1、考研数学二-281 及答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 A 是行列式值为-3 的 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T是 A 的转置矩阵，如果 kA 的逆矩阵是，则 k=（分数：4.00）A.B.C.D.2.设方程 2x2-xy+y2-x+2y-3=0 确定满足条件 y(0)=1 的隐函数 y=y(x)，则 y“(0)=（分数：4.00）_3.设 f(x)，g(x)二阶可导，又 f(0)=0，g(0)=0，f(0)0，g(0)0，令 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 z(x，y)是方程 满足条件 z(x，x
2、2)=1 的解，则 =（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在a，b上可导，又，且 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+2A-3E=0若 r(A-E)=1，则二次型 xTAx 在正交变换下的标准形是（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知当 x0 时 f(x)=tanx-ln(1+sinx)与 kxn是等价无穷小量，则（分数：4.00）A.B.C.D.8.函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数，f x(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)都存在是 f(x，y)在该点可微的（分数：4.00）A.充分但非必要的条件B.必
3、要但非充分的条件C.充分且必要的条件D.既不充分，又不必要的条件二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.反常积分 （分数：4.00）填空项 1:_11.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_12.设有一半椭球形水池，深为 b，池口是半径为 a 的圆，若以每秒 v 单位的速度向池内注水，则水深增加的速度 （分数：4.00）填空项 1:_13.设二元函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又 g(x，y)=f(x 2-y2，2xy)，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.与矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：
4、93.00)15.设 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义，且满足 ，求极限 （分数：10.00）_16.设 x0，且 f(x)=x， 求 （分数：10.00）_17.求常数 k 的取值范围，使得不等式 kln(1+x)arctanx 当 x0 时成立（分数：10.00）_18.设 f(x)是(-，+)上以 T 为周期的周期函数，且 此外又存在常数 L0 使得对任何x，y(-，+)有|f(x)-f(y)|L|x-y|求证： （分数：10.00）_19.求椭圆 5x2+8xy+5y2=9 的长、短半轴之长（分数：11.00）_20.设积分区域 D=|(x，y)|0x2，0y1，计算二重积分 （分
5、数：10.00）_21.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内二次可导，且 f(x)在0，1上的最大值 M=2，最小值 m=0，求证：若 f(x)的最大值点或最小值点至少有一个是区间(0，1)内的点，则在(0，1)内必存在两点 与 ，使得|f()|2，|f“()|4 成立（分数：10.00）_22.已知 1=(1，3，5，-1) T， 2=(2，7，a，4) T， 3=(5，17，-1，7) T，() 若 1， 2， 3线性相关，求 a 的值；() 当 a=3 时，求与 1， 2， 3都正交的非零向量 4；() 当 a=3 时，证明 1， 2， 3， 4可表示任一个 4 维列向量（分数：1
