1、考研数学二-265 及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时， 都是无穷小量，将它们按关于 x的阶数从低到高的顺序排列应该是（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在(-，+)有连续的二阶导数且满足：f(x+h)+f(x-h)= ，则（分数：4.00）A.B.C.D.5.累次积分 的值为（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 1， 2， 3， 4， 5是 4
2、维向量，下列命题中正确的是（分数：4.00）A.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0时，有 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0B.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么当 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0时，有 k1，k 2，k 3，k 4不全为0C.如果 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出，那么 1， 2， 3， 4必线性相关D.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出8.设 g(x)可微，f(x)=ln 2(1+g(x)+2ln(1+g(x)，f(1)=1，g(1)= ，则 g(1)
3、=（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.积分 （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 f(x)在(-，+)上连续，且 若常数 C0，使得（分数：4.00）填空项 1:_12.设 z=z(x，y)满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 y=y(x)是 y“+4y+4y=0满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A是 3阶矩阵，B 是 4阶矩阵，A *是 A的伴随矩阵，且 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15
4、.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0确定()求证：y(x)在 x=0取极值，并判断是极大值还是极小值，又判断曲线 y=y(x)在 x=0附近的凹凸性()求证：y(x)在 x=1某邻域是单调下降的（分数：10.00）_16.求证：不等式 （分数：10.00）_17.设 n为自然数， ，证明：()f(t)在0，+)取最大值并求出最大值点；() （分数：10.00）_18.求方程 2x2-9x2+12x-a=0不同实根的个数，其中 a为参数（分数：10.00）_19.求 f(x，y，z)=2x+2y-z 2+5在区域 ：x 2+y2+z22 上的最大值与最小值（分数：10.00
5、）_20.设 D由曲线 xy=2，y=x+1，y=x-1 围成，求二重积分（分数：10.00）_21.有一弹性轻绳(即本身的重量可忽略不计)上端固定，下端悬挂一重量为 3克的物体，且已知此绳受一克重量的外力作用时伸长 （分数：10.00）_22.设二次型矩阵 A满足 AB=0，其中 （分数：10.00）_23.设 A是 4阶非零矩阵， 1， 2， 3， 4是非齐次线性方程组 Ax=b的不同的解()如果 1， 2， 3线性相关，证明 1- 2， 1- 3也线性相关；()如果 1， 2， 3， 4线性无关，证明 1- 2， 1- 3， 1- 4是齐次方程组 Ax=0的基础解系（分数：10.00）_
6、考研数学二-265 答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时， 都是无穷小量，将它们按关于 x的阶数从低到高的顺序排列应该是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 分别考察 x0 时它们是 x的几阶无穷小*待定常数 n0 使得下面的极限*且不为 0*因此从低阶到高阶的排序是。f(x)，g(x)，h(x)应选(C)评注 (1)*(2)我们也可对 f(x)，g(x)，h(x)两两进行比较，看谁的阶数高，就要计算两个或三个*型极限如可算得*因此顺序是 f(x)，g(x)，h(x)2.设 （分数：4.00）A. B.C.D.
7、解析：分析 因为改变有限个点的函数值，则不改变函数的可积性与积分值，所以*是偶函数且处处连续，由变限积分函数的性质知*是奇函数且处处可导因此选(A)3.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 (A)是实对称矩阵，(D)有 3个不同的特征值，都可相似对角化，(B)和(C)矩阵的特征值分别是 2，2，0 和 2，2，1，特征值有重根易见秩*所以齐次方程组(2E-B)x=0 只有 1个线性无关的解，亦即 =2 只有个线性无关的特征向量故(B)不能相似对角化*，对 =2，矩阵 C有 2个线性无关的特征向量，所以(C)和对角矩阵相似4.设 f(x)在(-，+)有
8、连续的二阶导数且满足：f(x+h)+f(x-h)= ，则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析一 *2f(x)=f(x)解此微分方程得*常数代入原式得Ce2x+2h-Ce2x-2h=2Ce3x+2h*因此，选(A)分析二 将 f(x+h)+f(x-h)=f(x+h)两边对 h求导得f(x+h)-f(x-h)=f(x+h)*a(x+h)+b+a(x-h)+b=a即*因此选(A)5.累次积分 的值为（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析一 J 是二重积分*的一个累次积分，其中 D：*如图所示*现改换成先 y后 x的积分顺序得*分析二 用分部积分法求 J*6.设 （分数：4.00）A
