1、考研数学二-251 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：50，分数：100.00)1.设 u(x，y)在点 M 0 (x 0 ，y 0 )处取极小值，并且 均存在，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.2.设函数 f(u，v)由关系式 f(x+g(y)，y)=xy 确定，其中函数 g(y)可微，则 （分数：2.00）AuBvC.uvD.13.已知函数 F(x，y，z)具有一阶连续偏导数，且 F(1，1，1)=0，F“ x (1，1，1)=2，F“ y (1，1，1)=-1若方程 F(x，y，z)=0 确定隐函数 z=z(x，y)，满足 z(
2、1，1)=1 且 z“ x (1，1)=1，则 z“ y (1，1)= A1 B-1 C D （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 z=z(x，y)是由方程 x-y-x+2xe z-y-x =0 确定的隐函数，则在点(0，1)处 z(x，y)的全微分 （分数：2.00）A.dx-dyB.dx+dyC.-dx+dyD.-dx-dy5.设 f(x，y)满足 其中 a，b 为常数，则 Aa+b Ba-b C D （分数：2.00）A.B.C.D.6.设方程组 在点(2，1，1)的某个邻域内确定隐函数 u(x，y，z)与 v(x，y，z)，且 u(2，1，1)0，则 A B C D （分数：2.0
3、0）A.B.C.D.7.设 ，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.8.设在全平面上有 （分数：2.00）A.x1x2，y1y2B.x1x2，y1y2C.x1x2，y1y2D.x1x2，y1y29.设 f(x，y)=x 3 -4x 2 +2xy-y 2 ，则下面结论正确的是（分数：2.00）A.点(0，0)是 f(x，y)的极大值点B.点(2，2)是 f(x，y)的极小值点C.点(2，2)是 f(x，y)的驻点，且为极大值点D.点(0，0)是 f(x，y)的驻点，但不是极值点10.函数 f(x，y)=e -xy 在区域 D=(x，y)| 4x 2 +y 2 1上的最大值是 Ae
4、 2 Be C D （分数：2.00）A.B.C.D.11.曲面 z 2 =xy+4 到原点(0，0，0)的距离 d= A1 B2 C （分数：2.00）A.B.C.D.12.已知等腰梯形 ABCD 的面积等于 ，要使它的下底 BC 与两腰 AB，CD 长度之和 x+2y 最小，则 （分数：2.00）A.x=3，y=1B.x=2，y=1C.x=2，y=2D.x=1，y=213.已知函数 f(x，y)在点(0，0)某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.点(0，0)不是 f(x，y)的极值点B.点(0，0)是 f(x，y)的极大值点C.点(0，0)是 f(x，y)的极小值点D.所给条件不足以判断
5、点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点14.设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列说法中不正确的是 A若在 D 内，有 ，则 f(x，y)；常数 B若在 D 内的任何一点处都存在满足 的常数 a，b，c，d 使得 ，则 f(x，y)常数 C若在 D 内，有 df(x，y)0，则 f(x，y)常数 D若在 D 内，有 （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 f(x，y)为连续函数，且 D=(x，y)| x 2 +y 2 t 2 )，则 （分数：2.00）A.=f(0，0)B.=-f(0，0)C.=f“(0，0)D.不存在16.交换积分次序可得累次积分 A B C D （分数：2.00
6、）A.B.C.D.17.设 x=rcos，y=rsin，则在极坐标系(r，)中的累次积分 可化为直角坐标系(x，y)中的累次积分 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18.若 （分数：2.00）A.m，n 为任意正整数B.m，n 均为奇数C.m，n 中至少有一个为奇数D.m+n 必为奇数19.设 （分数：2.00）A.I1I2I3B.I2I3I1C.I3I1I2D.I3I2I120.累次积分 等于 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.21.设区域 D 由 x=1，y=-1 与 y=x 3 围成，D 1 是 D 在第一象限的部分，则 A B C （分数：2.00）A.
