1、考研数学二-273 及答案解析(总分:150.01,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.若函数 y=f(x)有 (分数:4.00)A.与 x 等价的无穷小B.与 x 同阶的无穷小C.比 x 低阶的无穷小D.比 x 高阶的无穷小2.设 (分数:4.00)A.I1=I2+xB.I1=I2-xC.I2=-I1D.I2=I13._ (分数:4.00)A.1B.0CaD.不存在4.设 ,其中 f为连续的奇函数,D 是由 y=-x 3 ,x=1,y=1 所围成的平面闭域,则 k等于_ A0 B C (分数:4.00)A.B.C.D.5.已知 ,设 ,则 F(x)为_ A B
2、 C D (分数:4.00)A.B.C.D.6.设函数 f(u)可导,y=f(x 2 )当自变量 x在 x=-1处取得增量 x=-0.1 时,相应的函数增量 y 的线性主部为 0.1,则 f“(1)=_(分数:4.00)A.-1B.0.1C.1D.0.57.A是 n阶矩阵,且 A 3 =0,则_ A.A不可逆,E-A 也不可逆 B.A可逆,E+A 也可逆 C.A2-A+E与 A2+A+E均可逆 D.A不可逆,且 A2必为 0(分数:4.00)A.B.C.D.8.已知 A=(a ij ) nn ,B=(b ij ) nn 且有关系 (分数:4.00)A.A(B+E)=BB.(B+E)A=BC.B
3、(A-E)=AD.(E-A)B=A二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)10.曲线 上对应于 (分数:4.00)11. (分数:4.00)12.函数 (分数:4.00)13.微分方程 (分数:4.00)14.设 A=(a ij ) nn 是正交矩阵,将 A以行分块为 A=( 1 , 2 , n ) T ,则方程组 AX=b,b=(b 1 ,b n ) T 的通解为 1 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 z=f(2x-y,ysinx),其中 f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求 (分数:10.00)_16.已知 (分数:10.00)
4、_设 a,b 为正常系数, 为非负常数,微分方程 (分数:11.00)(1).求该方程的通解;(分数:5.50)_(2).证明:当 =0 时, ;当 0 时, (分数:5.50)_17.设函数 f(x)在0,+上连续,且 f(0)0,已知其在0,x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值,求 f(x) (分数:10.00)_18.求微分方程 y“+5y“+6y=2e -x 的通解 (分数:10.00)_19.设 f(x)在0,1上连续且递减,证明:当 01 时, (分数:10.00)_已知曲线 L的方程为 (分数:11.01)(1).讨论 L的凹凸性(分数:3.67)_(2).过点(-
5、1,0)引 L的切线,求切点(x 0 ,y 0 ),并写出切线的方程(分数:3.67)_(3).求此切线与 L(对应于 xx 0 的部分)及 x轴所围成的平面图形的面积(分数:3.67)_20.已知 4阶方阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 ), 1 , 2 , 3 , 4 均为 4维列向量,其 2 , 3 , 4 线性无关, 1 =2 2 - 3 ,如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ,求线性方程组Ax= 的通解 (分数:11.00)_21.设 A是 n阶正定矩阵,E 是 n阶单位阵,证明 A+E的行列式大于 1 (分数:11.00)_考研数学二-273 答案解析(总分:150.01,
6、做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.若函数 y=f(x)有 (分数:4.00)A.与 x 等价的无穷小B.与 x 同阶的无穷小 C.比 x 低阶的无穷小D.比 x 高阶的无穷小解析:考点 等价无穷小 解析 由导数与微分的关系 2.设 (分数:4.00)A.I1=I2+xB.I1=I2-xC.I2=-I1D.I2=I1 解析:考点 不定积分的计算 解析 ,设 u=xe x ,则 3._ (分数:4.00)A.1B.0 CaD.不存在解析:考点 极限、夹逼定理 解析 由函数性质, ,使当 xX0 时, 有 , 应用夹逼定理得 4.设 ,其中 f为连续的奇函数,D 是
7、由 y=-x 3 ,x=1,y=1 所围成的平面闭域,则 k等于_ A0 B C (分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点 二重积分 解析 如图:加一条曲线 y=x 3 ,将 D分为 D 1 和 D 2 , 则 而 因为 f为奇函数,所以 f(-xy)=-f(xy), 而 D 1 ,D 2 分别对称 y轴和 x轴,故有 , , 从而原积分 5.已知 ,设 ,则 F(x)为_ A B C D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点 根据 x的取值范围和积分的可加性,分段讨论积分即可 解析 当 Dx1 时, ;当 1x2 时, ,故综上有 6.设函数 f(u)可导,y=f(x 2 )
8、当自变量 x在 x=-1处取得增量 x=-0.1 时,相应的函数增量 y 的线性主部为 0.1,则 f“(1)=_(分数:4.00)A.-1B.0.1C.1D.0.5 解析:考点 增量与微分 解析 由于增量的线性主部等于函数的微分,因此由题设 y=f(x 2 )=2xf(x 2 )x+o(x), 将 x=-1,x=-01 代入得 y| x=-1 =-2f“(1)x+o(x)=0.2f“(1)+o(x)=0.1+o(x), 所以 0.2f“(1)=0.1, 7.A是 n阶矩阵,且 A 3 =0,则_ A.A不可逆,E-A 也不可逆 B.A可逆,E+A 也可逆 C.A2-A+E与 A2+A+E均可