6、1.00）_23.设 （分数：11.00）_考研数学二-281 答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 A 是行列式值为-3 的 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T是 A 的转置矩阵，如果 kA 的逆矩阵是，则 k=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 因为*,那么由 *，有*，即*，所以*故选(B)2.设方程 2x2-xy+y2-x+2y-3=0 确定满足条件 y(0)=1 的隐函数 y=y(x)，则 y“(0)=（分数：4.00）_解析：分析 依次求 y(0)与 y“(0)将题设的方程看成关于自变量 x 的
7、恒等式，求导数即得4x-y-xy+2yy-1+2y=0， (*)在(*)式中令 x=0 并利用 y(0)=1 就有-1+2y(0)-1+2y(0)=0由此可得*将(*)看成关于自变量 x 的恒等式，再求导数又可得4-y-y-xy“+2(y)2+2yy“+2y“=0， (*)在(*3.设 f(x)，g(x)二阶可导，又 f(0)=0，g(0)=0，f(0)0，g(0)0，令 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 先求导数 F(x)=f(x)g(x)*F(0)=0再求二阶导数 F“(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)*F“(0)=0于是还要考察 F(x)在 x=0 处的三阶导数：F
8、“(x)=f“(x)g(x)+2f(x)g(x)+f(x)g“(x)* F“(0)=2f(0)g(0)0因此，(0，F(0)是曲线 y=F(x)的拐点故应选(C)*4.设 z(x，y)是方程 满足条件 z(x，x 2)=1 的解，则 =（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 注意*利用 z(x，x 2)=1 即得 x2x2+(x2)2+C(x)=1，故 C(x)=1-2x4，代入就有 z(x，y)=x 2y+y2+1-2x4代入求积分可得*故应选(D)5.设 f(x)在a，b上可导，又，且 ，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 令*，则 F(a)=F(b)=0，所给条件
9、变为F“(x)+F(x)2-F(x)=0 (*)若 F(x)在(a，b)不恒为零，则 F(x)在(a，b)取正的最大值或负的最小值设 F(x0)=*0，则x0(a，b)，F(x 0)=0，F“(x 0)0 *F“(x0)+F(x0)2-F(x0)0与(*)矛盾同理，若 F(x1)=*0，则同样得矛盾因此 F(x)0(*x(a，b)故应选(A)6.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+2A-3E=0若 r(A-E)=1，则二次型 xTAx 在正交变换下的标准形是（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由 A2+2A-3E=0 有(A-E)(A+3E)=0，从而r(A-E)+r(A+3E
10、)4又 r(A-E)+r(A+3E)=r(E-A)+r(A+3E)r(E-A)+(A+3E)=r(4E)=r(E)=4，因而 r(A-E)+r(A+3E)=4于是 r(A+3E)=3那么齐次方程组(E-A)x=0 与(A+3E)x=0 分别有 3 个与 1 个线性无关的解，亦即 =1 与 =-3 分别有 3 个与 1 个线性无关的特征向量因此矩阵 A 的特征值为 1，1，1，-3故应选(A)7.已知当 x0 时 f(x)=tanx-ln(1+sinx)与 kxn是等价无穷小量，则（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 利用洛必达法则计算如下含有待定正整数 n 的极限，可得*故*即应选(
11、B)8.函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数，f x(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)都存在是 f(x，y)在该点可微的（分数：4.00）A.充分但非必要的条件B.必要但非充分的条件 C.充分且必要的条件D.既不充分，又不必要的条件解析：分析 首先考察条件是否充分考虑函数*于是 f(x，0)=0 *f x(0，0)=0，f(0，y)=0 *f y(0，0)=0，这表明函数 f(x，y)在点(0，0)处两个偏导数，f x(0，0)与 fy(0，0)都存在，但是由 f(x，y)的定义知，f(x，y)在点(0，0)的任意小的邻域内都有点(x，y)使 f(x，y)=1，即 f(x