7、B.C.D.22.设 f 连续，则累次积分 可化为定积分 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.23.设 D 1 是以 O(0，0)，P(a，0)，Q(0，a)为顶点的等腰直角三角形，D 2 是中心在点(1，0)半径 R=1的半圆，且半圆与直角边 PQ 相切于点 M若积分区域 D 是从 D 1 中挖去 D 2 的区域(如图)，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.24. A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.设积分区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 2x+2y，则 （分数：2.00）A.6B.8C.10D.1226.设区域 D=(x，y)| y
8、0，x 2 +y 2 x，x 2 +y 2 2x)被直线 Yz 分割成面积较大与面积较小的两部分 D 1 与 D 2 ，如图则 D 1 与 D 2 的面积之比 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.27.设积分区域 ，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.设积分区域 D=(x，y)|0x1，0y1)，则二重积分 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.29.设 ，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.设积分区域 D 由 y=x 与 y 2 =x 围成，则 A B- C D （分数：2.00）A.B.C.D.31.设平面区域 D
9、由星形线 与 x 轴围成，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.32.设有一半径为 R 的圆盘，其中心在坐标原点处圆盘上任一点(x，y)处的密度 p(x，y)与该点到点(R，0)的距离的平方成正比，比例常数 k0，则该圆盘的重心坐标是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.33.设 y=y(x)在0，+)可导，在任意 x(0，+)处的增量 y=y(x+x)-y(x)满足 ，其中 当 x0 时是 x 等价的无穷小，又 y(0)=1则 y(x)等于 A(1+x)1n(1+x)+1 Bln(1+x)+1 C （分数：2.00）A.B.C.D.34.设f(x)e x sin
10、ydx-f(x)cosydy 一个二元函数的全微分，且 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，则 f(x)等于 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.35.设 y=y(x)是微分方程 满足初值 y(1)=0 的特解，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.36.设 y=y(x)是 y“+by“+cy=0 的解，其中 b，c 为正常数，则 （分数：2.00）A.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)有关，与 b，c 无关B.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)及 b，c 均无关C.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)及 c 无关，只与 b 有关D.与解
11、 y(x)的初值 y(0)，y“(0)及 b 无关，只与 c 有关37.若 A、B 为非零常数，C 1 、C 2 为任意常数，则微分方程 y“+k 2 y=cosx 的通解应具有形式（分数：2.00）A.C1coskx+C2sinkx+Asinx+BcosxB.C1coskx+C2sinkx+AxcosxC.C1coskx+C2sinkx+AxsinxD.C1coskx+C2sinkx+Axsinx+Bxcosx38.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性微分方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数
12、：2.00）A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y339.设 a，b，c 为常数，则微分方程 y“-3y“+2y=3x-2e x 的特解的形式为（分数：2.00）A.(ax+b)exB.(ax+b)xexC.(a+b)+cexD.(ax+b)+cxex40.设 C 1 ，C 2 是两个任意常数，则函数 y=C 1 e 2x +C 2 e -x -2xe -x 满足的一个微分方程是（分数：2.00）A.y“+y“2y=6e-xB.y“-y“-2y=6e-xC.y“+y“-2y
13、=3xe-xD.y“-y“-2y=3xe-x41.设 C 1 ，C 2 ，C 3 是三个任意常数，则方程 （分数：2.00）A.C1ex+C2cosx+C3sinxB.C1e-x+C2cosx+C3sinxC.C1e2x+C2cos2x+C3sin2xD.C1e-2x+C2cos2x+C3sin2x42.设 f 1 (x)，f 2 (x)为二阶常系数线性微分方程 y“+py“+qy=0 的两个特解，C 1 、C 2 是两个任意常数，则 C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)是该方程通解的充分条件是（分数：2.00）A.f1(x)f“2(x)-f2(x)f“1(x)=0B.f1(x)f“