9、逆 D.A不可逆,且 A2必为 0(分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点 矩阵的可逆性 解析 由行列式性质|A| 3 =|A 3 |=0,可知 A必不可逆,但从(E-A)(E+A+A 2 )=E-A 2 =E,(E+A)(E-A+A 2 )=E+A 3 =E,知 E-A,E+A,E+A+A 2 ,E-A+A 2 均可逆 当 A 3 =0时,A 2 是否为 0是不能确定的, 例如: 有 但 且 8.已知 A=(a ij ) nn ,B=(b ij ) nn 且有关系 (分数:4.00)A.A(B+E)=BB.(B+E)A=B C.B(A-E)=AD.(E-A)B=A解析:考点 矩阵的乘法
10、 解析 由关系 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)解析:e 考点 数列的极限 解析 因为 ,所以 10.曲线 上对应于 (分数:4.00)解析: 考点 参数方程所确定的函数的导数 解析 因 ,故其切线的斜率为 法线斜率为 11. (分数:4.00)解析:-cotxln(sinx)-cotx-x+C 考点 不定积分 解析 原式=-ln(sinx)d(cotx)=-cotxln(sinx)+cotxdln(sinx) 12.函数 (分数:4.00)解析: 考点 导数的应用 解析 ,所以 13.微分方程 (分数:4.00)解析:y=Cxe x ,C 为任意常数 考点
11、一阶微分方程的通解 解析 微分方程 是可变量分离的一阶方程,分离变量得 14.设 A=(a ij ) nn 是正交矩阵,将 A以行分块为 A=( 1 , 2 , n ) T ,则方程组 AX=b,b=(b 1 ,b n ) T 的通解为 1 (分数:4.00)解析: 考点 方程组的通解 解析 因 A为正交矩阵,故 A -1 =A T ,而方程组 AX=b的解为: 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 z=f(2x-y,ysinx),其中 f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求 (分数:10.00)_正确答案:()解析:这是求带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数先求 由复合函数求
12、导法得 则 16.已知 (分数:10.00)_正确答案:()解析:由设 a,b 为正常系数, 为非负常数,微分方程 (分数:11.00)(1).求该方程的通解;(分数:5.50)_正确答案:()解析:通解为(2).证明:当 =0 时, ;当 0 时, (分数:5.50)_正确答案:()解析:当 =0 时, , 所以, 当 x0 且 a 时, , 当 x0 且 =a 时,y(x)=(bx+c)e -ax , 17.设函数 f(x)在0,+上连续,且 f(0)0,已知其在0,x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均值,求 f(x) (分数:10.00)_正确答案:()解析:由题意得 ,令
13、, 有 ,两边求导,得 , 即 令 ,得 , 可求得 ,即 18.求微分方程 y“+5y“+6y=2e -x 的通解 (分数:10.00)_正确答案:()解析:所给微分方程的特征方程为 2 +5+6=(+2)(+3)=0,故特征根为-2 和-3,于是,对应齐次微分方程的通解为 19.设 f(x)在0,1上连续且递减,证明:当 01 时, (分数:10.00)_正确答案:()解析:因 f(x)在0,1上连续,由定积分的可加性和积分中值定理知 =(1-)f()-f(),其中 01 又 01,f(x)在0,1上递减,则 01-1,f()f(), 因此 (1-)f()-f()0,故 已知曲线 L的方程
14、为 (分数:11.01)(1).讨论 L的凹凸性(分数:3.67)_正确答案:()解析:先求 由已知 , 代入 y得 ,于是 (2).过点(-1,0)引 L的切线,求切点(x 0 ,y 0 ),并写出切线的方程(分数:3.67)_正确答案:()解析:设 L上切点(x 0 ,y 0 )处的切线方程是 令 x=-1,y=0,则有 再令 ,得 ,即 (3).求此切线与 L(对应于 xx 0 的部分)及 x轴所围成的平面图形的面积(分数:3.67)_正确答案:()解析:切点为(x 0 ,y 0 )的切线与 L及 x轴所围成的平面图形如下图所示,则所求平面图形的面积为 20.已知 4阶方阵 A=( 1
15、, 2 , 3 , 4 ), 1 , 2 , 3 , 4 均为 4维列向量,其 2 , 3 , 4 线性无关, 1 =2 2 - 3 ,如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ,求线性方程组Ax= 的通解 (分数:11.00)_正确答案:()解析:由 2 , 3 , 4 线性无关及 1 =2 2 - 3 ,知,向量组的秩 r( 1 , 2 , 3 , 4 )=3,即矩阵 A的秩为 3,因此 Ax=0的基础解系中只包含一个向量, 那么由 知,Ax=0 的基础解系是(1,-2,1,0) T 再由 知,(1,1,1,1) T 是 Ax= 的一个特解 故 Ax= 的通解是 21.设 A是 n阶正定矩阵,E 是 n阶单位阵,证明 A+E的行列式大于 1 (分数:11.00)_正确答案:()解析:因为 A是正定阵,故存在正交矩阵 Q,使 Q T Q=Q -1 AQ= = , 其中 i 0(i=1,2,n), i 是 A的特征值 因此 Q T (A+E)Q=Q T Q+Q T Q= +E两端取行列式得|A+E|=|Q T |A+E|Q|=|Q T (A+E)Q|=|