1、考研数学二-268 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x1 时，函数 （分数：4.00）A.等于 2B.等于 0C为D.不存在但不为2.设 f(x)=2 x +3 x -2，则当 x0 时_（分数：4.00）A.f(x)是 x等价无穷小B.f(x)与 x是同阶但非等价无穷小C.f(x)比 x更高阶的无穷小D.f(x)是比 x较低阶的无穷小3.若 3a 2 -560，则方程 x 5 +2ax 3 +3bx+4c=0_（分数：4.00）A.无实根B.有唯一实根C.有三个不同的实根D.有五个不同的实根4.设 f(x)=|x(1-x
2、)|，则_（分数：4.00）A.x=0是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0不是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点5.设函数 f(x)连续， ，其中区域 D uv 为图中阴影部分，则 _ Avf(u 2 ) B Cvf(u) D （分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 是微分方程 的解，则 的表达式为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 3阶矩阵 （分数：4.00）A
3、.a=b或 a+2b=0B.a=b或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0D.ab 且 a+2b08.设 0 是 n阶矩阵 A的特征值，且齐次线性方程组( 0 E-A)X=0的基础解系为 1 ， 2 ，则 A的属于 0 的全部特征向量为_（分数：4.00）A.1 和 2B.1 或 2C.c11+c22(c1，c2 全不为零)D.c11+c22(c1，c2 不全为零)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设 y=sinx， ，t 为 1 时，下图中阴影部分的面积 S 1 与 S 2 之和 S最小? （分数：4.00）11.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0
4、且 f“(0)=b，若函数 （分数：4.00）12.曲线 （分数：4.00）13.x 3 e x2 dx= 1 （分数：4.00）14.已知实二次型 经正交变换 x=Py可化成标准形 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f(x)在(-，+)内可导， （分数：10.00）_16.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，求 （分数：10.00）_17.计算 （分数：10.00）_设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导存在相等的最大值，又 f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：（分数：11.00）(1).存在 (a，b)，使
5、得 f()=g()（分数：5.50）_(2).存在 (a，b)，使得 f“()=g“()（分数：5.50）_设曲线方程为 y=e -x (x0)（分数：11.00）(1).把曲线 y=e -x (x0)、x 轴、y 轴和直线 x=(0)所围成平面图形绕 x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积 V()，求满足 （分数：5.50）_(2).在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积（分数：5.50）_18.设函数 f(x)在(-，+)上有定义，在区间0，2上，f(x)=x(x 2 -4)，若对任意的 x都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k为常数 (1)
6、写出 f(x)在-2，0上的表达式； (2)问 k为何值时，f(x)在 x=0处可导 （分数：10.00）_19.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx-2ydy，并且 f(1，1)=2，求，(x，y)在椭圆域 （分数：10.00）_设 A为 n阶非奇异矩阵， 是 n维列向量，b 为常数， （分数：11.00）(1).计算 PQ；（分数：5.50）_(2).证明 PQ可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：5.50）_已知 1 =(1，4，0，2) T ， 2 =(2，7，1，3) T ， 3 =(0，1，-1，a) T ，=(3，10，b，4) T ，问：（分数：11.00