12、，y)在点(0，0)不连续，从而f(x，y)在点(0，0)也不可微可见在某点处两个偏导数都存在不是函数在该点可微的充分条件其次考察条件的必要性由如下定理：如果函数 f(x，y)在点(x，y)可微分，则该函数在点(x，y)处的偏导数 fx(x，y)与 fy(x，y)必存在，且 f(x，y)在点(x，y)的全微分可表示为df=fx(x，y)x+f y(x，y)y，即知两个偏导数存在是函数可微的必要条件故应选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 注意*，其中*利用当 x0 时的等价无穷小关系：tanx-x，ln(1+x)x
13、 与洛必达法则可得*故所求极限为*10.反常积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 令 x=tan 作换元，于是 x：0+*：*，且 dx=d(tan)=*，1+x 2=*，代入即得*11.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*或 3x-2y=0）解析：分析 因为 x(0)=0，y(0)=0，又*于是 *故所求的切线方程是*或 3x-2y=012.设有一半椭球形水池，深为 b，池口是半径为 a 的圆，若以每秒 v 单位的速度向池内注水，则水深增加的速度 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 如图建立坐标系，设水深为 h 时水面
14、圆的半径为 x，则椭圆方程为*此时池中水量增量微元为dQ=x 2dh，从而 *由于*，故有*13.设二元函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又 g(x，y)=f(x 2-y2，2xy)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 直接计算可得dg=fud(x2-y2)+fvd(2xy)=fu(2xdx-2ydy)+fv(2ydx+2xdy)=(2xfu+2yfv)dx+(-2yfu+2xfv)dy，从而 g x=2xfu+2yfv， g y=-2yfu+2xfv继续求偏导数又可得g“xx=2fu+2x(fu)x+2y(fv)x=2fu+2x(2xf“uu+2y
15、f“iv)+2y(2xf“vu+2yf“vv)=2fu+4x2f“uu+8xyf“uv+4y2f“vv，g“yy=-2fu-2y(-2rf“uv+2xf“v)+2x(-2yf“vu+2xf“vv)=-2fu+4y2f“uu-8xg“uv+4x2f“vv由止 E 即得 g“xx+g“yy=4(x2+y2)(f“uu+f“vv)=014.与矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*，其中 t，u 是任意实数）解析：分析 设矩阵*与矩阵 A 可交换，即 AB=BA，亦即*即 *即 * 由*，令 b2=t，b 4=u，解出 b3=-2t，b 1=4t+u，所以 *，其中 t，u 是任意实数
16、三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.设 f(x)在 x=0 的某邻域内有定义，且满足 ，求极限 （分数：10.00）_正确答案：(令*，则*且*从而利用已知极限*与洛必达法则等可得*)解析：16.设 x0，且 f(x)=x， 求 （分数：10.00）_正确答案：(令 x-t=y，于是*若*，则有*若*，则有*综合得 *)解析：17.求常数 k 的取值范围，使得不等式 kln(1+x)arctanx 当 x0 时成立（分数：10.00）_正确答案：(从题设可知只需考察 k0 的情形设 f(x)=kln(1+x)-arctanx，则 f(0)=0，且*令 g(x)=kx2-x+k-1，
17、则当 x0 时 f(x)与 g(x)同号由于 g(x)满足*由此可见 g(x)在(0，+m)上的最小值*为使*必须且只需正数 k 满足*即使得不等式 kln(1+x)arctanx 当 x0 时成立的 k 是大于*+1)的一切正数)解析：18.设 f(x)是(-，+)上以 T 为周期的周期函数，且 此外又存在常数 L0 使得对任何x，y(-，+)有|f(x)-f(y)|L|x-y|求证： （分数：10.00）_正确答案：(由*x，y(-，+)有|f(x)-f(y)|L|x-y|可知 f(x)是(-，+)上的连续函数，从而存在 xM0，T使得*由连续函数的积分中值定理可知，存在 x0(0，T)使
18、得*以下分情况讨论：当 xM=x0时，这时有|f(x M)|=|f(x0)|=0，即 f(x)=0 在0，T上成立，由 f(x)的周期性即知 f(x)0 在(-，+)上成立，故*，从而结论显然成立当 xMx 0时，由 f(x)的周期性可得2|f(x0)-f(xM)|=|f(x0)-f(xM)|+|f(x0)-f(xM)|=|f(x0)-f(xM)|+|f(x0+T)-f(xM)|L(x M-x0)+L(x0+T-xM)=LT，即此时要证明的不等式|f(x M)|=|f(x0)-f(xM)|*LT 成立当 xMx 0时，仍然由 f(x)的周期性可得2|f(x0)-f(xM)|=|f(xM)-f(
