1、考研数学二-262 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条2.设以下的 A、B、C 为某些常数，微分方程 y“+2y“-3y=e x sin 2 x 有特解形如（分数：4.00）A.ex(A+Bcos 2x+Csin 2x)B.ex(Ax+Bcos 2x+Csin 2x)C.ex(A+Bxcos 2x+Cxsin 2x)D.xex(A+Bcos 2x+Csin 2x)3.设 f(x)在 x=a 处连续且 （分数：4.00）A.f(x)不可导，但|f(x)|可导B.f(x
2、)不可导，且|f(x)|也不可导C.f(x)可导，且 f“(a)=0D.f(x)可导，但对不同的 f(x)，f“(a)可以等于 0，也可以不等于 04.下列结论正确的是（分数：4.00）A.z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数存在，则 z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续B.z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内连续，则 z=f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在C.z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数存在且有界，则 z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续D.z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内连续，则 z=f(x，y)在点(x0，y0)
3、该邻域内两个偏导数有界5.设 f(x,y)在点 0(0，0)的某邻域 U 内连续，且 常数 （分数：4.00）A.点(0，0)不是 f(x，y)的极值点B.点(0，0)是 f(x，y)的极小值点C.点(0，0)是 f(x，y)的极大值点D.所给条件还不足以确定点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点6.设 f(x，y)为连续函数，交换累次积分 的次序为先-x 后 y 成为 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 3 阶矩阵 A 有 3 个互不相同的特征值 1 ， 2 和 3 ，其对应的特征向量分别为 1 ， 2 和 3 则向量组 1 、A( 1 + 2 )、A 2 ( 1 +
4、 2 + 3 )线性无关的充要条件是（分数：4.00）A.120B.130C.230D.12308.设 A 为 n 阶矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解，则（分数：4.00）A.A*x=0 的解均是 Ax=0 的解B.Ax=0 的解均是 A*x=0 的解C.Ax=0 与 A*x=0 无非零公共解D.Ax=0 与 A*x=0 仅有两个非零公共解二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）10.设 则 （分数：4.00）11.已知曲线 y=ax 2 与 y=ln x 正好有 2 个不同的交点，则常数 a 的取值范围是 1 （分数：4.
5、00）12.设 为 f(x)=arcsin x 在区间0，b上使用拉格朗日中值公式中的 ，则 （分数：4.00）13. （分数：4.00）14.若二次型 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_16.设 （分数：10.00）_设 x=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x+y，x-y)满足微分方程 （分数：10.00）(1).求 z=z(u,v)所满足关于 u、v 的微分方程；（分数：5.00）_(2).由上题求出 x=z(x+y，x-y)的一般表达式（分数：5.00）_设 f(x)在区间0，1上连续（分数：10.00）(1).证明：
6、存在 (0，1)，使 （分数：5.00）_(2).若进一步设当 x0,1时 f(x)0 且单调减少，证明：这种 是唯一的（分数：5.00）_(1).设 x0，y0，z0，求函数 f(x,y,z)=xyz 3 在约束条件 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (R0 为常数)下的最大值；（分数：5.00）_(2).由上题的结论证明：当 a0，b0，c0 时，下述不等式成立： （分数：5.00）_17.求一条凹曲线，已知其上任意一点处的曲率 其中 a 为该曲线上在相应的点处的切线的倾角，cos 0并设该曲线在点(3，2)处的切线的倾角为 （分数：11.00）_(1).设平面区域 D=(x，y)|