7、）(1).a，b 取何值时， 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示?（分数：5.50）_(2).a，b 取何值时， 可由 1 ， 2 ， 3 ，线性表示?并写出此表示式（分数：5.50）_考研数学二-268 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x1 时，函数 （分数：4.00）A.等于 2B.等于 0C为D.不存在但不为 解析：考点 函数极限 解析 2.设 f(x)=2 x +3 x -2，则当 x0 时_（分数：4.00）A.f(x)是 x等价无穷小B.f(x)与 x是同阶但非等价无穷小 C.f(x)比 x更高阶的无穷小D.f
8、(x)是比 x较低阶的无穷小解析：考点 等价无穷小 解析 因 3.若 3a 2 -560，则方程 x 5 +2ax 3 +3bx+4c=0_（分数：4.00）A.无实根B.有唯一实根 C.有三个不同的实根D.有五个不同的实根解析：考点 函数方程根的个数 解析 设 f(x)=x 5 +2ax 3 +3bx+4c 则 f“(x)=5x4 +6ax 2 +3b=5(x 2 ) 2 +6a(x 2 )+3b 由于(6a) 2 -453b=12(3a 2 -5b)0，所以 f“(x)=0无实根 又， 4.设 f(x)=|x(1-x)|，则_（分数：4.00）A.x=0是 f(x)的极值点，但(0，0)不
9、是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0不是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点解析：考点 函数极值点、拐点的判定 解析 f(x)是(-，+)上的连续函数，在 内有表达式 于是 5.设函数 f(x)连续， ，其中区域 D uv 为图中阴影部分，则 _ Avf(u 2 ) B Cvf(u) D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 积分的坐标变换 解析 在极坐标系下， 则 6.已知 是微分方程 的解，则 的表达式为_ A B
10、 C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 导数的运算 解析 由题设 ，则 ， 同时由 ，知 ，与题设所给微分方程比较，知 7.设 3阶矩阵 （分数：4.00）A.a=b或 a+2b=0B.a=b或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0 D.ab 且 a+2b0解析：考点 伴随矩阵的秩 解析 由秩 f(A*)=1知秩(A)=3-1=2，则|A|=0 由 8.设 0 是 n阶矩阵 A的特征值，且齐次线性方程组( 0 E-A)X=0的基础解系为 1 ， 2 ，则 A的属于 0 的全部特征向量为_（分数：4.00）A.1 和 2B.1 或 2C.c11+c22(c1，c2 全不为零)D
11、.c11+c22(c1，c2 不全为零) 解析：考点 特征向量、特征值 解析 A 的属于 0 的全部特征向量为方程组(E-A)X=0 的通解，即 c 1 1 +c 2 2 (c 1 ，c 2 不全为零)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 考点 函数的极限 解析 而 10.设 y=sinx， ，t 为 1 时，下图中阴影部分的面积 S 1 与 S 2 之和 S最小? （分数：4.00）解析： 考点 利用定积分求函数的值 解析 令 ，得 11.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0 且 f“(0)=b，若函数 （分数：4.00）解析：b+a 考点 函数的连续性
12、 解析 由于 F(x)在 x=0处连续， 故 12.曲线 （分数：4.00）解析：3x-y-7=0 考点 曲线的切线方程 解析 按照参数方程求导得切线斜率，代入点斜式即得切线方程 当 t=2时，x 0 =5，y 0 =8，且 ， 可知过曲线 13.x 3 e x2 dx= 1 （分数：4.00）解析： 考点 不定积分 解析 被积函数为幂函数与指数函数的乘积，因此采用分部积分法，将幂函数看作 u 14.已知实二次型 经正交变换 x=Py可化成标准形 （分数：4.00）解析：2 考点 二次型 解析 因为二次型 x T Ax经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A的特征值，所以
13、 6，0，0 是 A的特征值，又因为a ii = i ， 所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f(x)在(-，+)内可导， （分数：10.00）_正确答案：()解析：由题设， 由拉格朗日中值定理得 f(x)-f(x-1)=f“()1， 其中 在 x-1与 x之间，则 综上，e 2c =e，从而 16.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由题设， ， 因此 因此 17.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：本题为“1 ”型未定式，除可以利用第二类重要极限进行计算或化为指数函数计算外，由于已知数列的表达式，也
