1、考研数学二-270 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)和 (x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则_ Af(x)必有间断点 B(x) 2 必有间断点 Cf(x)必有间断点 D （分数：4.00）A.B.C.D.2.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为_（分数：4.00）A.1+sinxB.1-sinxC.1+cosx；D.1-cosx3.考虑二元函数的下面 4 条性质 ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； ()f(x，y)在点(x 0 ，
2、y 0 )处的两个偏导数连续； ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在； 若用 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x，y)连续，则二次积分 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 （分数：4.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导6.下列微分方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是_ A B C D （分数：4.
3、00）A.B.C.D.7.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则_（分数：4.00）A.rr1B.rr1C.r=r1D.r 与 r1 的关系由 C 而定8.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件是_（分数：4.00）A.1=0B.2=0C.10D.20二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.曲线 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.曲线 （分数：4.00
4、）14.设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_16.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a （分数：10.00）_17.假设 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，记 （分数：10.00）_18.设函数 f(x)在0，上连续，且 （分数：11.00）_19.已知抛物线 y=px 2 +qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S （分数：11.00）_2
5、0.设 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求 （分数：10.00）_21.设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 （分数：10.00）_设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij =(a ij ) nm 中元素 a ij (i，j=1，2，n)的代数余子式，二次型 （分数：11.00）(1).记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式，并证明二次型 f(X)的矩阵为 A -1 （分数：5.50）_(2).二次型 g(X)=X T AX 与 f(X)的规范形是否相同?说明理
6、由（分数：5.50）_22.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 ，向量 （分数：11.00）_考研数学二-270 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)和 (x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则_ Af(x)必有间断点 B(x) 2 必有间断点 Cf(x)必有间断点 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 函数的间断点 解析 A 项反例 ，f(x)=1，则 f(x)=1 B 项反例 ，(x) 2 =1
7、 C 项反例 ，f(x)=1，则(x)=1 D 项反设 2.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为_（分数：4.00）A.1+sinxB.1-sinx C.1+cosx；D.1-cosx解析：考点 三角函数的导数 解析 对 sinx 积分两次得到 f(x)的原函数，即可得到正确选项 由题设 f“(x)=sinx，所 f(x)=f“(x)dx=sinxdx=-cosx+C 1 于是 f(x)的原函数 F(x)=f(x)dx=(-cosx+C 1 )dx=-sinx+C 1 x+C 2 令 C1 =0，C 2 =1，得 f(x)的一个原函数为 1-sinx3.考虑二元函数的下
8、面 4 条性质 ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续； ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续； ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微； ()f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在； 若用 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 多元函数的性质 解析 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续，则 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续所以 4.设函数
9、f(x，y)连续，则二次积分 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 积分变换 解析 由二次积分 的积分上、下限知积分区域为 ， 的反函数为 x=-arcsiny，则积分区域可变为 ，于是积分变为 5.设 （分数：4.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：考点 连续性、可导性 解析 题设所给函数 f(x)是分段函数，且 f(0)=0，应分别求左、右极限及左、右导数来讨论 x=0 点的连续性与可导性，由 ， 知 f(x)在 x=0 处连续； 又由 6.下列微分方程中，以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin
10、2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 微分方程及其通解 解析 由微分方程的通解可知，所求微分方程的特征根为 1 =1， 2,3 =2i，从而特征方程为(-1)(+2i)(-2i)=(-1)( 2 +4)= 3 - 2 +4-4=0，所以所求微分方程为 7.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则_（分数：4.00）A.rr1B.rr1C.r=r1 D.r 与 r1 的关系由 C 而定解析：考点 利用左乘或右乘可逆矩阵不改变被乘矩阵的秩即可 解析
11、 由 B=AC 知 r 1 r(A)=r，又 B=AC 两边同时右乘 C -1 ，得 A=BC -1 ，于是 rr(B)=r 1 ，从而有r=r 1 8.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件是_（分数：4.00）A.1=0B.2=0C.10D.20 解析：考点 特征值、特征向量 解析 由题意可知 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 = 1 1 + 2 2 ，于是 1 ，A( 1 + 2 )线性无关 k 1 1 +k 2 A( 1 + 2 )=0，k 1 ，k 2 恒为 0 (k 1 + 1
12、k 2 ) 1 + 2 k 2 2 =0，k 1 ，k 2 恒为 0 又因为不同特征值的特征向量线性无关，故 1 ， 2 线性无关。 于是 k 1 ，k 2 恒为 0 齐次方程组 只有零解 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）解析：1 考点 函数的连续性 解析 函数 f(x)连续，则需满足 ，即 10. （分数：4.00）解析： 考点 极限 解析 11.曲线 （分数：4.00）解析：2x+y-1=0 考点 法线方程、参数方程求导 解析 由题设，先求曲线在点(0，1)处的切线的斜率，由已知 x=0，y=1 时，t=0， 由 ，知 ， 因此 12. （分数：4.
