1、考研数学二-266 及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设矩阵 B 的列向量线性无关，且 BA=C，则( )（分数：4.00）A.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性相关B.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的行向量线性相关C.若矩阵 A 的列向量线性无关，则矩阵 C 的列向量线性相关D.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性无关2.设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值全为 0，则( )（分数：4.00）A.A=0B.A 只有一个线性无关的特征向量C.A 不能与对角阵相似D.当 A 与对角
2、阵相似时，A=03.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 u=f(xz，yz，x)的所有二阶偏导数都连续，则 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x)在(-，+)上连续，其导函数的图形如右图所示，则 f(x)有( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.用定积分表示曲线(x 2+y2)2=x2-y2所围成的平面区域的面积 A 为( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.当 x0 时， ，则 为( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数
3、：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_12.摆线 （分数：4.00）填空项 1:_13.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A 为三阶矩阵，其特征值为 1=-2， 2= 3=1，其对应的线性无关的特征向量为 1， 2， 3，令P=(4 1， 2- 3， 2+2 3)，则 P-1(A*+3E)P 为 1（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 f(x)满足 xf“(x)+3xf(x)2=1-e-x() 若 f(x)在 x=x0点(x 00)取得极值，证明其为极小值；() 若 f(0)=
4、f(0)=0，证明：当 x0 时，有 （分数：11.00）_16.设 g(x)二阶可导，且 （分数：11.00）_17.设 a 为实数，问方程 ex=ax2有几个实根?（分数：11.00）_18.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得abe- = 2f()-f()（分数：11.00）_19.设函数 f(x)(x0)连续可导，且 f(0)=1又已知曲线 y=f(x)、x 轴、y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长相等，求 f(x)（分数：11.00）_20.计算
5、（分数：11.00）_21.设函数 f(t)在(0，+)内具有二阶连续导数，函数 满足 （分数：11.00）_22. （分数：11.00）_23.设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3是三维线性无关的向量组，且 A 1= 1+3 2，A 2=5 1- 2，A 3= 1- 2+4 3() 求矩阵 A 的特征值；() 求可逆 Q，使得 Q-1AQ 为对角阵（分数：11.00）_考研数学二-266 答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设矩阵 B 的列向量线性无关，且 BA=C，则( )（分数：4.00）A.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩
6、阵 A 的列向量线性相关B.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的行向量线性相关C.若矩阵 A 的列向量线性无关，则矩阵 C 的列向量线性相关D.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性无关 解析：设 B 为 mn 矩阵，A 为 ns 矩阵，则 C 为 ms 矩阵，且 r(B)=n因为 BA=C，所以 r(C)r(A)，r(C)r(B)若 r(C)=s，则 r(A)s，又 r(A)s，所以 r(A)=s，A 的列向量组线性无关，(A)不对；若 r(C)=s，则 r(A)=s，所以 A 的行向量组的秩为 s，故 ns若 ns，则 A 的行向量组线性相关，若n=s，则 A 的行
7、向量组线性无关，(B)不对；若 r(A)=s，因为 r(C)s，所以不能断定 c 的列向量组线性相关还是无关，(C)不对；若 r(C)=s，则 r(A)=s，选(D)2.设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值全为 0，则( )（分数：4.00）A.A=0B.A 只有一个线性无关的特征向量C.A 不能与对角阵相似D.当 A 与对角阵相似时，A=0 解析：若 A 的全部特征值皆为零且与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=*，于是 A=O，选(D)3.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：因为 f(0-O)=f(0)=f(0+0)=0，所以 f(x)在 x=0 处连续，又因为*
8、不存在，所以 f(x)在 x=0 处连续但不可导，选(B)4.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*所以*，故 f(x，y)在(0，0)处连续*，所以 fx(0，0)=0，同理 fy(0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导*所以 f(x，y)在(0，0)处不可微，选(C)5.设函数 u=f(xz，yz，x)的所有二阶偏导数都连续，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*6.设函数 f(x)在(-，+)上连续，其导函数的图形如右图所示，则 f(x)有( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：设导函数的图形与 X 轴的交点从左至右依次为 A、B、C，在点 A 左
