1、考研数学二-263 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)三阶导数连续，其图形如下图所示，则必有 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在 x=0处存在 3阶导数，且 （分数：4.00）A.x=0是 f(x)的极小值点B.x=0是 f(x)的极大值点C.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凹的，右侧邻域是凸的D.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凸的，右侧邻域是凹的3.设 g(x)在 x=x 0 的某邻域内有定义，f(x)=|x-x 0 |g(x)在 x=x 0 处可导的
2、充要条件是 Ag(x 0 )=0 B （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)在a,b上满足：f(a)=f(b)=0；f“(x)+f“(x)g(x)-f(x)=0，其中连续函数 g(x)为a，b上有定义的某个已知函数则 f(x)在a，b上（分数：4.00）A.必大于 0B.必小于 0C.必恒为 0D.正负不确定5.曲线 （分数：4.00）A.2条B.3条C.4条D.5条6.设 f(u)具有二阶连续导数，且 则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 4阶行列式的第 2列元素依次为 2，a 22 ，a 32 ，3，第 2列元素的余子式依次为 1，-1，1，-1，第
3、4列元素的代数余子式依次为 3，1，4，2，且行列式的值为 1，则 a 22 ，a 32 的取值为 Aa 22 =-4，a 32 =-2 Ba 22 =4，a 32 =-2 C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A，B 均是 n阶非零矩阵，已知 A 2 =A，B 2 =B，且 AB=BA=O则下列 3个说法： 0 未必是 A和 B的特征值； 1 必是 A和 B的特征值； 若 a是 A的属于特征值 1的特征向量，则 必是 B的属于特征值 0的特征向量，正确说法的个数为（分数：4.00）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y“前的系数为 1
4、的某二阶常系数线性非齐次微分方程的两个特解分别为 与 （分数：4.00）10.设常数 a0 且 a1，则 （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.设直角坐标系下的曲线 y=y(x)由极坐标式 r=a(1+cos)给出，其中常数 a0，则该曲线在其极坐标点 （分数：4.00）13.极坐标曲线 （分数：4.00）14.若实对称矩阵 A与矩阵 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=0处连续且 （分数：10.00）_设数列x n 满足 0x 1 1， （分数：10.00）(1).证明：当 0x1 时，ln(1+x)xe x -1；（分数：5.0
5、0）_(2).证明： （分数：5.00）_(1).设 f(x)在a，b上非负连续且不恒为零，证明：必有 （分数：5.00）_(2).是否存在0，2上的可导函数 f(x)，满足 （分数：5.00）_16.设 y=y(x)是区间(-,)内过点 （分数：10.00）_设一长度为 1的非均匀细直杆，其上一点 x0，1处的线密度分布函数 =(x)，满足关系式：(0)=0，“(1)=1，当 =(xyz)时， （分数：11.00）(1).(x)；（分数：5.50）_(2).此细直杆的质心（分数：5.50）_17.求函数 f(x，y)=x 2 +y 2 -12x+16y在区域 D=(x,y)|x 2 +y 2
6、 25上的最大值和最小值 （分数：10.00）_18.求 （分数：11.00）_19.设 （分数：11.00）_20.设 A为 n阶正定矩阵， 1 ， 2 ， n 为 n维非零列向量，且满足 i T A -1 a j =0(ij；i，j=1，2，n)试证：向量组 1 ， 2 ， n 线性无关. （分数：11.00）_考研数学二-263 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)三阶导数连续，其图形如下图所示，则必有 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 为曲线 y=f(x)与 x=1，x=10，x 轴
7、所围面积，显然 由图可知 f“(10)=0，f“(1)0，故 由图可知，f“(10)0，f“(1)0，故 因此只有 D 2.设 f(x)在 x=0处存在 3阶导数，且 （分数：4.00）A.x=0是 f(x)的极小值点B.x=0是 f(x)的极大值点C.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凹的，右侧邻域是凸的D.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凸的，右侧邻域是凹的 解析：解析 分母用等价无穷小替换，分子用带佩亚诺余项的泰勒公式展开： 若 f(0)0，则上式右边趋于，与题设极限等于 a不符，故 f(0)=0进一步经类似讨论可知 f“(0)=0，f“(0)=0，f“(0)=