7、0x2，0y2，求二重积分 （分数：5.50）_(2).设 f(x，y)在上述 D 上连续，且 （分数：5.50）_设 n 阶矩阵 A、B 乘积可交换， 1 ， r1 、 1 ， r2 分别是方程组 Ax=0 与 Bx=0 的 一个基础解系，且对于 n 阶矩阵 C、D，满足 r(CA+DB)=n（分数：11.00）(1).证明： （分数：5.50）_(2).证明： 1 ， r1 、 1 ， r2 是方程组 ABx=0 的一个基础解系（分数：5.50）_18.设 n 阶矩阵 （分数：11.00）_考研数学二-262 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数
8、：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条 解析：解析 所以 x=0 是一条铅直渐近线 所以 y=0 是 x+方向的一条水平渐近线 2.设以下的 A、B、C 为某些常数，微分方程 y“+2y“-3y=e x sin 2 x 有特解形如（分数：4.00）A.ex(A+Bcos 2x+Csin 2x)B.ex(Ax+Bcos 2x+Csin 2x) C.ex(A+Bxcos 2x+Cxsin 2x)D.xex(A+Bcos 2x+Csin 2x)解析：解析 对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e -3x ， 自由项为 所对应的特解形式为 自由
9、项为 所对应的特解形式为 因此本题所对应的特解形式为 3.设 f(x)在 x=a 处连续且 （分数：4.00）A.f(x)不可导，但|f(x)|可导B.f(x)不可导，且|f(x)|也不可导C.f(x)可导，且 f“(a)=0 D.f(x)可导，但对不同的 f(x)，f“(a)可以等于 0，也可以不等于 0解析：解析 由 存在知 所以 再由 f(x)在 x=a 处连续，故 f(a)=0于是 当 xa + 时， 当 xa - 时， 所以 A=0，即有 以下证明 事实上， 在 x=a 的去心邻域内， 有界(只是+1 或-1)，而 所以 所以 4.下列结论正确的是（分数：4.00）A.z=f(x，y
10、)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数存在，则 z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续B.z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内连续，则 z=f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在C.z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数存在且有界，则 z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续 D.z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内连续，则 z=f(x，y)在点(x0，y0)该邻域内两个偏导数有界解析：解析 二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系设在(x 0 ，y 0 )某邻域 U 内，对于任意(x，y)U 有|f“ x (x,y)|M，|f“ y (x，y)|M(M
11、为正常数) 由微分中值定理， |f(x，y)-f(x 0 ，y 0 )|f(x，y)-f(x，y 0 )|+|f(x，y 0 )-f(x 0 ，y 0 )| =|f“ y (x，y 0 + 1 y)y|+|f“ x (x 0 + 2 x，y 0 )x| M(|x|+|y|). 这里 x=x-x 0 ，y=y-y 0 ，0 1 ， 2 1 当 5.设 f(x,y)在点 0(0，0)的某邻域 U 内连续，且 常数 （分数：4.00）A.点(0，0)不是 f(x，y)的极值点B.点(0，0)是 f(x，y)的极小值点 C.点(0，0)是 f(x，y)的极大值点D.所给条件还不足以确定点(0，0)是否
12、为 f(x，y)的极值点解析：解析 由 于是有 于是知，存在点 0(0，0)的一个去心邻域 当 时，f(x，y)0，且 6.设 f(x，y)为连续函数，交换累次积分 的次序为先-x 后 y 成为 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 在区间0，2上， 的上限 sin x 并不总大于或者等于下限 0所以 只是一个累次积分，而不是一个二重积分所以应先变形，化成两个二重积分： 交换积分次序， 7.设 3 阶矩阵 A 有 3 个互不相同的特征值 1 ， 2 和 3 ，其对应的特征向量分别为 1 ， 2 和 3 则向量组 1 、A( 1 + 2 )、A 2 ( 1 + 2 +
