令 F(x)=x3f(x)，因为*，故有 f(1)= 3f()，即 F(1)=F()显然 F(x)在0，1上可导，由中值定理得，存在 (，1)，使得 F()=0 即3 2f()+ 3f()=0，即*显然(，1)*(0，1)，故命题得证)解析：17.适当选取函数 (x)，作变量变换 y=(x)u，将 y 关于 x 的微分方程 化为 u 关于 x 的二阶常系数线性齐次微分方程 （分数：11.00）_正确答案：(由 y=(x)u，有*，代入原方程，得*取 (x)使2(x)+x(x)=0解此微分方程：*，取*经计算可知*于
20、是原方程经变换*之后，原方程化为*即 *解之得 u=C1+C2x，原方程的通解为*)解析：18.设 ，D=(x，y)|x|y1)求 （分数：10.00）_正确答案：(如图，将分成三块，中间一块记为 D3，左、右两块分别记为 D1与 D2，*而*所以*)解析：19.求由方程 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0 所确定的函数 z(x，y)的极值（分数：10.00）_正确答案：(命 F(x，y)=2x 2+2y2+z2+8xz-z+8，*解得 y=0，4x+8z=0，再与 2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0 联立解得两组解：*再求二阶偏导数并以两组解分别代入，得*所以在第一组点处，B 2
21、-AC0，*故 z=1 为极小值；在第二组点处，B 2-AC0，*，故*为极大值)解析：（分数：12.00）(1).设圆盘的半径为 R，厚为 h，点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距离平方，求该圆盘的质量m（分数：6.00）_正确答案：(以环细分圆盘，设环的宽度为 dr，内半径为 r，在环上点密度视为不变，为 r2，于是该环的质量为*)解析：(2).将以曲线 （分数：6.00）_正确答案：(该旋转体可看成一个个薄片组成，由()，每一薄片的质量*其中 R 为 x 处的旋转半径，即 y，于是*)解析：已知 是 AX=b 的一个特解， 1， 2， n-r是对应齐次方程组 AX=0 的基（分数：1
22、1.00）(1).，+ 1，+ 2，+ n-r是 AX=b 的 n-r+1 个线性无关解；（分数：5.50）_正确答案：(A(+ i)=A=b，i=0，1，2，n-r，(其中 0=0)，故 + i，i=0，1，2，n-r 均是 AX=b 的解向量设有数 k0，k 1，k 2，k n-r，使得k0+k 1(+ 1)+k2(+ 2)+kn-r(+ n-r)=0， (*)(*)式左乘 A，得 k 0A+k 1A(+ 1)+k2A(+ 2)+kn-r(+ n-r)=0，整理得 (k 0+k1+kn-r)b=0，其中 b0故 k 0+k1+kn-r=0， (*)代入(*)，得 k 1 1+k2 2+kn
23、-r n-r=0因 1， 2， n-r是对应齐次方程组的基础解系，线性无关，得 ki=0，i=1，2，n-r；代入(*)，得 k0=0，从而有，+ 1，+ 2，+ n-r是 AX=b 的 n-r+1 个线性无关解)解析：(2).方程组 AX=b 的任一个解均可由 ，+ 1，+ n-r线性表出（分数：5.50）_正确答案：(AX=b 的任一解，设为 *，则 *=+ 1 1+ 2 2+ n-r n-r且 *=+ 1 1+ 2 2+ n-r n-r=+ 1( 1+-)+ 2( 2+-)+ n-r( n-r+-)=(1- 1- 2- n-r)+ 1( 1+)+ 2( 2+)+ n-r( n-r+)，故
24、任一个 AX=b 的解叩 *，均可由向量组 ，+ 1，+ 2，+ n-r线性表出)解析：设三阶矩阵 （分数：11.00）(1).t 为何值时，矩阵 A，B 等价?说明理由（分数：5.50）_正确答案：(AB*r(A)=r(B)*显然，当 t=0 时，有 r(A)=r(B)=2，AB)解析：(2).t 为何值时，矩阵 A，C 相似?说明理由（分数：5.50）_正确答案：(*=(-2)(-3)(-1)，则 C 有三个不同的特征值 1=1， 2=2， 3=3，且存在可逆阵 P，使得*=(-t)(-3)(-1)当 t=2 时，A 有与 C 一样的三个不同的特征值，故有Q-1AQ=A=P-1CP从而有(QP -1)-1A(QP-1)=C，即 AC)解析：
