1、考研数学二-272 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但不等价的无穷小2.设周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4，又 （分数：4.00）A.1/2B.0C.-1D.-23.设函数 f(x)连续， ，其中区域 D uv 为图中阴影部分，则 _ Avf(u 2 ) B Cvf(u) D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：4.00）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极
2、值5.设函数 y=y(x)由参数方程 ，确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.6.设常数 k0，函数 （分数：4.00）A.3B.2C.1D.07.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，则下列选项正确的是_（分数：4.00）A.若 1，2，s 线性相关，则 A1，A2，As 线性相关B.若 1，2，s 线性相关，则 A1，A2，As 线性无关C.若 1，2，s 线性无关，则 A1，A2，As 线性相关D.若 1，2，s 线性无关，则 A1，A2，As 线性无关8.设 A，B 为同阶可逆矩阵，
3、则_ A.AB=BA B.存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B C.存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B D.存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知曲线 y=x 3 -3a 2 x+b 与 x 轴相切，则 b 2 可以通过 a 表示为 b 2 = 1 （分数：4.00）10.已知 ，f“(x)=arctanx 2 ，则 （分数：4.00）11.设函数 y=f(x)由方程 xy+2lnx=y 4 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是 1 （分数：4.00）12.若 ，则 （分数：4.00）13
4、.曲线 y=e -x2 的上凸区间是 1 （分数：4.00）14.设 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体积为 试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 （分数：11.00）_17.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(x)0试证存在 ，(a，b)，使得 （分数：10.00）_18.求连续函数 f(x)，使它满足 （分数：10.00）_19.求微分方
5、程 xy“+y=xe x 满足 y(1)=1 的特解 （分数：10.00）_20.已知曲线的极坐标方程是 r=1-cos，求该曲线上对应于 （分数：11.00）_21.设 （分数：10.00）_设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：11.01）(1).证明行列式|A|=(n+1)a n （分数：3.67）_(2).a 为何值时，方程组有唯一解?求 x 1 （分数：3.67）_(3).a 为何值时，方程组有无穷多解?求通解（分数：3.67）_设 n 阶矩阵 （分数：11.00）(1).求 A 的特征值和特征向量（分数：5.50）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵（
6、分数：5.50）_考研数学二-272 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小 C.等价无穷小D.同阶但不等价的无穷小解析：考点 无穷小的阶、洛必达法则、变上限定积分求导 解析 因为 2.设周期函数 f(x)在(-，+)内可导，周期为 4，又 （分数：4.00）A.1/2B.0C.-1D.-2 解析：解析 由题设，f(x)的周期为 4，则所求点(5，f(5)处切线的斜率应该与(1，f(1)处的斜率相同，则由导数定义知 即为所求斜率，又由 ，则3.设函数 f(x)连续， ，其中区域 D u
7、v 为图中阴影部分，则 _ Avf(u 2 ) B Cvf(u) D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 积分的坐标变换 解析 在极坐标系下， 则 4.设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：4.00）A.取极大值 B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否有极值解析：考点 多元函数的极值 解析 因为 ，根据极限保号性，存在 0， 当 时，有 ，而 x 2 +110， 所以当 5.设函数 y=y(x)由参数方程 ，确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是_ A B （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 法线方程、切线斜率
8、解析 由题意可知，当 x=3 时，t=1，t=-3(不合题意，舍)，有 求得 y=y(x)在 x=3 处的法线方程为 y=ln2-8(x-3) 令 y=0，得法线与 x 轴交点的横坐标为 6.设常数 k0，函数 （分数：4.00）A.3B.2 C.1D.0解析：考点 利用介值定理讨论零点的存在性，利用单调性确定零点的个数 解析 因为 ，令 f“(x)=0，得 x=e易知 f(x)在内(0，e)单调增加，在(0，+)内单调减少，且f(e)=k0，而 7.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，则下列选项正确的是_（分数：4.00）A.若 1，2，s 线性相关，则 A1，A
9、2，As 线性相关 B.若 1，2，s 线性相关，则 A1，A2，As 线性无关C.若 1，2，s 线性无关，则 A1，A2，As 线性相关D.若 1，2，s 线性无关，则 A1，A2，As 线性无关解析：考点 向量组的线性相关性 解析 用秩的方法判断线性相关性 因为(A 1 ，A 2 ，A s )=A( 1 ， 2 ， s )，所以 r(A 1 ，A 2 ，A s )r( 1 ， 2 ， s ) 又若 1 ， 2 ， s 线 l 生相关，则 r( 1 ， 2 ， s )s，从而 r(A 1 ，A 2 ，A s )s 所以 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关8.设 A，B 为同阶可逆矩阵，则
