1、考研数学二-254 及答案解析(总分：72.50，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：29，分数：72.50)1.设 （分数：2.50）2. （分数：2.50）3.设 则 （分数：2.50）4.设 ，则 （分数：2.50）5.设 0，0 为常数，则 （分数：2.50）6. （分数：2.50）7. （分数：2.50）8. （分数：2.50）9.设 a0，a1，且 （分数：2.50）10. （分数：2.50）11. （分数：2.50）12.设 a，b，p 为非零常数，则 （分数：2.50）13. （分数：2.50）14.设 a 1 ，a 2 ，a m 为正数(m2)，则 （分数：2.50）1
2、5.x表示 x 的最大整数部分，则 （分数：2.50）16.设a n 为数列， ，|q|1 则 （分数：2.50）17.数列 ，则 （分数：2.50）18.设 ，则当 a1 时 = 1，当|a|1 时 （分数：2.50）19.极限 （分数：2.50）20.极限 （分数：2.50）21.设 f(x)连续，xa 时 f(x)是(x-a)的 n 阶无穷小，则 xa 时 （分数：2.50）22.已知当 x0 时 （分数：2.50）23.设函数 f(x)在 x=1 连续，且 f(1)=1 则 （分数：2.50）24.设 （分数：2.50）25.设 （分数：2.50）26.设 （分数：2.50）27.设
3、则 （分数：2.50）28.设 f(x)在(-，+)定义，f(0)=1 且 f(x)在 x=0 处连续，并满足 f(2x)=f(x)，则在(-，+)上f(x) 1 （分数：2.50）29.设 a 0 0，a n =a n-1 (a n-1 +1)(n=1，2，)，则 （分数：2.50）考研数学二-254 答案解析(总分：72.50，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：29，分数：72.50)1.设 （分数：2.50）解析： 解析 这是求分段函数的复合函数的表达式 南 f(x)的定义知，当 x0 时，f(x)=x 2 +10；当 x0 时，f(x)=-x0；当 x=0 时，f(x)=0于是
4、 2. （分数：2.50）解析：0 解析 用相消法结合洛必达法则求这个 型的极限，分子、分母同除以(e x ) 3 其中用洛必达法则易知 3.设 则 （分数：2.50）解析： 解析 将 x n 化简 4.设 ，则 （分数：2.50）解析： 解析 先化简 x n 5.设 0，0 为常数，则 （分数：2.50）解析：0 解析 用洛必达法则求得 型极限 6. （分数：2.50）解析： 解析 这是指数型(1 )极限，用求指数型极限的一般方法： 转化为求 型极限 先用等价无穷小因子替换，再用洛必达法则 于是 其中 用求 1 型极限的方法： 利用重要极限 I=e A 转化为求极限 因此 7. （分数：2.
5、50）解析： 解析 sin 10 xx 10 (x0)，用等价无穷小因子替换得 再作变量替换：u=x 2 得 其中 8. （分数：2.50）解析： 解析 9.设 a0，a1，且 （分数：2.50）解析：2 解析 当 x+， 因此 10. （分数：2.50）解析：-1 解析 用等价无穷小因子替换：x0 时 得 11. （分数：2.50）解析：解析 12.设 a，b，p 为非零常数，则 （分数：2.50）解析：-p 解析 要分别求左、右极限 13. （分数：2.50）解析：e 2 解析 改写为指数形式： 由此得 (1) 当 x0 时，分母为无穷小，所以分子也为无穷小，进一步有 因此，当 x0 时
