1、考研数学二-260 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其一阶导函数 f“(x)的图形如下图所示，并设在 f“(x)存在处 f“(x)亦存在. 则曲线 y=f(x)的拐点个数为 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.32.当 x0 + 时下列 3 个无穷小 （分数：4.00）A.B.C.D.3.函数 f(x)在 x=x 0 处可导的充要条件是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.在区间(-，0)上严格单调增加，在区间(0，+)上严格单调减少B.在区间
2、(-，0)上严格单调减少，在区间(0，+)上严格单调增加C.在区间(-，0)与区间(0，+)上都严格单调增加D.在区间(-，0)与区间(0，+)上都严格单调减少5.设函数 f(x)与 g(x)具有二阶导数且 g“(z)0若 g(x 0 )=a 是 g(x)的极值，则 fg(x)在 x 0 处取得极大值的一个充分条件是（分数：4.00）A.f“(a)0B.f“(a)0C.f“(a)0D.f“(a)06.设 （分数：4.00）A.函数连续但偏导数不存在B.偏导数存在但函数不连续C.函数连续，偏导数也存在，但不可微D.函数可微7.设 mn 阶矩阵 A 的 n 个列向量线性无关，则（分数：4.00）A
3、.(ATA)=nB.(ATA)nC.(ATA)nD.(ATA)m8.设向量组 1 =- 1 , 2 =- 2 , s =- s ,= 1 + 2 + s (s1)，则向量组的秩（分数：4.00）A.r(1，2，s)r(1，2，s)B.r(1，2，s)r(1，2，s)C.r(1，2，s)r(1，2，s，1，2，s)D.r(1，2，s)=r(1，2，s，1，2，s)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.极坐标曲线 r=a(1+cos)(常数 a0)，在点 （分数：4.00）12.设 f(x)=(x 2 -1) n ，则 f (n+1) (
4、-1)= 1 （分数：4.00）13.设 f(u)可导， 其中 xy0，则 （分数：4.00）14.行列式 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设常数 a0，求不定积分 （分数：10.00）_16.设常数 a0，平面图形 D 为由摆线 一拱与 x 轴所围成，设其点密度 为常数，求该图形的质心坐标 （分数：10.00）_17.设平面区域 其中 4t6令 （分数：10.00）_设 f(x)在区间(-，+)内连续，且当 x(1+x)0 时 （分数：10.00）(1).求 f(0)与 f(-1)的值；（分数：5.00）_(2).讨论 f(x)的单调区间、极值（分数：5.0
5、0）_18.设-x+，y0证明 xye x-1 +yln y, 并指出何时等号成立 （分数：10.00）_19.设 f(x)在区间(-,+)内具有连续的一阶导数，并设 （分数：11.00）_20.设平面区域 求二重积分 （分数：11.00）_21.证明：非齐次线性方程组() 有解的充分必要条件是齐次线性方程组() （分数：11.00）_设 a 0 ，a 1 ，a n-1 为 n 个实数，方阵 （分数：11.00）(1).若 是 A 是一个特征值，证明：=(1， 2 ， n-1 ) T 是 A 的对应于 的特征向量；（分数：5.50）_(2).若 A 的特征值两两互异，则求一可逆矩阵 P，使得
6、P -1 AP 为对角矩阵（分数：5.50）_考研数学二-260 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在(-，+)内连续，其一阶导函数 f“(x)的图形如下图所示，并设在 f“(x)存在处 f“(x)亦存在. 则曲线 y=f(x)的拐点个数为 （分数：4.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 拐点与二阶导数有关，而题中给出的是 f“(x)的大致图形，所以要从 f“(x)推出 f“(x)的大致图形以此分析曲线 y=f(x)的拐点个数为叙述方便，重新画个图并注以字母，如下图： 2.当 x0 + 时下列 3 个无穷小
