1、考研数学二-261 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 g(x)在区间(-，+)内具有连续的一阶导数且 g“(x)0，并设 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.曲线 y=f(x)在区间(-，0)上是凹弧，在(0，+)上是凸弧D.曲线 y=f(x)在区间(-，0)上是凸弧，在(0，+)上是凹弧2.当 x0 时，下列 4 个无穷小量关于 x 的阶数最高的是 Ax 2 +x 4 . B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.下列反常积分收敛的是 A B C D （分数：4.0
2、0）A.B.C.D.4.由曲线 和其水平渐近线 以及 y 轴所围区域的面积 A 为 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.船航行每小时的费用由两个部分组成日常开销(固定部分)为 k 1 ，燃油费(变动部分)与速度立方成正比，比例系数 k 2 0在航程确定的情况下，使船航行总费用最小的航速为 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6. Ae B2e C （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 4 个 4 维非零列向量，A=( 1 , 2 ， 3 ， 4 )且 AX=0 的通解为 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.48.设矩阵 （
3、分数：4.00）A.6B.7C.5D.4二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设常数 a2函数 （分数：4.00）10.设常数 a0，b0则 （分数：4.00）11.设存在二元可微函数 u(x，y)， du(x，y)=(axy 3 -y 2 cos x)dx+(1+bysin x+3x 2 y 2 )dy， 则常数 a= 1，b= 2，函数 u(x，y)= 3 （分数：4.00）12.设 （分数：4.00）13.微分方程 y“+4y=2x 2 在原点处与直线 y=x 相切的特解为 1 （分数：4.00）14.设实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 经正交变换化成的
4、标准形为 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 z=z(x,y)是由方程 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +32=0 确定，讨论函数 z(x，y)的极大值与极小值 （分数：10.00）_16.设 x1 且 x0证明： （分数：10.00）_(1).若函数 f(x)在a，b上连续，证明： 使得 （分数：5.00）_(2).计算 （分数：5.00）_17.设曲线 y=y(x)在 点与直线 4x-4y-3=0 相切，且 y=y(x)满足方程 （分数：10.00）_设 z=f(x,y)满足关系： (k 是正常数)，且 （分数：11.00）(1).求
5、f(x，y)；（分数：5.50）_(2). 证明：数列x n 收敛，并求 （分数：5.50）_18.设平面区域 其中常数 a0，b0，求二重积分 （分数：10.00）_设一个平板浸没在水中且垂直于水面(=1000kg/m 3 )，平板的形状为双曲四边形，即平板的图形由双曲线 4x 2 -y 2 =4，直线 y=1 与 y=-1 围成(长度单位：m)（分数：11.00）(1).如果平板的上边缘与水面相齐，那么平板一侧所受到的总压力是多少?（分数：5.50）_(2).设水位下降，如果在时刻 t 时水面位于 y=h(t)处，且水面匀速下降速率为 0.01(m/s)问：当水面下降至平板的中位线时，一侧
6、所受到的水压力的下降速率是多少?（分数：5.50）_已知齐次线性方程组(i)为 （分数：11.00）(1).求方程组(i)的基础解系；（分数：5.50）_(2).求方程组(i)与(ii)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(i)，(ii)的基础解系线性表示（分数：5.50）_19.若 A、B 均为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，r(A)=r(B)，证明：A、B 必为相似矩阵 （分数：11.00）_考研数学二-261 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 g(x)在区间(-，+)内具有连续的一阶导数且 g“(x
7、)0，并设 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.曲线 y=f(x)在区间(-，0)上是凹弧，在(0，+)上是凸弧D.曲线 y=f(x)在区间(-，0)上是凸弧，在(0，+)上是凹弧 解析：解析 其中由积分中值定理知， 介于 0 与 x 之间再进一步， g()-g(0)=g“()， 其中 介于 0 与 之间 由于 与 x 同号，所以当 x0 时， f“(x)=2xg“()0 不选 A，也不选 B再求 2.当 x0 时，下列 4 个无穷小量关于 x 的阶数最高的是 Ax 2 +x 4 . B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析