8、2a0从而由 f“(0)的定义知， 由保号性知，存在 x=0的去心邻域 当 且 x0 时，f“(x)0；当 且 x0 时 f“(x)0故知选 D 为什么不选 A或 B这是因为，由 f(0)=f“(0)=f“(0)=0，所以 3.设 g(x)在 x=x 0 的某邻域内有定义，f(x)=|x-x 0 |g(x)在 x=x 0 处可导的充要条件是 Ag(x 0 )=0 B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 所以 4.设函数 f(x)在a,b上满足：f(a)=f(b)=0；f“(x)+f“(x)g(x)-f(x)=0，其中连续函数 g(x)为a，b上有定义的某个已知函数则 f(x)在a，
9、b上（分数：4.00）A.必大于 0B.必小于 0C.必恒为 0 D.正负不确定解析：解析 假设 f(x)在a,b上不恒为零，则必存在 x 0 (a，b)，使 f(x 0 )0不妨设 f(x 0 )0，则 f(x)在a，b上必有最大值 f()=M0，(a，b)，从而根据极值的必要条件应有 f“()=0于是 f“()=f()-f“()g()=M0，从而根据极值的充分条件知 应为函数 f(x)的极小值点，于是得到矛盾所以 f(x)在a，b上必恒为零.故选 C5.曲线 （分数：4.00）A.2条B.3条 C.4条D.5条解析：解析 有三个间断点，其中 x=1是无穷间断点，曲线有两条铅直的渐近线x=0
10、 非无穷间断点 6.设 f(u)具有二阶连续导数，且 则 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 所以 7.设 4阶行列式的第 2列元素依次为 2，a 22 ，a 32 ，3，第 2列元素的余子式依次为 1，-1，1，-1，第4列元素的代数余子式依次为 3，1，4，2，且行列式的值为 1，则 a 22 ，a 32 的取值为 Aa 22 =-4，a 32 =-2 Ba 22 =4，a 32 =-2 C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由行列式展开定理及推论，得 即 8.设 A，B 均是 n阶非零矩阵，已知 A 2 =A，B 2 =B，且 AB=BA=O
11、则下列 3个说法： 0 未必是 A和 B的特征值； 1 必是 A和 B的特征值； 若 a是 A的属于特征值 1的特征向量，则 必是 B的属于特征值 0的特征向量，正确说法的个数为（分数：4.00）A.0个B.1个C.2个 D.3个解析：解析 A 是 n阶非零矩阵，设 是 A的特征值， 是对应的特征向量，则 A=因为 A 2 =A，于是 A 2 =A， 2 =，( 2 -)=0由于 0，故有 2 -=0，所以 =1 或 0 又由于 A 2 =A，即(E-A)A=O，且 AO，所以齐次线性方程组(E-A)x=0 有非零解从而，|E-A|=0，故知=1 是 A的特征值，又因为 AB=O，BO，所以齐
12、次线性方程组 Ax=0有非零解由此可知，|A|=0，故=0 也是 A的特征值 同样可证，矩阵 B的特征值必是 1和 0 由于 1是 A的特征值， 是对应的特征向量，则有 A=两边同时左乘矩阵 B，得 B-B(A)=(BA) 因为 BA=O，所以 B=0=0 由此可知，若 是 A的属于特征值 1的特征向量，则 必是 B的属于特征值 0的特征向量二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y“前的系数为 1的某二阶常系数线性非齐次微分方程的两个特解分别为 与 （分数：4.00）解析：y“-2y“+y=2e x 解析 法一 为对应的二阶常系数线性齐次微分方程的一个解由二阶常系数线性齐次微分方程
13、的特解与对应的特征根的对应关系，推知 r=1为该二阶常系数线性齐次微分方程对应的特征方程的二重根，于是特征方程为 (r-1) 2 =r 2 -2r+1=0， 对应的齐次微分方程为 y“-2y“+y=0 由 知，此非齐次微分方程的形式为 y“-2y“+y=Ae x ， 其中常数 A待定，以 代入，得 x 2 e x +4xe x +2e x -2(x 2 e x +2xe x )+x 2 e x =Ae x ， 所以 A=2以上填的即为所求 法二 设所求微分方程为 y“+by“+cy=(Ax 2 +Bx+C)e x 以解 代入，得恒等式 (1+b+c)x 2 +(3+b-c)x+(1+c)=Ax
14、 2 +Bx+C， 得 1+b+c=A，3+b-c=B，1+c=C 再以解 10.设常数 a0 且 a1，则 （分数：4.00）解析：-ln a解析 11. （分数：4.00）解析： 解析 而 所以 12.设直角坐标系下的曲线 y=y(x)由极坐标式 r=a(1+cos)给出，其中常数 a0，则该曲线在其极坐标点 （分数：4.00）解析： 解析 将极坐标方程化成以 为参数的参数方程 当 时， 切点 切线方程为 即 13.极坐标曲线 （分数：4.00）解析： 解析 曲线在直角坐标系下以 为参数的参数方程为 所以有 14.若实对称矩阵 A与矩阵 （分数：4.00）解析： 解析 若 则二次型 x T
15、 Ax与 x T Bx有相同的规范形由矩阵 B的特征多项式 得矩阵 B的特征值 1 =0， 2 =30， 3 =10故 x T Ax的规范形为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=0处连续且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因题设 所以 从而 f(x)=ln(ax+cos x-sin x) 题设 f(x)在 x=0处连续，所以 设数列x n 满足 0x 1 1， （分数：10.00）(1).证明：当 0x1 时，ln(1+x)xe x -1；（分数：5.00）_正确答案：()解析：证 记 F 1 (x)=ln(1+x)-x，则 (2).证明： （分