14、2(x)+f2(x)f“1(x)=0C.f1(x)f“2(x)+f2(x)f“1(x)0D.f1(x)f“2(x)-f2(x)f“(x)043.已知曲线 y=y(x)经过原点，且在原点的切线平行于直线 2x-y-5=0，而 y(x)满足微分方程 y“-6y“+9y=e 3x ，则此曲线的方程为 Ay=sin2x B C （分数：2.00）A.B.C.D.44.初值问题 的特解是 A B C （分数：2.00）A.B.C.D.45.二阶常系数线性微分方程 y“+8y“+25y=0 满足初值 y(0)=1 与 y“(0)=-4 的特解 y*等于（分数：2.00）A.e-3xcos4xB.e3xco
15、s4xC.e-4xcos3xD.e4xcos3x46.设 y(x)是四阶常系数线性微分方 y (4) +y“=0 的不恒等于零的解，且 （分数：2.00）A.一阶B.二阶C.三阶D.四阶47.设函数 f(x)连续，且满足 （分数：2.00）A.cos2x-xsin2xB.cos2x+xsin2xC.sin2x-xcos2xD.sin2x+xcos2x48.设 L 是连接两点 A(0，1)与 B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)是 L 上的任意一点已知凸弧 L 与弦 AP 围成的平面图形的面积等于 x 4 ，则 L 的方程是 （分数：2.00）A.1-3x+4x3B.1-4x+3x3C.1+3x
16、-4x3D.1+4x-3x349.已知物体的冷却速度正比于物体的温度与环境温度之差若室温为 20时一个物体从 100冷却到60需要经过 20 分钟，则该物体从 100冷却到 30需要经过（分数：2.00）A.40 分钟B.60 分钟C.80 分钟D.100 分钟50.一颗子弹以速度 v 0 =350 米/秒射入一块厚度为 0.1 米的木板，穿透木板时的速度为 v 1 =70 米/秒设木板对子弹的阻力与子弹的速度的平方成正比，则子弹穿过木板所用的时间 T= A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.考研数学二-251 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数
17、：50，分数：100.00)1.设 u(x，y)在点 M 0 (x 0 ，y 0 )处取极小值，并且 均存在，则 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 偏导数实质上是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值由一元函数极值的必要条件可得相应结论 令 是 f(x)的极小值点 (若 ，则 x=x 0 是 f(x)的极大值点，于是得矛盾) 同理，令 g(y)=u(x 0 ，y) y=y 0 是 g(y)的极小值点 2.设函数 f(u，v)由关系式 f(x+g(y)，y)=xy 确定，其中函数 g(y)可微，则 （分数：2.00）AuBvC.uvD.1 解析：解析
18、求出函数 f(u，v)的表达式是解决本题的关键 设 u=x+g(y)，v=y，于是 x=u-g(v)，y=v把它们代入即得 f(u，v)=u-g(v)v=uv-vg(v)于是 3.已知函数 F(x，y，z)具有一阶连续偏导数，且 F(1，1，1)=0，F“ x (1，1，1)=2，F“ y (1，1，1)=-1若方程 F(x，y，z)=0 确定隐函数 z=z(x，y)，满足 z(1，1)=1 且 z“ x (1，1)=1，则 z“ y (1，1)= A1 B-1 C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 将隐函数方程 F(x，y，z(x，y)=0 两边求一阶全微分可得 0=F“
19、x dx+F“ y dy+F“ y (z“ x dx+z“ y dy) =(F“x+z“ x F“ z )dx+(F“ y +z“ y F“ y )dy 利用 F(1，l，1)=0，F“ x (1，1，1)=2 以及 F“ y (1，1，1)=-1， 在点(x，y，z(x，y)=(1，1，1)处就有 0=2+F“ x (1，1，1)dx+-1+z“ y (1，1)F“ z (1，1，1)dy 于是 F“ z (1，1，1)=-2，且 z“ y (1，1)F“ z (1，1，1)=1，从而有 应选 D 直接利用隐函数求偏导数公式： 令 x=1，y=1，z=1 得 即 4.设 z=z(x，y)是由
20、方程 x-y-x+2xe z-y-x =0 确定的隐函数，则在点(0，1)处 z(x，y)的全微分 （分数：2.00）A.dx-dyB.dx+dy C.-dx+dyD.-dx-dy解析：解析 在方程中令 x=0，y=1 即得 x(0，1)-1=0 即 z(0，1)=1将方程求全微分可得 0=dz-dy-dx+2e z-y-x dx+2xe z-y-x d(z-y-x) (*) 在上式中令 x=0，y=1 并利用 z(0，1)=1 即得 5.设 f(x，y)满足 其中 a，b 为常数，则 Aa+b Ba-b C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 知 f(x，y)在(x 0