8、当 x0 时， Ax 2 +x 4 x 2 B C D 3.下列反常积分收敛的是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 4.由曲线 和其水平渐近线 以及 y 轴所围区域的面积 A 为 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 5.船航行每小时的费用由两个部分组成日常开销(固定部分)为 k 1 ，燃油费(变动部分)与速度立方成正比，比例系数 k 2 0在航程确定的情况下，使船航行总费用最小的航速为 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 航行总费用 y 与航速 vkm/h 有关，设航程为 skm，则航行时间为 所以有 当 时
9、， y 单调递减； y 单调递增 所以 6. Ae B2e C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 其中(，)D t ，D t =(x,y)|tx2t，tyx)，A(t)为 D t 的面积 由于 t0 + 时，有 D t (0，0)，所以(，)(0，0)， 7.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 4 个 4 维非零列向量，A=( 1 , 2 ， 3 ， 4 )且 AX=0 的通解为 （分数：4.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 首先，由 AX=0 的通解结构，知 r(A)=3，故 r(A * )=1，于是 A * X=0 的基础解系中有 3 个向量，排除； 又由 A*A=
10、|A|E=0，知 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 A*X=0 的解，且 1 + 3 =0，于是 1 ， 2 ， 3 线性相关，排除；再看， 8.设矩阵 （分数：4.00）A.6 B.7C.5D.4解析：解析 由矩阵 B 的特征多项式 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设常数 a2函数 （分数：4.00）解析： 解析 当 0x1 时，f(x)=1；当 x=1 时， 当 x1 时， 在 x=1 处连续的充要条件是 而在 x0 的其它处，无论 a 取什么值，f(x)总是连续的所以 f(x)在(0，+)上连续的充要条件是 10.设常数 a0，b0则 （分数：4.00）解析： 解析 交换积
11、分次序 11.设存在二元可微函数 u(x，y)， du(x，y)=(axy 3 -y 2 cos x)dx+(1+bysin x+3x 2 y 2 )dy， 则常数 a= 1，b= 2，函数 u(x，y)= 3 （分数：4.00）解析：2；-2；x 2 y 3 -y 2 sin x+y+C(其中 C 是任意常数) 解析 由题给条件知， 于是有 12.设 （分数：4.00）解析：2 016! 解析 注意，f(x)的分母不能因式分解而将 f(x)拆项，改想别的办法 13.微分方程 y“+4y=2x 2 在原点处与直线 y=x 相切的特解为 1 （分数：4.00）解析： 解析 由题意，在原点处切线的
12、斜率为 y“| x=0 =1，且 y| x=0 =0 特征方程 r 2 +4=0，对应齐次微分方程的通解为 C 1 cos 2x+C 2 sin 2x 又微分方程的一个特解为 因而非齐次方程的通解为 将代入上式，得特解为 14.设实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 经正交变换化成的标准形为 （分数：4.00）解析：2x 1 x 2 -2x 1 x 3 -2x 2 x 3 解析 由于 A 的特征值为 2，-1，-1，所以|A|=2(-1)(-1)=2 对 A*= 两边左乘 A，并利用 AA“=|A|E 得 A=2这表明 是 A 的对应于特征值 2 的特征向量 取 2 =(
13、0，1，1) T ， 3 =(-2，1，-1) T ，则 ， 2 ， 3 两两正交，将它们分别单位化， 令 Q=(q 1 ，q 2 ，q 3 )，即 Q 为正交矩阵，且 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 z=z(x,y)是由方程 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +32=0 确定，讨论函数 z(x，y)的极大值与极小值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 将 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +32=0 两边分别对 x、对 y 求偏导数，有 为求驻点，令 联立方程得 再与原设方程 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +32