16、数：5.00）_正确答案：()解析：证 当 0x1 时， ln(1+x)xe x -1 由 0x 1 1，可知 从而 0x 2 1同理可证当 0x k 1 时，x k+1 同样满足 0x k+1 1，由数学归纳法知对一切n=1，2，有 0x n 1，即数列x n )是有界的 又当 0x n 1 时， 即x n 单调减少 由单调有界准则知 存在将该极限值记为 a，则 a0 对 两边取极限，得 ln(1+a)=e a -1 设 f(x)=e x -1-ln(1+x)，当 0x1 时， 因此 f(x)单调增加由 f(0)=0，可知 f(x)0，从而只有 a=0，即 (1).设 f(x)在a，b上非负
17、连续且不恒为零，证明：必有 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 由题意 f(x)0，xa，b，则 使 f(x 0 )0， 从而 f(x 0 )0，又由连续性可得， 使得对 xa，b，当 0|x-x 0 | 时，恒有 f(x)0 于是 (2).是否存在0，2上的可导函数 f(x)，满足 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设在0,2上存在连续可微的函数 f(x)满足题设条件，则在0，1上，对 由拉格朗日中值定理得 f(x)-f(0)=f“( 1 )(x-0)， 即 f(x)=1+f“( 1 )x， 利用|f“(x)|1 得 1-xf(x) (x(0，1)， 由题设 f(0)=1知
18、，这一不等式成立范围可扩大为 x0，1 同样，在1，2上，对 由拉格朗日中值定理得 f(x)-f(2)=f“( 2 )(x-2)， 即 f(x)=1+f“( 2 )(x-2)， 利用|f“(x)|1 得 1+(x-2)f(x)， 即 x-1f(x) (x1，2) 由题设 f(2)=1知，这一不等式成立范围可扩大为 x1，2 这与 f(x)所满足的 16.设 y=y(x)是区间(-,)内过点 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 当-x0 时，设(x，y)为曲线上任一点，由导数的几何意义，法线斜率为 由题意，法线斜率为 所以有 分离变量，解得 x 2 +y 2 =C，由初始条件 所以 当
19、 0x 时，y“+y+x=0 的通解为 y=C 1 cos x+C 2 sin x-x， y“=-C 1 sin x+C 2 cos x-1 因为曲线 y=y(x)光滑，所以 y(x)连续且其导函数也连续，由式知 代入、式，得 C 1 =，C 2 =1，故 y=cos x+sin x-x，0x 综上，知 设一长度为 1的非均匀细直杆，其上一点 x0，1处的线密度分布函数 =(x)，满足关系式：(0)=0，“(1)=1，当 =(xyz)时， （分数：11.00）(1).(x)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 u=(xyz)，u“ x =yz“,u“ xy =zp“+xyz 2 p“，
20、 u“ xyz =“+3xyz“+x 2 y 2 z 2 “. 由已知等式得 3xyz“+“=0，记 xyz=t，即 3t“(t)+“(t)=0 故 即 由 “(1)=1 得 C=1. 即 (2).此细直杆的质心（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 对原点的静矩 细棒质量 质心 17.求函数 f(x，y)=x 2 +y 2 -12x+16y在区域 D=(x,y)|x 2 +y 2 25上的最大值和最小值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 解得 点(6，-8)不在区域 D内，所以在 D内无极值点又闭区域上的连续函数必有最大值和最小值，因此，最大值和最小值只能在边界 x 2
21、+y 2 =25上取得 在边界 x 2 +y 2 =25上，f(x，y)=25-12x+16y 设 L(x，y，z)=25-12x+16y+(x 2 +y 2 -25)， 令 解得 18.求 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 作出 D的平面图形如图因积分区域关于原点 O对称，被积函数又是 z与 y的偶函数，故 这里 于是 19.设 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由题设得 又由于 A 2 = T T =( T ) T =2A，A 4 =8A代入原方程，得 16AC=8AC+16C+， 8(A-2E)C= 其中 E是 3阶单位矩阵，令 C=(x 1 ，x 2 ，x 3
22、) T ，代入上式，得非齐次线性方程组 解其对应的齐次线性方程组，得通解 =k(1，2，1) T (k为任意常数) 显然，非齐次线性方程组的一个特解为 因此，所求方程的解为 20.设 A为 n阶正定矩阵， 1 ， 2 ， n 为 n维非零列向量，且满足 i T A -1 a j =0(ij；i，j=1，2，n)试证：向量组 1 ， 2 ， n 线性无关. （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 设有数 k 1 ，k 2 ，k n ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0 在上式两边左乘 i T A -1 ，由 i T A -1 j =0(ij；i,j=1，2，n)，可得 k i i T A -1 i =0(i=1，2，n) 因 A为正定矩阵，则 A -1 也为正定矩阵，且 i 0，故 i T A -1 i 0于是，k i =0(i=1，2，n)所以向量组 1 ， 2 ， n 线性无关