21、，y 0 )可微且 因此选 C 在已知等式中分别令(x，y)=(x 0 +2t，y 0 )，(x，y)=(x 0 ，y 0 -t)得 f(x 0+2t，y 0 )=f(x 0 ，y 0 )+a2t+o(t) (t0) f(x 0，y 0 -t)=f(x 0 ，y 0 )+b(-t)+o(t) (t0) 两式相减并除以 2t 得 最后令 t0 得 6.设方程组 在点(2，1，1)的某个邻域内确定隐函数 u(x，y，z)与 v(x，y，z)，且 u(2，1，1)0，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 首先在方程中令 x=2，y=z-1 可得 2=u(2，1，1)+v
22、(2，1，1)与 u 2 (2，1，1)=v(2，1，1)解二次方程 u 2 (2，1，1)+u(2，1，1)=2 可得其正根为 u(2，1，1)=1，于是 v(2，1，1)=1其次利用一阶全微分形式不变性，将方程组中每个方程两端求全微分，可得 把 x=2，y=1，z=1 以及 u(2，1，1)=v(2，1，1)=1 代入，即得在点(2，1，1)处隐函数 u(x，y，z)与v(x，y，z)的全微分 du 与 dv 满足方程组 由此可见 ，从而 7.设 ，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由一阶全微分形式的不变性及变限积分的求导法得 8.设在全平面上有 （分数：
23、2.00）A.x1x2，y1y2B.x1x2，y1y2C.x1x2，y1y2 D.x1x2，y1y2解析：解析 由 得到当 y 固定时，f(x，y)对 x 单调下降 9.设 f(x，y)=x 3 -4x 2 +2xy-y 2 ，则下面结论正确的是（分数：2.00）A.点(0，0)是 f(x，y)的极大值点 B.点(2，2)是 f(x，y)的极小值点C.点(2，2)是 f(x，y)的驻点，且为极大值点D.点(0，0)是 f(x，y)的驻点，但不是极值点解析：解析 由于 10.函数 f(x，y)=e -xy 在区域 D=(x，y)| 4x 2 +y 2 1上的最大值是 Ae 2 Be C D （分
24、数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 令 g(x，y)=xy，问题可转化为求函数 g(x，y)在区域 D=(x，y)|4x 2 +y 2 最小值，只需比较 g(x，y)在 D 的边界 4x 2 +y 2 =1 上的最小值与 g(0，0)=0 的大小 求 g(x，y)=xy 在 4x 2 +y 2 =1 上的最小值可用拉格朗日乘数法引入拉格朗日函数 显然(x，y)=(0，0)不是解，由，求它的非零解，必须有 ，即 y=2x，代入得，8x 2 -1， ，于是可解得四个驻点 ， 与 ，由计算知在 P 1 与 P 4 处 ，在 P 2 与 P 3 处 比较即知函数 f(x，y)=e -xy 在
25、D 上的最大值在 P 2 与 P 3 处取得，且最大值是 11.曲面 z 2 =xy+4 到原点(0，0，0)的距离 d= A1 B2 C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 曲面 z 2 =xy+4 到原点(0，0，0)的距离 d 等于曲面 z 2 =xy+上点(x，y，z)到原点(0，0，0)距离 的最小值由于 与 x 2 +y 2 +z 2 在相同的点处取得最小值，从而化为函数x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 z 2 -xy-4=0 下的条件最小值问题 引入拉格朗日函数 F(x，y，z，)=x 2 +y 2 +z 2 +(z 2 -xy-4)，为求其驻点，令 从，两式中
26、消去 可得 x 2 =y 2 ，即 y=x由式可得 z(1+)=0 即 z=0 或 =-1把 =-1 代入，两式分别得到 2x+y=x+2y=0，只有唯一解 x=y=0代入可求得两个驻点 P 1 (0，0，2)与 P 2 (0，0，-2)当 z=0 时由式可得 xy=-4 结合 y=x 又可得两个驻点 P 3 (2，-2，0)与 P4(-2，2，0) 分别计算四个驻点 P 1 ，P 2 ，P 3 ，P 4 到原点的距离可得点 P 1 与点 P 2 到原点的距离为 2，点 P 3 与 P 4 到原点的距离为 12.已知等腰梯形 ABCD 的面积等于 ，要使它的下底 BC 与两腰 AB，CD 长度
27、之和 x+2y 最小，则 （分数：2.00）A.x=3，y=1B.x=2，y=1C.x=2，y=2 D.x=1，y=2解析：解析 设DAB=，则 0，于是梯形的高 BE 的长度 h=ysin，上底 AD 的长度是x+2ycos，代入梯形面积公式可得 ABCD 的面积 按题目要求，应当求函数 f(x，y)=x+2y 在条件 (x，y，)=xysin+y 2 sincos- =0 之下的条件最小值用拉格朗日乘数法，引入拉格郎日函数 F(x，y，)=x+2y+(xysin+y 2 sincos- )，求 F(x，y，)的驻点，令 由，知 0，从而由及 xy0 可得 xcos+y(cos 2 -sin
28、 2 )=0， 从，中消去 可得 2ysin=xsin+2ysincos 2y(1-cos)=x 将，两式联立可得 从还可得 x=y 把 x=y， 13.已知函数 f(x，y)在点(0，0)某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.点(0，0)不是 f(x，y)的极值点 B.点(0，0)是 f(x，y)的极大值点C.点(0，0)是 f(x，y)的极小值点D.所给条件不足以判断点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点解析：解析 设函数 f(x，y)在点(0，0)的某空心邻域中满足 14.设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列说法中不正确的是 A若在 D 内，有 ，则 f(x，y)；常数 B若
