1、考研数学二-269 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 + 时，与 等价的无穷小量是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数|f(x)|在点 x=a 处不可导的充分条件是_（分数：4.00）A.f(a)=0 且 f“(a)=0B.f(a)=0 且 f“(0)0C.f(a)0 且 f“(a)0D.f(a)0 且 f“(a)03.设 ，则函数在原点处偏导数存在的情况是_ A ， 都存在 B 不存在， 存在 C 存在， 不存在 D ， （分数：4.00）A.B.C.
2、D.4.设 （分数：4.00）A.I3I2I1B.I2I1I3C.I2I1I3D.I3I1I25.设函数 （分数：4.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点6.设 ，则极限 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是_（分数：4.00）A.向量组 1，2，m， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k1，k2，km，使得 k11+k22+kmm0C.向量组 1，2，m 的维数大于其个数D.向量组 1，2，m 的任意一个部分向量组线性无关8.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B
3、相似，E 为 n 阶单位矩阵，则_（分数：4.00）A.AE-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设 ，其中 f 可导，且 f“(0)0，则 （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.设 f(x，y)连续，且 （分数：4.00）13.微分方程 y“+y=-2x 的通解为 1 （分数：4.00）14.若四阶矩阵 A 与 B 为相似矩阵，A 的特征值为 1/2、1/3、1/4、1/5，则行列式|B -1 -E|= 1 （分
4、数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 a 1 =2， ，证明 （分数：10.00）_16.求函数 （分数：10.00）_17.求极限 （分数：10.00）_18.试证明函数 （分数：10.00）_19.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点 （分数：11.00）_20.设 y=sinf(x 2 )，其中 f 具有二阶导数，求 （分数：10.00）_21.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需要定仪器的下沉深度 y(从海平面算起与下沉速度 v之间的函数关系设仪器
5、在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v) （分数：11.00）_已知线性方程组 （分数：11.01）(1).a，b 为何值时，方程组有解?（分数：3.67）_(2).方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系（分数：3.67）_(3).方程组有解时，求出方程组的全部解（分数：3.67）_设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3，矩阵 A 的属于特征值 1、2 的特征向量分别是 1
6、 =(-1，-1，1) T ， 2 =(1，-2，-1) T （分数：11.00）(1).求 A 的属于特征值 3 的特征向量（分数：5.50）_(2).求矩阵 A（分数：5.50）_考研数学二-269 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 + 时，与 等价的无穷小量是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 等价无穷小 解析 当 x0 + 时，A 选项 ，B 选项 ，C 选项 ，D 选项 2.设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数|f(x)|在点 x=a 处不可导的充分条件是_（分数：4.0
7、0）A.f(a)=0 且 f“(a)=0B.f(a)=0 且 f“(0)0 C.f(a)0 且 f“(a)0D.f(a)0 且 f“(a)0解析：考点 可导性 解析 本题可采取举反例的方法一一排除干扰项 关于 A 项，令_f(x)=x 2 ，a=0，则 f(a)=f“(a)=0，但|f(x)|=x 2 在 x=0 处可导，因此 A 不正确；关于 C项，令 f(x)=x，a=1，则 f(a)=10，f“(a)=10，但|f(x)|=|x|在 x=1 处可导，所以 C 项也可排除；关于 D 项，令 f(x)=-x，a=1，则 f(a)=-10，f“(a)=-10，但|f(x)|=|x|在 x=1
8、处也可导，即 D 项也可排除； 关于 B 项的正确性证明如下：设-f(a)=0，f“(a)0，不失一般性，设 f“(a)0，则 ，因而在点x=a 左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，记 (x)=|f(x)|， 则 3.设 ，则函数在原点处偏导数存在的情况是_ A ， 都存在 B 不存在， 存在 C 存在， 不存在 D ， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 二元函数偏导数的存在性 解析 因为 ， 又 ，所以 不存在； 又 ，所以 4.设 （分数：4.00）A.I3I2I1 B.I2I1I3C.I2I1I3D.I3I1I2解析：考点 二重积分 解析 由题意可知，积分区域 D 上有 (
9、等号仅在区域 D 的边界上成立)， 于是在积分区域 D 上有 5.设函数 （分数：4.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点 D.至少有三个不可导点解析：解析 此题可先求 f(x)的表达式，再结合 f(x)的函数图形求得 因为 所以 根据 y=f(x)的表达式以及其函数图形(见下图)，可以得知 f(x)在 x=1 处不可导(图形是尖点) 6.设 ，则极限 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 定积分、数列极限 解析 由题设 ， 所以 ， 由于 ， 所以 7.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是_（分数：4.00）A.向量组