7、 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 当 x0 + 时， 3.函数 f(x)在 x=x 0 处可导的充要条件是 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 x=-h， 所以 D 是 f(x)在 x 0 处可导的充要条件 其他 A、B、C 均不是 f“(x 0 )存在的充要条件例如 A 若成立，只说明 f“ + (x 0 )存在A 存在只是 f“(x 0 )存在的必要条件而不是充要条件B 存在， f(x 0 )可以连定义都没有对于 C，设 f(x)=|x|，x 0 =0， 4.设 （分数：4.00）A.在区间(-，0)上严格单调增加，在区间(0，+)上严格单调
8、减少B.在区间(-，0)上严格单调减少，在区间(0，+)上严格单调增加C.在区间(-，0)与区间(0，+)上都严格单调增加 D.在区间(-，0)与区间(0，+)上都严格单调减少解析：解析 由 有 5.设函数 f(x)与 g(x)具有二阶导数且 g“(z)0若 g(x 0 )=a 是 g(x)的极值，则 fg(x)在 x 0 处取得极大值的一个充分条件是（分数：4.00）A.f“(a)0B.f“(a)0 C.f“(a)0D.f“(a)0解析：解析 由于 g(x 0 )是 g(x)的一个极值，所以 g“(x 0 )=0令 y=fg(x)，由复合函数求导公式，以 x=x 0 代入，得 由题设 g“(
9、x 0 )0，所以当 6.设 （分数：4.00）A.函数连续但偏导数不存在B.偏导数存在但函数不连续C.函数连续，偏导数也存在，但不可微 D.函数可微解析：解析 所以当(x，y)(0，0)时，|f(x，y)-f(0，0)|0，f(x，y)在点 O(0,0)处连续 所以 f“ x (0,0)与 f“ y (0，0)均存在 以下证明 f(x,y)在点 O(0，0)不可微用反证法，设 f(x，y)在点(0，0)处可微，由前已推导有 f“ x (0，0)=0，f“ y (0，0)=0，按可微定义，应有 但最后一步并不成立例如取路径 y=kx 令 x0， 7.设 mn 阶矩阵 A 的 n 个列向量线性无
10、关，则（分数：4.00）A.(ATA)=n B.(ATA)nC.(ATA)nD.(ATA)m解析：解析 由于 r(A)=n，且 r(A T A)=r(A)，故选 A8.设向量组 1 =- 1 , 2 =- 2 , s =- s ,= 1 + 2 + s (s1)，则向量组的秩（分数：4.00）A.r(1，2，s)r(1，2，s)B.r(1，2，s)r(1，2，s)C.r(1，2，s)r(1，2，s，1，2，s)D.r(1，2，s)=r(1，2，s，1，2，s) 解析：解析 显然，向量组 1 ， 2 ， s 可由 1 ， 2 ， s 线性表示由于 1 + 2 + s =s-( 1 + 2 + s
11、 )=(s-1)， 从而解得 于是，有 即向量组 1 ， 2 ， s 也可由 1 ， 2 ， s 线性表示因此，向量组 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， s 等价故知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s )选项 A、B 均应排除 又因为向量组 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 当 x时， 为“1 ”型令 所以 10. （分数：4.00）解析： 解析 交换积分次序， 11.极坐标曲线 r=a(1+cos)(常数 a0)，在点 （分数：4.00）解析： 解析 将曲线的极坐标方程改写成为 为参数的参数方程： 以 代入，得 12.