14、=0 联立解得点(12，4，4) 1 与(-12，-4，-4) 2 再将(*)与(*)对 x、对 y 求偏导数，得 及 再以 点(12，4，4) 1 代入得 所以 z=4 为极小值 点(-12，-4，-4) 2 代入得 16.设 x1 且 x0证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 当 0x1 时，xln(1-x)0；当 x0 时仍有 xln(1-x)0 为证 等价于证明，当 x1 且 x0 时 ln(1-x)+x-xln(1-x)0 令 f(x)=ln(1-x)+x-xln(1-x)，f(0)=0， 有 (1).若函数 f(x)在a，b上连续，证明： 使得 （分数：5.00）_
15、正确答案：()解析：证 令 则 F(x)在a，b上满足拉格朗日中值定理的条件 故 使得 F(b)-F(a)=F“()(b-a)， 即 (2).计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由于 是连续的，由积分中值定理，存在 (x0)，使 由于 而在 x+时，有 由夹逼定理可知，x+时， 且有 +，故 17.设曲线 y=y(x)在 点与直线 4x-4y-3=0 相切，且 y=y(x)满足方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 p=y“，由 得 解得 由 时，p=1，得 C 1 =0从而 解得 在(x，y)点的曲率 设 z=f(x,y)满足关系： (k 是正常数)，且 （分数
16、：11.00）(1).求 f(x，y)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 而 于是 再由 得 C=0，所以 (2). 证明：数列x n 收敛，并求 （分数：5.50）_正确答案：()解析：证 由题知 由 x 0 0 及 k0 知 x n 0(n=1，2，)故 因此，x n 单调递减有下界，故数列收敛 设 得 求得 18.设平面区域 其中常数 a0，b0，求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 用直角坐标由对称性， 作积分变量变换，令 x=asin t， 设一个平板浸没在水中且垂直于水面(=1000kg/m 3 )，平板的形状为双曲四边形，即平板的图形由双曲线 4
17、x 2 -y 2 =4，直线 y=1 与 y=-1 围成(长度单位：m)（分数：11.00）(1).如果平板的上边缘与水面相齐，那么平板一侧所受到的总压力是多少?（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 平板的上边缘与水面相齐，那么平板一侧所受到的总压力为 (2).设水位下降，如果在时刻 t 时水面位于 y=h(t)处，且水面匀速下降速率为 0.01(m/s)问：当水面下降至平板的中位线时，一侧所受到的水压力的下降速率是多少?（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 水面位于 y=h(t)处，水压力为 则水压力的下降速率为 由题意知 h“=0.01，当水面下降至平板的中位线时，h=0，代入
18、上式得 已知齐次线性方程组(i)为 （分数：11.00）(1).求方程组(i)的基础解系；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 对齐次线性方程组(i)的系数矩阵作初等行变换，得 其同解方程组为 (2).求方程组(i)与(ii)的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组(i)，(ii)的基础解系线性表示（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由上题解得方程组(i)的基础解系 1 ， 2 于是，方程组(i)的通解为 k 1 1 +k 2 2 =k 1 (2，-1，1，0) T +k 2 (-1，1，0，1) T (k 1 ，k 2 为任意常数) 由题设知，方程组(ii)的基础解系为 1
19、 ， 2 ，其通解为 l 1 1 +l 2 2 =l 1 (-1，1，2，4) T +l 2 (1，0，1，1) T (l 1 ，l 2 为任意常数) 为求方程组(i)与(ii)的公共解，令它们的通解相等，即 k 1 (2，-1，1，0) T +k 2 (-1，1，0，1) T =l 1 (-1，1，2，4) T +l 2 (1，0，1，1) T 从而，得到关于 k 1 ，k 2 ，l 1 ，l 2 的方程组 对此方程组的系数矩阵作初等行变换，得 19.若 A、B 均为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，r(A)=r(B)，证明：A、B 必为相似矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 由 A 2 =A，可知 A 的特征值为 0 或 1，对应于 0、1 的线性无关的特征向量的个数 分别为 n-r(0E-A)与 n-r(1E-A) 又由于 A 2 -A=0，即 A(A-E)=0，则 r(A)+r(A-E)n，于是 A 的线性无关的 特征向量的总个数为 n-r(0E-A)+n-r(1E-A)=2n-r(-A)+r(E-A)2n-n=n， 故 A 有 n 个线性无关的特征向量，则 A 可相似对角化 同理，B 的特征值为 0 或 1，可相似对角化，且由题设，r(A)=r(B)，可知 A、B 有完全相同的特征值，即A、B 相似于同一对角阵故 A、B 必相似