13、00）解析：-cotxlncosx-x+C 考点 不定积分 解析 原式=-lncosxdcotx=-cotxlncosx-dx=-cotxlncosx-x+C13.曲线 （分数：4.00）解析： 考点 渐近线 解析 通常渐近线有水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线 由题设， ，因此无水平渐近线 又由 ， 因此也无铅直渐近线关于斜渐近线，设 ， ， 因此有斜渐近线为 14.设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为 1 （分数：4.00）解析：0 考点 利用 A*的定义和矩阵秩的定义即得 解析 由题设，4 阶方阵 A 的秩为 2，因此 A 的所有 3 阶子式均为 0，从而所有元素的代数
14、余子式均为0，即 A*=0，故 r(A*)=0三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点 等价无穷小、洛必达法则16.证明：当 0ab 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a （分数：10.00）_正确答案：()解析：设函数 F(x)=xsinx+2cosx+x，则 F(x)在0，有连续的二阶导数，且 F(x)=xcosx-sinx+，F“()=0， F“(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx0 (x(0，) 所以 F“(x)在0，单调减少，从而 F“(x)F“()=0(x(0，) 于是 F(x)在0，单调
15、增加，因此当 0ab 时，F(b)F(a) 即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a 考点 函数的单调性17.假设 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，记 （分数：10.00）_正确答案：()解析：的导数 F“(x)，再利用 f“(x)大于零的条件进行推证 令 (x)=f“(x)(x-a)-f(x)+f(a) (xa)， 由于 “(x)=f“(x)(x-a)0，因此 (x)在(a，+)内单调增加，有 (x)(a)=0， 故 18.设函数 f(x)在0，上连续，且 （分数：11.00）_正确答案：()解析：引入辅助函数 ，0x，则 F(0)=0，F()
16、=0 又由 因此必存在一点 (0，)，使得 F()sin=0，否则 F(x)sinx 在(0，)内恒正(或负)，均与 19.已知抛物线 y=px 2 +qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S （分数：11.00）_正确答案：()解析：由题设，抛物线与直线的位置关系如下图所示 抛物线 y=px 2 +qx 与 x 轴的交点为(0，0)及 ， 面积 又知抛物线与直线相切，因此二者的公共点唯一，从而方程组 有唯一解，可推知 px 2 +(q+1)x-5=0 的根的判别式为 0， 即 =(q+1) 2 +20p=0，可解得 由此，
17、 则 ，令 ，则 q=3 当 0q3 时，S“(g)0；当 q3 时，S“(q)0， 所以 q=3 时，s(q)取极大值，也即最大值，此时， 20.设 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：等式两边同时对 x 求导，得 y“=f“(x+y)(1+y“)， 于是 再对 x 求导，得 21.设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：依题意，如下图所示，D 为右半单位圆，且关于 x 轴对称，所以 所以 ，D 1 =Dy0 令 x=rcos，y=rsin，作极坐标
18、变换则有 D 1 ： ，0r1， 从而 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij =(a ij ) nm 中元素 a ij (i，j=1，2，n)的代数余子式，二次型 （分数：11.00）(1).记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式，并证明二次型 f(X)的矩阵为 A -1 （分数：5.50）_正确答案：()解析：由题设， 已知 A 为 n 阶实对称矩阵，从而上式两边可转置，即 已知 r(A)=n，从而|A|0，A 可逆，且 (2).二次型 g(X)=X T AX 与 f(X)的规范形是否相同?说明理由（分数：5.50）_正确答案：()解析：由于(A -1 ) T AA -1 =(A T ) -1 E=A -1 ，则 A -1 与 A 合同，于是 g(X)=X T AX 与 f(X)有相同规范形，得证 解析 二次型、矩阵的合同22.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，其对应的线性无关的特征向量分别为 ，向量 （分数：11.00）_正确答案：()解析：令 ，则 则 ，于是