6、所以(1)可写为 因此 于是 14.设 a 1 ，a 2 ，a m 为正数(m2)，则 （分数：2.50）解析：maxa 1 ，a 2 ，a n ) 解析 恒等变形后用幂指数运算法则不妨设 a 1 为最大值 用适当放大缩小法不妨设 maxa 1 ，a 2 ，a n )=a 1 则 令 n， ，由夹逼定理 15.x表示 x 的最大整数部分，则 （分数：2.50）解析：2 解析 因此，当 x0， 当 x0， 又 于是 16.设a n 为数列， ，|q|1 则 （分数：2.50）解析：0 解析 由 有 ，由极限的不等式性质 ，当 nN 时， ，即|a n+1 |a n |，所以不妨认为数列|a n
7、|是单调减少的，又|a n |0，由单调有界数列收敛定理推出 存在，设 ，则 a=0，若不然，a0， ，这与 矛盾于是 取 q 0 满足|q|q 0 1由 及极限不等式性质 ，当 nN 时 因 17.数列 ，则 （分数：2.50）解析： 解析 先用等价无穷小因子替换， 转化为函数极限后再用洛必达法则 用泰勒公式： 18.设 ，则当 a1 时 = 1，当|a|1 时 （分数：2.50）解析：+；0 解析 当 a1 时，取 q，aq1 N，当 nN 时 因 q1， 当|a|1 时，取 q，|a|q1，由 ，当 nN 时 因 0q1， 19.极限 （分数：2.50）解析： 解析 用泰勒公式 已知 用
8、洛必达法则 其中 20.极限 （分数：2.50）解析：0 解析 由不等式 0ln(1+t)t(t0) 又 因此 21.设 f(x)连续，xa 时 f(x)是(x-a)的 n 阶无穷小，则 xa 时 （分数：2.50）解析：n+1 解析 已知 ，求正数 k 使得 这是 型极限，用洛必达法则得 22.已知当 x0 时 （分数：2.50）解析：6 解析 确定 n0 使得 其中 ln(1+(x-sinx)x-sinx (x0) 23.设函数 f(x)在 x=1 连续，且 f(1)=1 则 （分数：2.50）解析：ln3 解析 先求出 由函数的连续性得 24.设 （分数：2.50）解析： 解析 设 ，其
9、中 g(x)，h(x)分别在a，x 0 ，(x 0 ，b是初等函数，因而连续于是 f(x)在a，x 0 ，(x 0 ，b连续，f(x)在 x 0 连续 对于该 f(x)，对 常数 A，显然 x1 时 f(x)连续仅当 时 f(x)在 x=1 连续因此，仅当 25.设 （分数：2.50）解析：a=-1，b=ln2 解析 先分别考察 f(x)，g(x)的连续性 对 ，x0 时 f(x)连续，x=0 时 f(x)左连续，f(0)=6， 又 仅当 a=-1 时 f(x)在 x=0 右连续因此，仅当 a=-1 时 f(x)在 x=0 连续 对 ，x1 时 g(x)连续，x=1 时 g(x)右连续，g(1
10、)=e b +1，又 仅当 e b +1=3，即 e b =2，b=ln2 时 g(x)在 x=1 左连续因此，仅当 b=ln2 时 g(x)在 x=1 连续 现由连续性运算法则知，b=ln2，a=-1 时 f(x)+g(x)处处连续 a-1 时，f(x)在 x=0 不连续，g(x)在 x=0 连续 f(x)+g(x)在 x=0 不连续 bln2 时，f(x)在 x=1 连续，g(x)在 x=1 不连续， 26.设 （分数：2.50）解析：(1，e) 解析 f(x)只有间断点 x=a，x=b 当 a=1，b=e 时 x=1 为可去间断点 x=e 为无穷间断点 当 a=e，b=1 时 27.设
11、则 （分数：2.50）解析：2 解析 这里 (即 x=0 处左、右两侧连续地相接) g(x)在 x=0 连续，g(0)=0又 f(u)在 u=0 也连续，于是复合函数 f(g(x)x)在 x=0 连续因此 28.设 f(x)在(-，+)定义，f(0)=1 且 f(x)在 x=0 处连续，并满足 f(2x)=f(x)，则在(-，+)上f(x) 1 （分数：2.50）解析：1 分析 x(-，+)，由条件得 其中 n 是 自然数令 n，由 f(x)在 x=0 连续 其中 29.设 a 0 0，a n =a n-1 (a n-1 +1)(n=1，2，)，则 （分数：2.50）解析：+ 解析 显然 a n 0 a n =a n-1 (a n-1 +1)a n-1 a n 单调上升 若 为有限值 a0 矛盾了因此