9、侧 f(x)0，右侧 f(x)0所以点 A 为 f(x)的极大值点，同理可知点 B 与 C 都是 f(x)的极小值点关键是点 O 处，在它左侧f(x)O，右侧 f(x)O，而 f(x)在点 O 连续，所以点 O 也是 f(x)的极大值点(不论在 x=0 处 f(x)是否可导，见极值第一充分条件)，选(C)7.用定积分表示曲线(x 2+y2)2=x2-y2所围成的平面区域的面积 A 为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：双纽线(x 2+y2)2=x2-y2的极坐标方程形式为 r2=cos2，在第一卦限部分的区域可表示为*，根据对称性得 A=4A1，其中 A1为区域 D1的面积*8.当
10、 x0 时， ，则 为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：*10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*11.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*两边对 x 求偏导得*12.摆线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*13.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*14.设 A 为三阶矩阵，其特征值为 1=-2， 2= 3=1，其对应的线性无关的特征向量为 1，
11、 2， 3，令P=(4 1， 2- 3， 2+2 3)，则 P-1(A*+3E)P 为 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：因为 A 的特征值为 1=-2， 2= 3=1，所以 A*的特征值为 1=1， 2= 3=-2，A *+3E 的特征值为4，1，1，又因为 4 1， 2- 3， 2+2 3也为 A 的线性无关的特征向量，所以 4 1， 2- 3， 2+2 3也是 A*+3E 的线性无关的特征向量，所以*三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 f(x)满足 xf“(x)+3xf(x)2=1-e-x() 若 f(x)在 x=x0点(x 00)取得极值，证明其
12、为极小值；() 若 f(0)=f(0)=0，证明：当 x0 时，有 （分数：11.00）_正确答案：() 由 f(x)可导得 f(x0)=0，又*，无论 x00 或 x00，均有 f“(x0)0，所以该点为函数的极小点() *，令 F(x)=x-1+e-x，则 F(x)=1-e-x=*(x0)，所以 F(x)为增函数，从而 F(x)F(0)=0，故*，即 f“(x)*，积分得*，再积分得*，所以*)解析：16.设 g(x)二阶可导，且 （分数：11.00）_正确答案：() 当 f(x)在 x=0 处连续时，g(0)=1，*当 f(x)在 x=0 处连续时，a=g(0)*所以 f(x)在 x=0
13、 处连续)解析：17.设 a 为实数，问方程 ex=ax2有几个实根?（分数：11.00）_正确答案：(当 a=0 时，方程无解；当 a0 时，令*由 (x)=2xe x-x2e-x-x(2-x)e-x=0 得 x=0 或 x=2当 x0 时，(x)0；当 0x2 时，(x)0；当 x2 时，(x)0，于是*为极小值，*为极大值，又*1) 当 a0 时，：方程无解；2) *时，方程有两个根，分别位于(-，0)内及 x=2；3) 当*时，方程有三个根，分别位于(-，0)，(0，2)，(2，+)内；4) 当*时，方程只有一个根，位于(-，0)内)解析：18.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)
14、内可导(a0)，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得abe- = 2f()-f()（分数：11.00）_正确答案：(令*，由柯西中值定理，存在 (a，b)，*)解析：19.设函数 f(x)(x0)连续可导，且 f(0)=1又已知曲线 y=f(x)、x 轴、y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积与曲线 y=f(x)在0，x上的一段弧长相等，求 f(x)（分数：11.00）_正确答案：(曲线 y=f(x)、x 轴、y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的面积为*；曲线y=f(x)在0，x上的一段弧长为*，根据题意得*两边对 x 求导得*)解
15、析：20.计算 （分数：11.00）_正确答案：(由对称性得*令 D0:x2+(y+1)21，*)解析：21.设函数 f(t)在(0，+)内具有二阶连续导数，函数 满足 （分数：11.00）_正确答案：(*由 f(1)=1 得 C1=1，于是*，故 f(x)=lnx+C2，又由 f(1)=0 得 C2=0，故 f(x)=lnx)解析：22. （分数：11.00）_正确答案：(*1) 当 a-6，a+2b-40 时，因为*，所以 不可由 1， 2， 3线性表示；2) 当 a-6，a+2b-4=0 时，*， 可由 1， 2， 3唯一线性表示，表达式为 =2 1- 2+0 3；当 a=-6 时，*当
16、 a=-6，b5 时，*， 可由 1， 2， 3唯一线性表示，表达式为 =6 1+l 2+2 3；当 a=-6，b=5 时，*， 可由 1， 2， 3线性表示，表达式为 =(2k+2) 1+(k-1) 2+k 3，其中 k为任意常数)解析：23.设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3是三维线性无关的向量组，且 A 1= 1+3 2，A 2=5 1- 2，A 3= 1- 2+4 3() 求矩阵 A 的特征值；() 求可逆 Q，使得 Q-1AQ 为对角阵（分数：11.00）_正确答案：() 令 P=( 1， 2， 3)，因为 1， 2， 3线性无关，所以 P 可逆，因为 A 1= 1+3 2，A 2-5 1- 2，A 3= 1- 2+4 3，所以(A 1，A 2，A 3)=( 1+3 2，5 1- 2， 1- 2+4 3)，从而*得 A 的特征值为 1=-4， 2= 3=4() 因为，AB，所以 B 的特征值为 1=-4， 2= 3=4当 1=-4 时，由(-4E-B)X=0 得*当 2= 3=4 时，由(4E-B)X=0 得*令*因为 P-1AP=B，所以*取 Q=PP1=(- 1+ 2，5 1+3 2， 1+3 2)，则*)解析：