14、可将 n换为 x转化为函数极限进行计算一般地，若 因为 故 设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导存在相等的最大值，又 f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：（分数：11.00）(1).存在 (a，b)，使得 f()=g()（分数：5.50）_正确答案：()解析：设 f(x)，g(x)在(a，b)内某点 c(a，b)同时取得最大值，则 f(c)=g(c)，此时的 c就是所求点，使得 f()=g()， 若两个函数取得最大值的点不同，则可设 f(c)=maxf(x)，g(d)=maxg(x)，故有 f(c)-g(c)0，f(d)-g(d)0， 由介值定理，在(c，
15、d)内(或(d，c)内)肯定存在 ，使得 f()=g()(2).存在 (a，b)，使得 f“()=g“()（分数：5.50）_正确答案：()解析：由罗尔定理在区间(a，)、(，b)内分别存在一点 1 ， 2 ，使得 f“( 1 )=g“( 1 )，f“( 2 )=g“( 2 )在区间( 1 ， 2 )内再用罗尔定理， 即存在 (a，b)，使得厂 f“()=g“() 解析 罗尔定理、介值定理设曲线方程为 y=e -x (x0)（分数：11.00）(1).把曲线 y=e -x (x0)、x 轴、y 轴和直线 x=(0)所围成平面图形绕 x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积 V()，求满足 （分
16、数：5.50）_正确答案：()解析：如图，旋转体体积 由 ，得 ； 考点 先利用定积分求旋转体体积的公式求 V()，并求出极限 (2).在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积（分数：5.50）_正确答案：()解析：如图，设切点为(a，e -a )，因 y“=(e -x )“=-e -x ，所以切线方程为 y-e -a =-e -a (x-a)， 令 x=0，得 y=(1+a)e -a ，令 y=0，得 x=1+a，于是切线与坐标轴所夹面积 ， ， 令 S“=0，得 a 1 =1，a 2 =-1，其中 a 2 =-1应舍去 当 a1 时， ，当 a1 时
17、， ， 故当 a=1时，面积最大，所求切点为(1，e -1 )，最大面积 18.设函数 f(x)在(-，+)上有定义，在区间0，2上，f(x)=x(x 2 -4)，若对任意的 x都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k为常数 (1)写出 f(x)在-2，0上的表达式； (2)问 k为何值时，f(x)在 x=0处可导 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由题设，f(x)=x(x 2 -4)，x0，2 当 x-2，0)时，x+20，2)，则由 f(x)=kf(x+2)知 f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2) 2 -4 =k(x+2)(x2 +4x)=kx(x+2)(x+4)，x
18、-2，0) 由导数定义及 f(x)=0，有 ， 令 f“(0 + )=f“(0 - )，则 ，所以当 19.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx-2ydy，并且 f(1，1)=2，求，(x，y)在椭圆域 （分数：10.00）_正确答案：()解析：根据题意，先求 f(x，y)的表达式 由已知有 dz=dx 2 -dy 2 =d(x 2 -y 2 ) z=x 2 -y 2 +C 又因为 f(1，1)=2，所以 C=2，从面 z=f(x，y)=x 2 -y 2 +2 然后求出 f(x，y)在 D内驻点及相应函数值，解 设 A为 n阶非奇异矩阵， 是 n维列向量，b 为常数， （分数：1
19、1.00）(1).计算 PQ；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：(2).证明 PQ可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：5.50）_正确答案：()解析：证：|PQ|=|A| 2 (b- T A -1 )，PQ 可逆的充分必要条件是|PQ|0，即 T A -1 b 解析 分块矩阵已知 1 =(1，4，0，2) T ， 2 =(2，7，1，3) T ， 3 =(0，1，-1，a) T ，=(3，10，b，4) T ，问：（分数：11.00）(1).a，b 取何值时， 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示?（分数：5.50）_正确答案：()解析：向量 能否由 1 ， 2 ， 3 线
20、性表示实质上等价于下述方程组有解或无解的 问题：Ax=，其中 A=( 1 ， 2 ， 3 )， ， 从而 ，相应的增广矩阵为 ， 利用初等行变换将 B化为阶梯形为： (2).a，b 取何值时， 可由 1 ， 2 ， 3 ，线性表示?并写出此表示式（分数：5.50）_正确答案：()解析：当 b=2，a1 时，r(A)=r(B)且 r(A)=3，此时方程组 Ax= 有唯一解， 且相应的行简化阶梯形为 ，因此该唯一解为 ， 因此， 可由 1 ， 2 ， 3 唯一表示为 =- 1 +2 2 ； 当 b=2，a=1 时，r(A)=r(B)且 r(A)=23，此时方程组 Ax= 有无穷解， 相应的行简化阶梯形为