13、3 )线性无关的充要条件是（分数：4.00）A.120B.130C.230 D.1230解析：解析 令 k 1 1 +k 2 A( 1 + 2 )+k 3 A 2 ( 1 + 2 + 3 )=0， 得 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，故式成立的充要条件是 故使 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关的充要条件是上面关于 k 1 ，k 2 ，k 3 的齐次 方程组只有零解即系数行列式 8.设 A 为 n 阶矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解，则（分数：4.00）A.A*x=0 的解均是 Ax=0 的解B.Ax=0 的解均
14、是 A*x=0 的解 C.Ax=0 与 A*x=0 无非零公共解D.Ax=0 与 A*x=0 仅有两个非零公共解解析：解析 因为齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解向量，所以方程组 Ax=0 的基础解系所含向量个数 n-r(A)2，于是，r(A)n-2，由此得知 A * =0任意 n 维列向量均是方程组 A * x-0 的解因此，方程组 Ax=0 的解均是 A * x=0 的解，选项 B 是正确的选项 A 显然不对 对于选项 C、D，由于方程组 Ax=0 的基础解系至少含有两个解向量，故 Ax=0 有无穷多个非零解与 A * x=0 的公共解也是有无穷多个非零解显然 C、D 不正确二、
15、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）解析：-1 解析 所以 所以 由题设知 10.设 则 （分数：4.00）解析： 解析 法一 交换累次积分的次序， 法二 用分部积分， 11.已知曲线 y=ax 2 与 y=ln x 正好有 2 个不同的交点，则常数 a 的取值范围是 1 （分数：4.00）解析： 解析 令 f(x)=ax 2 -ln x，可知 f(x)的定义域为 x0 若 a0，则 f“(x)0，f(x)单调，至多只有一个零点故以下讨论 a0 令 f“(x)=0，求得定义域内唯一驻点 所以 若 则 f(x)无零点或一个零点舍去 若 即 在区间 内 f(x)严格单调
16、减，在区间 内 f(x)严格单调增，且 在区间 与区间 各正好一个零点，共两个零点故 a 的取值范围为 12.设 为 f(x)=arcsin x 在区间0，b上使用拉格朗日中值公式中的 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 解得 则 13. （分数：4.00）解析：1 解析 作变量变换 tan =t，有 14.若二次型 （分数：4.00）解析：-2 解析 二次型 f 的矩阵 二次型 f 的正惯性指数 p=1，负惯性指数 r-p=1所以矩阵 A 的秩 r(A)=r=2有 |A|=-(a-1) 2 (a+2)=0， 则 a=1 或 a=-2 当 a=1 时，r(A)=1，不合题意，舍去当 a=-2
17、 时，r(A)=2，且 A 的特征多项式 A 的特征值 1 =3， 2 =-3， 3 =0故二次型 f 的规范形为 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 f“(0)的定义， 当 x0 时，有 所以 16.设 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 对第二个积分作变量变换 t=-u，有 所以当 0x1 时 F“(x)0；当-1x0 时 F“(x)0所以在区间-1，0内 F(x)严格单调减，在区间0，1内 F(x)严格单调增 又 设 x=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x+y，x-y)满足微分方程 （分数：10.00
18、）(1).求 z=z(u,v)所满足关于 u、v 的微分方程；（分数：5.00）_正确答案：()解析：u=x+y,v=x-y，得 所以原式经变换后成为 (2).由上题求出 x=z(x+y，x-y)的一般表达式（分数：5.00）_正确答案：()解析：由 所以 再积分 设 f(x)在区间0，1上连续（分数：10.00）(1).证明：存在 (0，1)，使 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 记 有 (0)=(1)=0由罗尔定理知，存在 (0，1)，使 即 (2).若进一步设当 x0,1时 f(x)0 且单调减少，证明：这种 是唯一的（分数：5.00）_正确答案：()解析：设存在 (0，1)，