19、x0)|+|f(xM)-f(x0)|=|f(xM)-f(x0)|+|f(xM+T)-f(x0)|L(x 0-xM)+L(xM+T-x0)=LT，即此时要证明的不等式|f(x M)|=f(x0)-f(xM)|*LT 也成立综合以上讨论即知在题设条件下总有*成立)解析：19.求椭圆 5x2+8xy+5y2=9 的长、短半轴之长（分数：11.00）_正确答案：(此椭圆以原点为中心，求长短半轴即求椭圆上点与原点距离的最大值与最小值问题转化为求 f(x，y)=x 2+y2在条件 5x2+8xy+5y2=9 下的最大值与最小值用拉格朗日乘子法引入拉格朗日函数F(x，y)=x 2+y2+(5x 2+8xy+
20、5y2-9)，令 *求驻点：由与得 *由-可得(x-y)(1+)=0，于是或 x=y，或 =-1把 x=y 代入得*相应地 f(x 1，y 1)=f(x2，y 2)=1当 =-1 时，由得 x=-y，代入得*相应地 f(x 3，y 3)=f(x4，y 4)=9因此，椭圆的长、短半轴分别为 3 与 1)解析：20.设积分区域 D=|(x，y)|0x2，0y1，计算二重积分 （分数：10.00）_解析：21.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内二次可导，且 f(x)在0，1上的最大值 M=2，最小值 m=0，求证：若 f(x)的最大值点或最小值点至少有一个是区间(0，1)内的点，则在(0，1
21、)内必存在两点 与 ，使得|f()|2，|f“()|4 成立（分数：10.00）_正确答案：(由题设知，存在 x1，x 20，1，使得 f(x1)=M=2，f(x 2)=m=0由拉格朗日中值定理知，在 x1与 x2之间存在一点 ，使得*因 f(x1)-f(x2)=2-0=2，又|x 2-x1|1，故*为了确定起见，我们可设 f(x)在0，1上的最大值 M 在(0，1)内的点 x1处取得，而 f(x)在0，1上的最小值 m 在0，1上的某点 x2x 1取得因 x1(0，1)，又 f(x1)=*，故f(x1)=0将 f(x2)在 x=x1展开成一阶泰勒公式，得*其中 在 x1与 x2之间，故 (0
22、，1)将函数值 f(x2)=0，f(x 1)=2，f(x 1)=0 代入上式*由此可得 *若 m=f(x2)且 x2(0，1)，可类似证明)解析：22.已知 1=(1，3，5，-1) T， 2=(2，7，a，4) T， 3=(5，17，-1，7) T，() 若 1， 2， 3线性相关，求 a 的值；() 当 a=3 时，求与 1， 2， 3都正交的非零向量 4；() 当 a=3 时，证明 1， 2， 3， 4可表示任一个 4 维列向量（分数：11.00）_正确答案：() 1， 2， 3线性相关*秩 r( 1， 2， 3)3由于*所以 a=-3() 设 4=(x1，x 2，x 3，x 4)T，则
23、有( 1， 4)=0，( 2， 4)=0，( 3， 4)=0，即*所以 4=k(19，-6，0，1) T，其中 k0() 由于 *所以 x 1 1+x2 2+x3 3+x4 4= 恒有解，即任一 4 维列向量必可由 1， 2， 3， 4线性表出或者由()知 a=3 时， 1， 2， 3必线性无关，那么：若k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，用*左乘上式两端并利用*，有*，又 40，故必有 k4=0于是 k1 1+k2 2+k3 3=0由 1， 2， 3线性无关知必有 k1=0，k 2=0，k 3=0，从而 1， 2， 3， 4必线性无关而 5 个 4 维列向量必线性相关，因此任一个 4
24、 维列向量都可由 1， 2， 3， 4线性表出)解析：23.设 （分数：11.00）_正确答案：() 由 BA=0 有 r(A)+r(B)3，又 A，B 均非零矩阵，有 r(A)1，r(B)1故 1r(A)2， 1r(B)2又因 A 中有 2 阶子式非 0，故必有 r(A)=2，从而 r(B)=1于是有*由 BA=0 有 ATBT=0，那么 BT的列向量是齐次方程组 ATx=0 的解，由*知 ATx=0 的通解为 k(-1，1，1) T，其中 k 为任意常数那么 *，其中 t，u，v 是任意不全为 0 的常数所以 *，其中 t，u，v 是任意不全为 0 的常数() 若 B 的第一列是(1，2，-3) T，则由()可知*由于矩阵 B 的特征值是 2，0，0，且 =0 有 2 个线性无关的特征向量，因此*那么 *进而 (B-E) 6(A-E) 6=E，即 P-1(B-E)6P=E，所以 (B-E) 6=E*)解析：
