1、考研数学二-267 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 则 gf(x)=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在(-，+)内有定义，且 ， （分数：4.00）A.x=0必是 g(x)的第一类间断点B.x=0必是 g(x)的第二类间断点C.x=0必是 g(x)的连续点D.g(x)在点 x=0处的连续性与 a的取值有关3.设 f“(x)在a，b上连续，且 f“(a)0，f“(b)0，则下列结论中错误的是_（分数：4.00）A.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)B.至少存在一点 x
2、0(a，b)，使得 f(x0)f(b)C.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f“(x0)=0D.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=04.二元函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的下面 4条性质：()连续；()两个偏导数连续；()可微；()两个偏导数存在，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)连续，则 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 F(x)是 f(x)在区间(a，b)内的一个原函数，则 F(x)+f(x)在区间(a，b)内_（分数：4.00）A.可导B.连续C.存在原函数D.是初等函数7.设 1 ， 2 ， 3 是四元非
3、齐次方程组 Ax=b的三个解向量，且秩 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b的通解 x=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.n阶方阵 A具有 n个不同的特征值是 A与对角阵相似的_（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）10.设(x 0 ，y 0 )是抛物线 y=ax 2 +bx+c上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是 1 （分数：4.00）
4、11.设 ，则 （分数：4.00）12.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令 y=y(x+x)-y(x)，且 （分数：4.00）13.曲线 上对应于 （分数：4.00）14.设 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f具有二阶连续偏导数，求 （分数：10.00）_16.设 （分数：10.00）_17.设 ，试补充定义 f(1)，使得 f(x)在 （分数：10.00）_18.求 （分数：10.00）_19.设函数 f(x)可导，且 f(0)=0， ，求 （分数：10.00）_20.计算 （分数：11.00）_
5、21.设曲线 L的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为任一点，M 0 (2，0)为 L上一定点若极径 OM 0 ，OM与曲线 L所围成的曲边扇形面积值等于 L上 M 0 ，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L的方程 （分数：11.00）_22.设线性方程组 （分数：11.00）_设 3阶对称矩阵 A的特征向量值 1 =1， 2 =2， 3 =-2，又 1 =(1，-1，1) T 是 A的属于 1 的一个特征向量记 B=A 5 -4A 3 +E，其中 E为 3阶单位矩阵（分数：11.00）(1).验证 1 是矩阵 B的特征向量，并求 B的全部特征值与特征向量；（分数：5.50）_(2).求矩阵
6、B（分数：5.50）_考研数学二-267 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 则 gf(x)=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 分段函数，复合函数 解析 由已知 由 f(x)0，知 x10 且 f(x)=-x；由 f(x)0，知 x0 且 f(x)=x 2 ； 从而 2.设 f(x)在(-，+)内有定义，且 ， （分数：4.00）A.x=0必是 g(x)的第一类间断点B.x=0必是 g(x)的第二类间断点C.x=0必是 g(x)的连续点D.g(x)在点 x=0处的连续性与 a的取值有关 解析：考
7、点 连续性、间断点 解析 本题考查连续性及间断点的定义由题设， ，则 3.设 f“(x)在a，b上连续，且 f“(a)0，f“(b)0，则下列结论中错误的是_（分数：4.00）A.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)B.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(b)C.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f“(x0)=0D.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0 解析：考点 导数的定义、连续函数的介值定理 解析 由已知，F“(a)0，则 ，从而存在 1 0， 当 x(a，a+ 1 )时，f(x)f(a)；f“(b)0，则 4.二元函数 f(x，y)在点(x
8、 0 ，y 0 )处的下面 4条性质：()连续；()两个偏导数连续；()可微；()两个偏导数存在，则_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 多元函数的性质 解析 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数连续，则 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续，所以 5.设函数 f(x)连续，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 变上限积分求导数 解析 因 6.设 F(x)是 f(x)在区间(a，b)内的一个原函数，则 F(x)+f(x)在区间(a，