9、.B.C. D.解析：分析 先考察*其中*因此，选(C)7.设 1， 2， 3， 4， 5是 4维向量，下列命题中正确的是（分数：4.00）A.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0时，有 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0B.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么当 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0时，有 k1，k 2，k 3，k 4不全为0C.如果 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出，那么 1， 2， 3， 4必线性相关 D.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出解析：分析 因为 1
10、， 2， 3， 4， 5是 5个 4维向量它必线性相关而当 1， 2， 3， 4线性无关时， 5必可由 1， 2， 3， 4线性表出现在 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出，所以 1， 2， 3， 4必线性相关即命题(C)正确按定义当 1， 2， 3， 4线性相关时，存在不全为 0的 k1，k 2，k 3，k 4，使k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，不是对任意不全为 0的 k1，k 2，k 3，k 4均有 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，故命题(A)不正确因为 0 1+0 2+0 3+0 4=0恒成立，所以命题(B)不正确当 1， 2， 3， 4线性无关时， 5一定能
11、由 1， 2， 3， 4线性表出，当 1， 2， 3， 4线性相关时， 5也有可能由 1， 2， 3， 4线性表出(例如 5= 1)，故命题(D)不正确8.设 g(x)可微，f(x)=ln 2(1+g(x)+2ln(1+g(x)，f(1)=1，g(1)= ，则 g(1)=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 按题设*评注 方程 x=ln(1+x)有唯一解 x=0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *10.积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *因此*11.设函数 f(x)在
12、(-，+)上连续，且 若常数 C0，使得（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 分别求出左、右端极限，得 C满足等式，解出 C即可*由*12.设 z=z(x，y)满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y 2+xy+1）解析：分析 *13.设 y=y(x)是 y“+4y+4y=0满足 y(0)=0，y(0)=1 的解，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 特征方程 2+4+4=0，特征根 1= 2=-2，方程的通解为y=e-2x(C1x+C2)方法一 由初条件 y(0)=C2=0，y(0)=C 1=1*方法二由通解表达式易知，总有*
13、因此对原方程两边求积分得*再由初值得*14.设 A是 3阶矩阵，B 是 4阶矩阵，A *是 A的伴随矩阵，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0确定()求证：y(x)在 x=0取极值，并判断是极大值还是极小值，又判断曲线 y=y(x)在 x=0附近的凹凸性()求证：y(x)在 x=1某邻域是单调下降的（分数：10.00）_正确答案：(分析与证明 ()在方程中令*将方程两边对 x求导两次得eyy+6xy+6y+2x=0 eyy“+eyy2+6xy“+12y+2=0
14、 将 x=0，y=0 代入得 y(0)=0，再以 x=0，y=0，y=0 代入得 y“(0)=-2因此 y(x)在 x=0取极值，并取极大值由方程知，y(x)有二阶连续导数由 y“(x)的连续性知存在 x=0的一个邻域，在此邻域 y“(x)0，即曲线y=y(x)在点(0，0)附近是凸的()在原方程中令 x=1得 ey(1)+6y(1)=0*再由 y的连续性知，存在 x=1的一个邻域，在此邻域 y(x)0，即 y(x)在此邻域单调下降)解析：16.求证：不等式 （分数：10.00）_正确答案：(分析与证明 *注意 g(0)=0，且g(x)=4e2x+5(e2x+x)+(5x-3)(2e2x+1)
15、=10x(e2x+1)+3(e2x-1)0(x0)*0单调增加，由此可得对 x0，有 g(x)g(0)=0 从而 f(x)0，当 x0 时成立，于是可得 f(x)当x0 时单调增加，*当 x0 时成立，移项得原不等式成立)解析：17.设 n为自然数， ，证明：()f(t)在0，+)取最大值并求出最大值点；() （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 ()求 f(x)，考察 f(x)的单调性区间*当 x1 时仅当 x=k(k=1，2，)时 f(x)=0于是，*因此，x=1 是 f(x)在0，+)的最大值点，且*()*)解析：18.求方程 2x2-9x2+12x-a=0不同实根的个数，其中