10、1，2，m， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k1，k2，km，使得 k11+k22+kmm0C.向量组 1，2，m 的维数大于其个数D.向量组 1，2，m 的任意一个部分向量组线性无关 解析：考点 向量组的线性无关 解析 A 项不对，因为 1 ， 2 ， m ， 线性无关有 1 ， 2 ， m 线性无关，但反之不成立；B 项不对，因为 1 ， 2 ， m 线性无关，则对任意一组非零常数 k 1 ，k 2 ，k m 使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，但反之不成立；C 项向量组 1 ， 2 ， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 8.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A
11、与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则_（分数：4.00）A.AE-A=E-BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似 解析：考点 相似矩阵 解析 由题设，若 A 与 B 相似，则|A-E|=|E-B|，即 A 与 B 的特征值相同，若 A-E=B-E，则 A 与B 相似，但是 A 与 B 相似并不能得出 A-E=B-E 的结论，由此可知 A，B 项不正确；此外，相似矩阵A，B 不一定可以对角化，即不一定相似于对角阵，所以 C 项也可排除；关于 D 项的正确性证明如下：已知 A 相似于 B，则在可逆矩阵 P，
12、使得 P -1 AP=B，则 P -1 (tE-A)P=P -1 tEP-P -1 1AP=tE-B，从而 tE-A与 tE-B 相似二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 考点 用定义计算定积分 解析 10.设 ，其中 f 可导，且 f“(0)0，则 （分数：4.00）解析：3 考点 参数方程求导数 解析 由于 于是 11. （分数：4.00）解析： 考点 全微分 解析 ，则 12.设 f(x，y)连续，且 （分数：4.00）解析： 考点 二重积分 解析 令 ，则 f(x，y)=xy+k，两边在 D 上积分得 ，即 ，解得 ，所以 13.微分方程 y“+y=
13、-2x 的通解为 1 （分数：4.00）解析：C 1 cosx+C 2 sinx-2x 考点 微分方程的通解 解析 方程 y“+y=-2x 对应的齐次方程的特征方程为 2 +1=0，特征根为 1,2 =i，故对应的齐次方程通解为 C 1 cosx+C 2 sinx 因为 a=0 不是特征根，因此原方程的特解可设为 y*=Ax+B，代入原方程得 A=-2，B=0所以原方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx-2x14.若四阶矩阵 A 与 B 为相似矩阵，A 的特征值为 1/2、1/3、1/4、1/5，则行列式|B -1 -E|= 1 （分数：4.00）解析：24 考点 相似矩阵、特征
14、值、行列式 解析 由已知 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征值相同， 即 B 的特征值也为 1/2、1/3、1/4、1/5，从而 B -1 -E 的特征值为 1，2，3，4， 因此|B -1 -E|=1234=24三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 a 1 =2， ，证明 （分数：10.00）_正确答案：()解析：因为 ，又 ，所以 单调减少，而 a n 0，即 是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则， 存在设 ，则 16.求函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析： ，xe，e 2 ，知 I(x)在区间e，e 2 上单调增加，故在 x=e 2 处取得最大值，其最
15、大值为 17.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点 函数的极限18.试证明函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：因此只需证明，对任意 x(0，+)有 f“(x)0 由 ，有 ，只需证明，对于任意x(0，+)，方括号中的值大于 0 记 ，则对于任意 x(0，+)，有 ，故函数 g(x)在(0，+)上单调减少，由于 ，可见，对于任意 x(0，+)，有 19.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点 （分数：11.00）_正确答案：()解析：设点 M 的坐标为(x，y)，则
16、切线 MA：Y-y=y“(X-x) 令 X=0，则 Y=y-xy“，故 A 点的坐标为(0，y-xy“)， 由|MA|=|OA|，得 ，即 ，则 y ，因为曲线经过点 ， 所以 C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 20.设 y=sinf(x 2 )，其中 f 具有二阶导数，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析： ， 21.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需要定仪器的下沉深度 y(从海平面算起与下沉速度 v之间的函数关系设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度
17、成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v) （分数：11.00）_正确答案：()解析：由题设，建立坐标系，取沉放点为坐标原点 O，Oy 轴竖直向下为正，由已知仪器重力为 mg，浮力为-B，阻力为 ， 根据牛顿第二定律， (1) 令 ，则 ，代入(1)式，得 ，此为可分离变量的微分方程，分离变量得 两边积分得 ， 由初始条件 V| y=0 =0， 可求出 ， 所以 已知线性方程组 （分数：11.01）(1).a，b 为何值时，方程组有解?（分数：3.67）_正确答案：()解析：考虑方程组的增广矩阵 (2).方程组有解时，求出方程组的导出组的
18、一个基础解系（分数：3.67）_正确答案：()解析：当 a=1，b=3，有 因此，原方程组的同解方程组为 得导出组的基础解系为 (3).方程组有解时，求出方程组的全部解（分数：3.67）_正确答案：()解析：令 x 3 =x 4 =x 5 =0，得原方程组的特解 于是原方程组的全部解为 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3，矩阵 A 的属于特征值 1、2 的特征向量分别是 1 =(-1，-1，1) T ， 2 =(1，-2，-1) T （分数：11.00）(1).求 A 的属于特征值 3 的特征向量（分数：5.50）_正确答案：()解析：由题设，实对称矩阵 A 的三个特征值不同，则相应的特征向量彼此正交，设 A 的属于特征值 3 的特征向量为 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 且 ， 写成线性方程组的形式为 ，可解得 (2).求矩阵 A（分数：5.50）_正确答案：()解析：由于实对称阵必可对角化，即存在可逆矩阵 P，使 且由前述可令 ，因此 ， 先求出 ， 则
