1、考研数学二-271 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 ，则_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(u)可导，y=f(sinx)当自变量 x 在 处取得增量 ，相应的函数增量 y 的线性主部为1，则 （分数：4.00）A.-1B.-2C.1D.23.可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极大值，下列结论正确的是_（分数：4.00）A.f(x0，y)在 y=y0 处的导数等于零B.f(x0，y)在 y=y0 处的导数大于零C.f(x0，y)在 y=y0 处的导数小于零D.f(x0，y)在 y
2、=y0 处的导数不存在4.微分方程 2yy“=(y“) 2 的通解为_ A.y=(x-c)2 B.y=c1(x-1)2 C.y=c1+(x-c)2 D.y=c1(x-c2)2（分数：4.00）A.B.C.D.5.若曲线 y=x 2 +ax+b 和 2y=-1+xy 3 在点(1，-1)处相切，其中 a，b 是常数，则_（分数：4.00）A.a=0，b=-2B.a=1，b=3C.a=-3，b=1D.a=-1，b=-16.在区间(-，+)内，方程 （分数：4.00）A.无实根B.有且仅有一个实根C.有且仅有两个实根D.有无穷多个实根7.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n
3、 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是_ A.P-1 B.PT C.P D.(P-1)T（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A 为三阶方阵，A 1 ，A 2 ，A 3 表示 A 中三个列向量，则|A|=_（分数：4.00）A.|A3，A2，A1|B.|A1+A2，A2+A3，A3+A1|C.|-A1，A2，A3|D.|A1，A1+A2，A1+A2+A3|二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，其中 f 可导，且 f“(0)0，则 （分数：4.00）10.函数 y=x+2cosx 在 （分数：4.00）11.设函数
4、z=z(x，y)由方程 F(x-ax，y-bz)=0 所给出，其中 F(u，v)任意可微，则 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.y=2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是 1 （分数：4.00）14.设 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 求 （分数：10.00）_16.求极限 （分数：10.00）_17.设 f(x)为0，1上的单调增加的连续函数，证明 （分数：10.00）_18.设二阶常系数微分方程 y“+ay“+y=e 2x 有一个特解为 y=e 2x +(1+x)e x ，试确定 、 和此方程的通解 （分数：11.00）_19.证
5、明方程 （分数：10.00）_20.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)， 其中 a(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程 （分数：11.00）_21.计算二重积分 （分数：10.00）_22.设四阶矩阵 （分数：11.00）_设 A，B 为同阶方阵，（分数：11.01）(1).如果 A，B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等（分数：3.67）_(2).举一个二阶方阵的例子说明第一小题的逆命题不成立（分数：3.
6、67）_(3).当 A，B 均为实对称矩阵时，试证第一小题的逆命题成立（分数：3.67）_考研数学二-271 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 ，则_ A B （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 可考虑用洛必达法则或泰勒公式 解析 从而得 2.设函数 f(u)可导，y=f(sinx)当自变量 x 在 处取得增量 ，相应的函数增量 y 的线性主部为1，则 （分数：4.00）A.-1B.-2C.1D.2 解析：考点 函数的导数值 解析 函数微分的函数增量的线性主部，所以本题就是已知微分值、自变量 x 的增量，反过来求函
7、数的导数值 ，因为 dy=cosxf“(sinx)dx，所以得 ，即 3.可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极大值，下列结论正确的是_（分数：4.00）A.f(x0，y)在 y=y0 处的导数等于零 B.f(x0，y)在 y=y0 处的导数大于零C.f(x0，y)在 y=y0 处的导数小于零D.f(x0，y)在 y=y0 处的导数不存在解析：考点 函数的极值问题 解析 由题设知 f(x，y)可微且 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处取得极大值，所以 4.微分方程 2yy“=(y“) 2 的通解为_ A.y=(x-c)2 B.y=c1(x-1)2 C.y=c1+(x-c)
8、2 D.y=c1(x-c2)2（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 微分方程的通解 解析 因为此方程为二阶微分方程，故其通解中应含有 2 个自由常数，故可排除 A、B又 y=c 1 +(x-c) 2 不是方程的解，故排除 C5.若曲线 y=x 2 +ax+b 和 2y=-1+xy 3 在点(1，-1)处相切，其中 a，b 是常数，则_（分数：4.00）A.a=0，b=-2B.a=1，b=3C.a=-3，b=1D.a=-1，b=-1 解析：考点 曲线切线 解析 两曲线在一点相切，说明在此点两函数的导数相等，且两函数均经过此点 由题设知，这两条曲线均过点(1，-1)，且在此点的斜率相等，
9、即-l=1+a+b 由于对第一条曲线有 ，对于第二条曲线有 6.在区间(-，+)内，方程 （分数：4.00）A.无实根B.有且仅有一个实根C.有且仅有两个实根 D.有无穷多个实根解析：考点 将方程根的讨论先转化为函数零点的讨论，零点的存在性用介值定理，个数或唯一性利用单调性或极值加以说明 解析 令 由于 f(-x)=f(x)，故 f(x)为偶函数，因此只需考虑 f(x)=0 在(0，+)内的实根情况 当 x0 时， ， 可见，当 时，f“(x)0，f(x)在 内单调增加，且 f(0)=-1， ， 因此 f(x)=0 在 上有唯一实根；当 7.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵
10、，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量是_ A.P-1 B.PT C.P D.(P-1)T（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 特征值、特征向量 解析 因为 是 A 的属于特征值 的特征向量，所以 A= 矩阵(P -1 AP) T 属于特征值 的特征向量 必满足(P -1 AP) T = 将 =P T 代入上式得 (P -1 AP) T (P T )=P T A T (P -1 ) T =P T A T (PT) -1 P T =P T A=(P T )8.设 A 为三阶方阵，A 1 ，A 2 ，A 3 表示 A
11、中三个列向量，则|A|=_（分数：4.00）A.|A3，A2，A1|B.|A1+A2，A2+A3，A3+A1|C.|-A1，A2，A3|D.|A1，A1+A2，A1+A2+A3| 解析：考点 行列式的性质 解析 由行列性质，用排除法 设 A=(A 1 ，A 2 ，A 3 )，则|A|=|A 1 ，A 2 ，A 3 |由行列式性质|A 3 ，A 2 ，A 1 |=-|A 1 ，A 2 ，A 3 |故 A 项不对 |-A 1 ，-A 2 ，-A 3 |=-| A1，A 2 ，A 3 |故 C 项不对， |A 1 +A 2 ，A 2 +A 3 ，A 3 +A 1 |=2|A 1 ，A 2 ，A 3
12、|故 B 项不对二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，其中 f 可导，且 f“(0)0，则 （分数：4.00）解析：3 考点 分段函数求导数 解析 ，且 f“(0)0 10.函数 y=x+2cosx 在 （分数：4.00）解析： 考点 函数的最值 解析 先求出 内的驻点，再将驻点的函数值与端点的函数值比较即可得最值 因为 y“=1-2sinx，令 y“=0，得 内的驻点 又 y(0)=2， ，可见最大值为 11.设函数 z=z(x，y)由方程 F(x-ax，y-bz)=0 所给出，其中 F(u，v)任意可微，则 （分数：4.00）解析：1 考点 求偏导数 解析 因 故 12. （
13、分数：4.00）解析： 考点 广义积分的计算 解析 13.y=2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是 1 （分数：4.00）解析： 考点 麦克劳林公式 解析 由题设，根据麦克劳林公式，x n 的系数为 14.设 （分数：4.00）解析：-1 考点 方程组的线性相关 解析 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点 定积分计算16.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点 等价无穷小、洛必达法则17.设 f(x)为0，1上的单调增加的连续函数，证明 （分数：10.00）_正确答案：()解析：令 类似处理，又有 (2)
14、 将(1)、(2)相加，并注意到假设及(x-y)f(x)-f(y)0， 就有 18.设二阶常系数微分方程 y“+ay“+y=e 2x 有一个特解为 y=e 2x +(1+x)e x ，试确定 、 和此方程的通解 （分数：11.00）_正确答案：()解析：由此方程的非齐次项含 e 2x 及特解形式知，e 2x 是非齐次方程的特解，而由线性微分方程解的性质知(1+x)e x 应是其对应的齐次方程的解，故 r=1 为此方程的齐次方程的特征方程的二重根，故特征方程为 r 2 -2r+1=0，由此得 =-2，=1，故原方程为 y“-2y“+y=e 2x ，将 e 2x 代入得 =1，故得原方程为 y“-
15、2y“+y=e 2x ，其通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x +e 2x 考点 微分方程的通解19.证明方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：记 ，方程化为 令 ，则 由 f“(x)=0 得唯一驻点 x=e，且 f“(x)在此由正变负，x=e 是极大点也是最大点，最大值为 f(e)=k0；又由 ， 20.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)， 其中 a(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程 （分
16、数：11.00）_正确答案：()解析：题设要求切线方程，因此只需知道切点坐标及该点处切线斜率即可，由已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，因而求 f“(6)及 f(6)就等价于求 f“(1)及 f(1)，由关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)， 有 再根据导数的定义，有 ， 其中 f(1)可由下述步骤确定：在原关系式中令 x0 并结合 f(x)的连续性可得 即 f(1)=0，则由 21.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由 x 2 +y 2 x+y+1，得 令 ，则在极坐标系下 于是 22.设四阶矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析
17、：知(AB)T=BTAT，知(E-C -1 B) T C T =C(E-C -1 B) T =(C-B) T 那么由 A(C-B) T =E 知 A=(C-B) T -1 =(C-B) -1 T 由 ，得 ，故 设 A，B 为同阶方阵，（分数：11.01）(1).如果 A，B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等（分数：3.67）_正确答案：()解析：若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B，故 |E-B|=|E-P -1 AP|=|P -1 EP-P -1 AP| =|P -1 (E-A)P|=|P -1 |E-A|P|=|E-A|(2).举一个二阶方阵的例子说明第一小题的逆命题不成立（分数：3.67）_正确答案：()解析：令 (3).当 A，B 均为实对称矩阵时，试证第一小题的逆命题成立（分数：3.67）_正确答案：()解析：由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵若 A，B 的特征多项式相等 记特征多项式的根为 1 ， n ，则有 A 相似于 ，B 也相似于 即存在可逆矩阵 P，Q 使