12、设 f(x)=(x 2 -1) n ，则 f (n+1) (-1)= 1 （分数：4.00）解析：(n+1)!n(-2) n-1 解析 求乘积的高阶导数，一般用高阶导数的莱布尼茨公式 f(x)=(x 2 -1) n =(x+1) n (x-1) n 13.设 f(u)可导， 其中 xy0，则 （分数：4.00）解析：-2解析 14.行列式 （分数：4.00）解析： 解析 行列式 D n+1 与范德蒙德行列式的形式不同，可以利用行列式性质将 D n+1 化为范德蒙德行列式计算将行列式 D n+1 的第 n+1 行依次与相邻上 1 行进行交换，经过 n 次交换后，换到了第1 行完全类似，D n+1
13、 的第 n 行经过 n-1 次相邻两行交换，换到第 2 行如此继续进行，共进行了 次行交换后，D n+1 化为范德蒙德行列式 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设常数 a0，求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 作积分变量变换，令 于是由 x=asin t，有 16.设常数 a0，平面图形 D 为由摆线 一拱与 x 轴所围成，设其点密度 为常数，求该图形的质心坐标 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 所以 质心坐标为 解析 取细长条，其面积元素 d=ydx，对应的质量为 ydx，它的质心坐标为 即 d 的质量可看成集中于点 于是该细条对 x 轴的质量
14、矩为 D 对 x 轴的质量矩为 于是 由于 D 对称于直线 x=a，点密度 为常数，故质心的横坐标 17.设平面区域 其中 4t6令 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 用直角坐标， 当 4t6 时 f“(t)0，f(t)单调增加，所以当 t=6 时 f(t)为最大，最大值 设 f(x)在区间(-，+)内连续，且当 x(1+x)0 时 （分数：10.00）(1).求 f(0)与 f(-1)的值；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由题设 f(x)在(-，+)上连续，所以 (2).讨论 f(x)的单调区间、极值（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 考虑 f(x)的单调性当
15、 x-1，x0 时， 令 由泰勒公式，有 且 g(0)=0 所以当-1x+且 x0 时 f“(x)0又因 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(x)在区间(-1，+)内严格单调减少 此外，由 f“(x)的表达式 18.设-x+，y0证明 xye x-1 +yln y, 并指出何时等号成立 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 固定 y0，令 f(x)=xy-e x-1 -yln y,-x+. 有 f“(x)=y-e x-1 ， 令 f“(x)=0，得唯一驻点 x 0 =1+ln y. f“(x)=-e x-1 0， 所以 f(x 0 )=y(1+ln y)-y-yln y=0 为 f(
16、x)的最大值，所以 xy-e x-1 -yln y0 仅当 x=1+ln y 时等号成立证毕19.设 f(x)在区间(-,+)内具有连续的一阶导数，并设 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由上述表达式可见有 f(0)=0，f“(0)=1所以 f“(x)-4f(x)=-sin x 解得 由 f(0)=0，f“(0)=1，得 所以 所以 20.设平面区域 求二重积分 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由 D 关于 y 轴对称，令 有 再令 D 2 =(x,y)|x 2 +y 2 8，yx0， 均用极坐标分别计算 D 2 与 D 3 上的上述二重积分 所以 21.证明：非齐次
17、线性方程组() 有解的充分必要条件是齐次线性方程组() （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 必要性：设矩阵 A=(a ij ) mn ，x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，y=(y 1 ，y 2 ，y m ) T ，b=(b 1 ，b 2 ，b m ) T 则方程组()，()，()的矩阵形式分别是 ()：Ax=b， ()：A T y=0， ()：b T y=0 如果方程组()有解，则 Ax=b，两边同时转置，有 bT=x T A T 设 y 是方程组()的任一解，则 A T y=0于是 b T y=(x T A T )y=x T (A T y)=x T 0=0 所以，方程组(
18、)的任一解 y 满足方程组() 充分性：将方程组()和()联立起来，记为方程组()，其矩阵形式为 如果方程组()的任一解 y 满足方程组()，即 A T y=0，b T y=0，则方程组()，()同解于是，方程组()和()系数矩阵的秩相等，即 由此可知，矩阵 的最后一行 b T 可由 A T 的 n 个行向量线性表示不妨设 A=( 1 ， 2 ， n )，则 所以，存在一组数 x 1 ，x 2 ，x n ，使得 设 a 0 ，a 1 ，a n-1 为 n 个实数，方阵 （分数：11.00）(1).若 是 A 是一个特征值，证明：=(1， 2 ， n-1 ) T 是 A 的对应于 的特征向量；（
19、分数：5.50）_正确答案：()解析：证 A 的特征多项式 因 是 A 的特征值，故 |E-A|= n +a n-1 n-1 +a 1 +a 0 =0, 于是得到 n =-(a n-1 n-1 +a 1 +a 0 )， 而 因而， =(1， 2 ， n-1 ) T 是 A 的对应于 的特征向量，故 (2).若 A 的特征值两两互异，则求一可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由于 A 的特征值 1 ， 2 ， n 两两互异，故依次对应的特征向量： 1 ， 2 ， n 线性无关，因为 A= i i (i=1，2，n)，令 P=( 1 ， 2 ，n)，则有 故有