10、_ A.AB=BA B.存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B C.存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B D.存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 可逆矩阵、相似矩阵、合同 解析 由题设，选项 A 表示可逆矩阵乘法满足交换律，显然不能成立；B 项表示 A 与 B 相似，C 项表示 A与 B 合同，这都是不成立的，所以选项 A、B、C 皆可排除； 关于选项 D，设 A，B 的逆矩阵分别为 A -1 ，B -1 ，则有 BAA -1 =B，取 P=B，Q=A -1 ，则 PAQ=B，从而 D项成立二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知曲线
11、y=x 3 -3a 2 x+b 与 x 轴相切，则 b 2 可以通过 a 表示为 b 2 = 1 （分数：4.00）解析：4a 6 考点 导数的几何意义 解析 由题设，曲线 y=x 3 -3a 2 x+b 与 x 轴相切，设切点为(x 0 ，0)，则 ，即 又由切点在曲线上，则 ， 因而 10.已知 ，f“(x)=arctanx 2 ，则 （分数：4.00）解析： 考点 利用复合函数的求导法则可得到正确答案 解析 由 且 f“(x)=arctanx 2 ，得 ， 故 11.设函数 y=f(x)由方程 xy+2lnx=y 4 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是 1 （分数：
12、4.00）解析：y=x 考点 隐函数求导、切线方程 解析 由题设所给方程 xy+2lnx=y 4 ，两边对 x 求导得， ， 将 x=1，y=1 代入上式得 12.若 ，则 （分数：4.00）解析： 考点 定积分 解析 由题设，令 ，A 为常数，则 ，从而 于是 ，即 13.曲线 y=e -x2 的上凸区间是 1 （分数：4.00）解析： 考点 求二阶导数，并由其符号确定曲线的上凸区间 解析 对 y=e -x2 求一阶、二阶导数得 y“=-2xe -x2 ，y“=-2e -x2 (1-2x 2 ) 当 y“0，即 14.设 （分数：4.00）解析： 考点 涉及 A*的问题，一般从公式 AA*=
13、A*A=|A|E 着手分析 解析 因为 AA*=|A|E，从而 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点 求函数的极限16.设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体积为 试求 y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 （分数：11.00）_正确答案：()解析：由题设，旋转体体积应为叮 ，则 ，从而 两边对 t 求导，得 ，即 t 2 f“(t)-3f 2 (t)+2tf(t)=0 令 ，则 分离变量得 ，积分得 因此 ，又
14、由已知 ，则可解出 C=-1，从而 ，所以 17.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(x)0试证存在 ，(a，b)，使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由题设，引入辅助函数，即 g(x)=e x ，则 f(x)与 g(x)在区间a，b上满足柯西中值定理的条件，所以知存在一点 (a，b)，使得 (1) 又 f(x)在区间a，b上满足拉格朗日中值定理的条件，则存在一点 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=f“()(b-a) (2) 将(2)式代入(1)式可得 整理 18.求连续函数 f(x)，使它满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：微分方程，再求
15、解该微分方程方程 两边对 x 求导得 f“(x)+2f(x)=2x， 令 x=0，由原方程得 f(0)=0 于是，原问题就转化为求微分方程 f“(x)+2f(x)=2x 满足初始条件 f(0)=0 的特解 由一阶线性微分方程的通解公式，得 代入初始条件 f(0)=0，得 ，从而 19.求微分方程 xy“+y=xe x 满足 y(1)=1 的特解 （分数：10.00）_正确答案：()解析：先化为一阶线性微分方程的标准形式 ， 由一阶线性微分方程的通解公式， 得 代入初始条件 y(1)=1 得 C=1，所以所求特解为 20.已知曲线的极坐标方程是 r=1-cos，求该曲线上对应于 （分数：11.0
16、0）_正确答案：()解析：由题设，曲线极坐标方程为 r=1-cos则曲线的亩角坐标参数方程为 当 时 该点切线斜率为 因此，该点切线方程为 ，化简得 ；该点法线方程为 ，化简得 21.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由已知条件，应先求出 f(x)的表达式再进行积分， 由于 ，因此令 t=lnx，即 x=e t ，代入上式得 ，则 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：11.01）(1).证明行列式|A|=(n+1)a n （分数：3.67）_正确答案：()解析：利用行列式性质，有 (2).a 为何值时，方程组有唯一解?求 x 1 （分数：3.67）_正确答案：()解析：若
17、使方程组 Ax=b 有唯一解，则|A|=(n+1)a n 0，即 a0则由克莱姆法则得 (3).a 为何值时，方程组有无穷多解?求通解（分数：3.67）_正确答案：()解析：若使方程组 Ax=b 有无穷多解，则|A|=(n+1)a n =0，即 a=0 把 a=0 代入到矩阵 A 中，显然有 r(A B=r(A)=n-1，方程组的基础解系含一个解向量，它的基础解系为 k(1，0，0，0) T (k 为任意常数) 代入 a=0 后方程组化为 设 n 阶矩阵 （分数：11.00）(1).求 A 的特征值和特征向量（分数：5.50）_正确答案：()解析：由题设，先由特征值多项式|A-E|=0 求 A
18、 的特征值，即 =1-+(n-1)b(1-b) n-1 ， 因此 A 的特征值为 1 =1+(n-1)b， 2 = 3 = n =1-b 当 b0 时，对应于了 1 =1+(n-1)b， 不难求出 是(A- 1 E)x=0 的基础解系，从而属于 1 的特征向量 C 1 = ，其中 C 为任意非 0 常数对应于 2 = 3 = n =1-b， , 易得出基础解系为 从而特征向量为 C 2 2 +C 3 3 +C n n ，其中 C 2 ，C 3 ，C n 是不全为 0 的常数 当 b=0 时， (2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵（分数：5.50）_正确答案：()解析：由前述已知，当 b0，A 有 n 个线性无关的特征向量，令 P=( 1 ， 2 ， 3 ， n )， 则