19、(0，1)，不妨设 ，使 两式相减，于是有 因为 f(x)单调减少，所以当 时 f()-f()0又因 f(x)0，所以 f()0 (*)的右边小于 0，而左边 (1).设 x0，y0，z0，求函数 f(x,y,z)=xyz 3 在约束条件 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 (R0 为常数)下的最大值；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由拉格朗日乘数法，作函数 F(x，y，z，)-xyz 3 +(x 2 +y 2 +z 2 -5R 2 )， 有 即 由第 1、第 2 两式，得 (x-y)=0若 =0，则有 xyz=0，与题设条件 x0，y0，z0 不符故得x=y，于是得 于是得
20、3x 2 -z 2 =0 及 2x 2 +z 2 =5R 2 ， 从而得唯一的一组解： x=R， y=R， 此时对应的 f(x，y，z)=xyz 3 在约束条件 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 下达到最大： (2).由上题的结论证明：当 a0，b0，c0 时，下述不等式成立： （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 由上题有：当 x 2 +y 2 +z 2 =5R 2 且 x0，y0，z0 时， 即 令 a=x 2 ，b=y 2 ，c=z 2 ，有 17.求一条凹曲线，已知其上任意一点处的曲率 其中 a 为该曲线上在相应的点处的切线的倾角，cos 0并设该曲线在点(3，2)处的切线
21、的倾角为 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由曲率计算公式以及曲线凹向可知 y“0，故 因为 因此得微分方程 整理得 2y 2 y“=(1+y“ 2 ) 2 此为 y“=f(y,y“)型方程令 于是上述微分方程化为 分离变量得 两边积分，得 y=(p 2 +1)+C 1 y(p 2 +1). 由于曲线在点(3,2)处切线倾角为 故 y(3)=2，y“(3)=1有 2=2+4C 1 ，C 1 =0 于是有 (因 y“在 y=2 时为 1，故“”取“+”) 再分离变量积分得 再由 y(3)=2，得 C 2 =-1有 (1).设平面区域 D=(x，y)|0x2，0y2，求二重积分 （分数
22、：5.50）_正确答案：()解析：解 由于被积函数及积分区域 D 关于 y=x 对称，记 D 1 =(x,y)|0yx2，D 2 =(x，y)|x 2 +y 2 1，0yx， D 3 =(x，y)|1x 2 +y 2 ，0yx2， 有 (2).设 f(x，y)在上述 D 上连续，且 （分数：5.50）_正确答案：()解析：证 由 所以 所以 M1，其中 设 n 阶矩阵 A、B 乘积可交换， 1 ， r1 、 1 ， r2 分别是方程组 Ax=0 与 Bx=0 的 一个基础解系，且对于 n 阶矩阵 C、D，满足 r(CA+DB)=n（分数：11.00）(1).证明： （分数：5.50）_正确答案
23、：()解析：证 因为 由 知方程组 只有零解，即 Ax=0 与 Bx=0 无非零公共解，又 分别为 Ax=0 与 Bx=0 的基础解系，于是 (2).证明： 1 ， r1 、 1 ， r2 是方程组 ABx=0 的一个基础解系（分数：5.50）_正确答案：()解析：证 显然 AB i =0，i=1，2，r 2 ，又 AB=BA，所以 AB i =0，i=1，2，r 1 ，故 是方程组(AB)x=0 的 r 1 +r 2 个线性无关的解向量. 又 r(AB)r(A)+r(B)-n=(n-r 1 )+(n-r 2 )-n=n-(r 1 -r 2 )， 所以 ABx=0 的基础解系中至多有 n-n-
24、(r 1 +r 2 )=r 1 +r 2 个解向量， 从而 18.设 n 阶矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 设 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T ，则矩阵 A= T 于是 设 是 A 的特征值， 是对应的特征向量，则 A 2 =aA， 2 =a,( 2 -a)=0 由于 0，故有 (-a)=0所以，矩阵 A 的特征值是 0 或 a又因为 所以 1 =a 是 A 的 1 重特征值， 2 = 3 = n =0 是 A 的 n-1 重特征值. 对于特征值 2 = 3 = n =0，齐次线性方程组(0E-A)x=0 其系数矩阵的秩 r(0E-A)=r(-A)=r(A)=r( T )minr()，r( T )=1 又因为