16、a为参数（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 用单调性分析方法令 f(x)=2x3-9x2+12x-a讨论方程 f(x)=0的实根个数即讨论函数 f(x)的零点的个数先考察 f(x)的单调性区间及极值点求导得f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)*于是 f(x)的单调性区间与极值点可列成下表：*又求得*讨论 f(x)的零点个数，就是在每个单调性区间上用连续函数的零点存在性定理讨论 f(x)是否存在零点，这取决于极值 5-a，4-a 的正负号这依赖于 a的取值范围当 a5 时，极大值 f(1)=5-a0，极小值 f(2)=4-a0于是 f(x)只有一个零点(位于(2，+)
17、区间)见图。(1)*当 a=5时，极大值 f(1)=5-a=0，极小值 f(2)=4-=-10于是 f(x)只有两个零点(一个是 x=1，另一个位于(2，+)区间)见图(2)当 4a5 时，极大值 f(1)=5-a0，极小值 f(2)=4-a0于是 f(x)恰有三个零点(分别位于区间(-，1)，(1，2)，(2，+)见图(3)当 a=4时，极大值 f(1)=5-4=10，极小值，(2)=4-4=0于是 f(x)也只有两个零点(一个是 x=2,一个位于(-，1)区间)见图(4)*当 a4 时，极大值 f(1)=5-a0，极小值 f(2)=4-a0于是 f(x)只有一个零点(位于(-，1)区间)见
18、图(5)*综上所述：当 a5 或 a4 时方程只有一个实根当日=5 或 a=4时方程恰有两个不同的实根当4a5 时方程恰有三个不同的实根)解析：19.求 f(x，y，z)=2x+2y-z 2+5在区域 ：x 2+y2+z22 上的最大值与最小值（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 f(x，y，z)在有界闭区域 上连续，一定存在最大、最小值第一步，先求 f(x，Y，z)在 内的驻点由于*在 内无驻点因此 f(x，y，z)在 的最大、最小值只能在 的边界上达到第二步，求 f(x，y，z)在 的边界 x2+y2+z2=2上的最大、最小值，即求 f(x，y,z)在条件 x2+y2+z2-2=0
19、下的最大、最小值令F(x，y，z，)=2x+2y-z 2+5+(x 2+y2+z2-2)，解方程组*y=1，z=0当 =1 时，由，也得 x=y=-1，z=0因此得驻点P1(-1，-1，0)，P 2(1，1，0)计算得知，f(P 1)=1，f(P 2)=5因此厂(z，y，z)在 的最大值为 5，最小值为 1)解析：20.设 D由曲线 xy=2，y=x+1，y=x-1 围成，求二重积分（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 D 关于直线 y=x对称*又 D关于原点对称，*xy=2(y0)分别与 y=z+1，y=x-1 交于(1，2)，(2，1)y=x+1，y=x-1 分别与 x轴交于(-1
20、，0)，(1，0)于是*)解析：21.有一弹性轻绳(即本身的重量可忽略不计)上端固定，下端悬挂一重量为 3克的物体，且已知此绳受一克重量的外力作用时伸长 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移 S向下为正(1)受力分析弹性恢复力 f=ks，由条件知，*g 为重力加速度重力 mg=3g(2)列方程与初始条件由牛顿第二定律得*初始条件：*(3)转化按题意，我们需求物体速度*的关系*于是方程改写为*初条件为*(4)求解初值问题*分离变量得vdv=(g-8gs)ds积分得*(5)结论当物体开始向下运动到它开始向上运动时，此时速度 v=0，故有0
21、=gs-4gs2*)解析：22.设二次型矩阵 A满足 AB=0，其中 （分数：10.00）_正确答案：()AB=O 和 =0 是矩阵 A的特征值且矩阵 B的列向量(1，0，1) T是矩阵 A属于特征值 =0的特征向量故有*由矩阵 A的特征多项式*得矩阵 A的特征值为：6，0，-6由(6E-A)x=0 得矩阵 A属于特征值 6的特征向量为(1，2，-1) T由(-6E-A)x=0 得矩阵 A属于特征值-6 的特征向量为(-1，1，1) T实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，单位化有*那么令*则有*()不合同，因为*它们的正负惯性指数不一样，所以不合同)解析：23.设 A是 4阶非零矩阵， 1，
22、 2， 3， 4是非齐次线性方程组 Ax=b的不同的解()如果 1， 2， 3线性相关，证明 1- 2， 1- 3也线性相关；()如果 1， 2， 3， 4线性无关，证明 1- 2， 1- 3， 1- 4是齐次方程组 Ax=0的基础解系（分数：10.00）_正确答案：()因为 1， 2， 3线性相关，故有不全为 0的 k1，k 2，k s使得 k1 1+k2 2+k3 3=0，那么(k1+k2+k3) 1=k2( 1- 2)+k3( 1- 3)因为 1- 2， 1- 3是齐次方程组 Ax=0的解，而 1是非齐次方程组 Ax=b的解，所以 1不能由 1- 2， 1- 3线性表出，故必有 k1+k
23、2+k3=0从而 k2( 1- 2)+k3( 1- 3)=0此时必有 k2，k 3不全为 0(否则 k1，k 2，k 3全为 0)，即 1- 2， 1- 3线性相关()由方程组的性质知 1- 2， 1- 3， 1- 4是 Ax=0的解当 k1( 1- 2)+k2( 1- 3)+k3( 1- 4)=0时即(k 1+k2+k3) 1-k1 2-k2 3-k3 4=0因为 1， 2， 3， 4线性无关，故*即必有 k1=k2=k3=0从而 1- 2， 1- 3， 1- 4是 AX=0的3个线性无关的解那么 n-r(A)3 即 r(A)1，又 A0 有 r(A)1，从而 r(A)=1因此 1- 2， 1- 3， 1- 4是 Ax=0的基础解系)解析：
