1、考研数学二-278 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：30，分数：100.00)1. （分数：3.00）_2. （分数：3.00）_3.求 （分数：3.00）_4. （分数：3.00）_5.求 （分数：3.00）_6. （分数：3.00）_7. （分数：3.00）_8. （分数：3.00）_9.设曲线 y=x n 在点(1，1)处的切线交 x 轴于点( n ，0)，求 （分数：3.00）_10.确定常数 a，b，c 的值，使得当 x0 时，e x (1+bx+cx 2 )=1+ax+o(x 3 ) （分数：3.00）_11.确定常数 a，c，使得 （分数
2、：4.00）_12.设 （分数：4.00）_13.设 （分数：4.00）_14.设 （分数：4.00）_15.设 （分数：4.00）_16.设 （分数：4.00）_17.确定正数 a，b，使得 （分数：4.00）_18.求常数 m，n，使得 （分数：4.00）_19.设 ，证明：a n 收敛，并求 （分数：4.00）_20.设 a 1 =1， ，证明：数列a n 收敛，并求 （分数：4.00）_21.设 x 1 =2， ，求 （分数：3.00）_22.设 a 1 =1，a 2 =2，3a n+2 -4a n+1 +a n =0，n=1，2，求 （分数：3.00）_23.求 （分数：3.00）_
3、24.讨论函数 （分数：3.00）_25.讨论函数 （分数：3.00）_26.设 （分数：3.00）_27.设 （分数：3.00）_28.求 （分数：3.00）_29.设 （分数：3.00）_30.设 ，试补充定义使得 f(x)在 （分数：3.00）_考研数学二-278 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：30，分数：100.00)1. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 2. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 ， 所以 3.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 而 4. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 ， 因为
4、 ，所以 5.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 而 所以 6. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由当 x0 时， 得 而 因为 所以 故 7. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 f(t)=e t ，由微分中值定理， 其中 介于 与 之间， 所以 8. （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 f(x)=arctanx，由微分中值定理得 ，其中 则 9.设曲线 y=x n 在点(1，1)处的切线交 x 轴于点( n ，0)，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 y=x n 在点(1，1)处的切线方程为 y-1=n(x-1)， 令 y=0 得
5、 ，于是 10.确定常数 a，b，c 的值，使得当 x0 时，e x (1+bx+cx 2 )=1+ax+o(x 3 ) （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 所以 b+1=a， ，即 11.确定常数 a，c，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由洛必达法则， 故 a=1， 12.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由麦克劳林公式得 于是 而 ，所以 13.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 于是 14.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 =-2x+x 2 +o(x 2 ) 得 15.设 （分数：4.00）_正确答案：
6、()解析：解 由 ，得 c=-1， 16.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 f(x)是连续函数，所以 17.确定正数 a，b，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 显然 b=1，且 18.求常数 m，n，使得 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 得 m+n+1=0， 再由 19.设 ，证明：a n 收敛，并求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 显然a n 单调增加，现证明：a n 3， 当 n=1 时， 设 n=k 时，a k 3， 当 n=k+1 时， ， 由归纳法原理，对一切的自然数 n，有 a n 3，所以 存在 令 ，由 ，得 ，
7、解得 A=3，即 20.设 a 1 =1， ，证明：数列a n 收敛，并求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 先证明a n 单调减少 设 ，由 a k+1 a k 得 1-a k+1 1-a k ， 从而 ，即 a k+2 a k+1 ，由归纳法得数列a n 单调减少 现证明 设 则 ，从而 ，即 ，由归纳法，对一切 n，有 由极限存在准则，数列a n 收敛，设 ，对 两边求极限得 ，解得 21.设 x 1 =2， ，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ，则 ，现证明 因为 ，且 ，所以由夹逼定理得 22.设 a 1 =1，a 2 =2，3a n+2 -4a n+1
8、 +a n =0，n=1，2，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 3a n+2 -4a n+1 +a n =0，得 3(a n+2 -a n+1 )=a n+1 -a n (n=1，2，) 令 b n =a n+1 -a n ，则 b n+1 /b n =1/3(n=1，2，)， 由 b 1 =1，得 (n=1，2，)，即 解得 ，所以 23.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 x0,1时，由 ， 积分得 ， 而 ，由夹逼定理得 24.讨论函数 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时，函数 f(x)连续， 25.讨论函数 （分数：3.00）_正
9、确答案：()解析：解 当 x(0，e)时， ， 当 x=e 时，f(e)=1， 当 xe 时， 故 26.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 f(x)为初等函数，所以 f(x)的间断点为 x=0 和 x=1 因为 x0 时， ，所以 ，即 x=0 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点； 因为 27.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 显然 x=0，x=1 为函数 f(x)的间断点 因为 f(0-0)f(0+0)，所以 x=0 为 f(x)的跳跃间断点； 28.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 x=-1、x=0、x=1、x=2 为 f(x)的间断点， 由 得 x=-1 为第二类间断点， 由 得 x=0 为可去间断点， 由 得 x=1 为第二类间断点， 由 29.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 x=0 及 x=1 时 f(x)间断 由 f(0-0)=0，f(0+0)=-得 x=0 为 f(x)的第二类间断点 由 30.设 ，试补充定义使得 f(x)在 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 因为 所以令 ，则 f(x)在