9、b)内_（分数：4.00）A.可导B.连续C.存在原函数 D.是初等函数解析：考点 原函数的存在条件 解析 因 F(x)是 f(x)在区间(a，b)内的一个原函数，故 F“(x)=f(x)， 因此 F(x)在区间a，b内连续，于是 F(x)在区间a，b内存在原函数， 因此 F(x)+f(x)在区间(a，b)内存在原函数7.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次方程组 Ax=b的三个解向量，且秩 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b的通解 x=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点
10、 线性方程组解的结构 解析 由题设，Ax=b 的系数矩阵 A的秩为 3， 因此 Ax=0的基础解系中只含一个解向量，由于已知 A 1 =b，A 2 =b，A 3 =b， 从而 A(2 1 )-A( 2 + 3 )=2b-2b=0，则 A(2 1 - 2 - 3 )=0， 即 2 1 - 2 - 3 =(2，3，4，5) T 是 Ax=0的解，且(2，3，4，5) T 0， 因而可作为 Ax=0的基础解系，所以 Ax=b的通解为 8.n阶方阵 A具有 n个不同的特征值是 A与对角阵相似的_（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：考
11、点 矩阵对角化的条件 解析 若 n阶方阵 A有 n个不同的特征值，则一定有 n个线性无关的特征向量，从而必相似于对角矩阵，但反之不成立因此 n阶矩阵 A具有 n个不同的特征值是 A与对角矩阵相似的充分而非必要条件二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）解析：1 考点 数列的极限 解析 令 ，n=1，2，3， 当 n=2k(kN)时， ； 当 n=2k-1(kN)， 所以 10.设(x 0 ，y 0 )是抛物线 y=ax 2 +bx+c上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是 1 （分数：4.00）解析： 或 考点 先求出过点(x 0 ，y 0 )的切线
12、方程，再将原点坐标代入切线方程即可 解析 y“=2ax+b，y“(x 0 )=2ax 0 +b，过(x 0 ，y 0 )点的切线方程为 y-y 0 =(2ax 0 +b)(x-x 0 )，即 ，此切线过原点，把 x=y=0代入上式，得 ， 即 ，所以系数应满足的关系式为 或 11.设 ，则 （分数：4.00）解析：e -1 -1 考点 定积分的计算 解析 12.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令 y=y(x+x)-y(x)，且 （分数：4.00）解析： 考点 微分的概念，常微分方程的解法 解析 由 ，得 ，或 ， 解得 ，再由 y(0)=2，得 C=2，所以 13.曲线 上对应于 （分数：
13、4.00）解析： 考点 参数方程求导数 解析 利用参数方程的求导得切线斜率 曲线上对应于 的点的直角坐标为 ， 对应于 点处的切线的斜率 ， 因此对应于 点处法线的斜率 ， 故曲线上对应于 点处的法线方程为 ，即 14.设 （分数：4.00）解析：x=(1，0，0) T 考点 利用克莱姆法则求解，并注意行列式的特点 解析 由于 ，故知 A T x=B有唯一解，且由克莱姆法则知唯一解为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(e x siny，x 2 +y 2 )，其中 f具有二阶连续偏导数，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点 复合函数求导16.设 （分数：1
14、0.00）_正确答案：()解析：因为 ，所以 f(0-0)=f(0+0)=f(0)=1，即 f(x)在 x=0处连续 可导性因为 17.设 ，试补充定义 f(1)，使得 f(x)在 （分数：10.00）_正确答案：()解析：由题设，需补充 f(x)在 x=1处的定义 因为 ， 令 y=1-x，则当 x1 - 时，y0 + 则 因此补充定义 ，就使得 18.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点 用凑微分法积分即可，被积函数中含有根式，也可考虑作变量代换去掉根号，再积分19.设函数 f(x)可导，且 f(0)=0， ，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：作变量代换 x n
15、-t n =u，则 du=-nt n-1 dt， 于是 ， 于是 20.计算 （分数：11.00）_正确答案：()解析： 21.设曲线 L的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为任一点，M 0 (2，0)为 L上一定点若极径 OM 0 ，OM与曲线 L所围成的曲边扇形面积值等于 L上 M 0 ，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L的方程 （分数：11.00）_正确答案：()解析：根据题意，由面积与弧长的计算公式得 ， 将上式两边对 求导，得 ，即 ，此为可分离变量方程， 从而 ，此式两边积分，得 ， 即 由已知 r(0)=2，代入上式得 ， 故曲线 L的方程为 ，由于 rcos=x，rsin=y
16、，于是所求直线为 22.设线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：()解析：因为方程组(1)、(2)有公共解，则可组成如下方程组： (3) 因为方程组(3)的增广矩阵 ， 所以当 a=1或 a=2时，(1)与(2)有公共解 当 a=1时，方程组(3)化为 公共解为 ， 当 a=2时，方程组(3)化为 公共解为 设 3阶对称矩阵 A的特征向量值 1 =1， 2 =2， 3 =-2，又 1 =(1，-1，1) T 是 A的属于 1 的一个特征向量记 B=A 5 -4A 3 +E，其中 E为 3阶单位矩阵（分数：11.00）(1).验证 1 是矩阵 B的特征向量，并求 B的全部特征值与特征向量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：容易验证 ，于是 (2).求矩阵 B（分数：5.50）_正确答案：()解析：令矩阵 ，则 P -1 BP=diag(-2，1，1)， 于是