29、在 D 内的任何一点处都存在满足 的常数 a，b，c，d 使得 ，则 f(x，y)常数 C若在 D 内，有 df(x，y)0，则 f(x，y)常数 D若在 D 内，有 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 考生应掌握这一结论，在区域 D 内 f(x，y)为常数 15.设 f(x，y)为连续函数，且 D=(x，y)| x 2 +y 2 t 2 )，则 （分数：2.00）A.=f(0，0) B.=-f(0，0)C.=f“(0，0)D.不存在解析：解析 因 f(x，y)连续，由二重积分的中值定理知：存在(，)使D ，这里|D|表示积分区域 D 的面积，即|D|=t 2 ，由此即得 从而 D
30、 16.交换积分次序可得累次积分 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 ，由累次积分的积分限可得二重积分的积分区域 D=(x，y)|0x2，0yx 2 )， 交换积分次序即得 ，故应选 A 17.设 x=rcos，y=rsin，则在极坐标系(r，)中的累次积分 可化为直角坐标系(x，y)中的累次积分 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 首先确定被积函数，由于在极坐标系(r，)中面积元 d=rdrd，从而题设二重积分的被积函数应是 其次由题设知二重积分的积分区域 D 在极坐标系(r，)中的不等式表示是 ，这表明 D 在满足 x=rcos0，y
31、=rsin0 的直角坐标系 Oxy 中位于第一象限，且内外边界分别是rcos+rsin=1 即 x+y=1 与 r=1 即 x 2 +y 2 =1，从而积分区域 如图故 应选 B 18.若 （分数：2.00）A.m，n 为任意正整数B.m，n 均为奇数C.m，n 中至少有一个为奇数 D.m+n 必为奇数解析：解析 积分区域关于 x 轴，y 轴都对称，被积函数只要 m，n 中有一个为奇数，不妨设 n 为奇数，则被积函数关于 x 为奇函数，从而由对称性积分为 0，故选 C19.设 （分数：2.00）A.I1I2I3 B.I2I3I1C.I3I1I2D.I3I2I1解析：解析 当被积函数连续时在同一
32、积分区域上比较积分大小，只要比较被积函数取值的大小，由题目知被积函数为 的方幂，因此关键看 是否小于或大于 1，如图所示：(x，y)D 时 ，从而有 (等号不恒成立)，从而又有 I 1 I 2 I 3 故选 A 20.累次积分 等于 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 直接计算是不方便的，这是二重积分 的累次积分，；其中 D：0y1，yx1 如下图所示，现改用极坐标变换，D 的极坐标表示 于是 方法 1 方法 2 因此 21.设区域 D 由 x=1，y=-1 与 y=x 3 围成，D 1 是 D 在第一象限的部分，则 A B C （分数：2.00）A.B.C. D.
33、解析：解析 如图，添加辅助线 y=-x 3 (x0)，则区域 D 可被分割为 D 1 、D 2 、D 3 、D 4 四个小区域，且 D 1 与 D 2 关于 X 轴对称，D 3 与 D 4 关于 y 轴对称 由于 xye -x2 关于 x，关于 y 都是奇函数，从而 又由于 sinxcosy 关于 x 是奇函数，关于 y 是偶函数，从而 22.设 f 连续，则累次积分 可化为定积分 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 (交换积分次序)设 则积分区域 D=(x，y)|axb，ayx)，如下图区域 D 又可以表示成 D=(x，y)1 ayb，yxb，于是 故应选 A (
34、分部积分法) 23.设 D 1 是以 O(0，0)，P(a，0)，Q(0，a)为顶点的等腰直角三角形，D 2 是中心在点(1，0)半径 R=1的半圆，且半圆与直角边 PQ 相切于点 M若积分区域 D 是从 D 1 中挖去 D 2 的区域(如图)，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 从题设知 设 x=rcos，y=rsin 引入极坐标，在极坐标系(r，)中 D 2 可表示为 ，从而 记点(1，0)为 N，则两个直角三角形 PMN 与 OPQ 相似，从而有 于是 故 24. A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 (交换积分次序)由于 D=(
35、x，y)|0y1，yx1=(x，y)|0x1，0yx)， 故 即应选 B (分部积分法) 25.设积分区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 2x+2y，则 （分数：2.00）A.6B.8 C.10D.12解析：解析 因为 x 2 +y 2 2x+2y (x-1) 2 +(y-1) 2 2，从而可引入坐标轴的平移 x-1=u，y-1=v 即 x=u+l，y=v+1，这时区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 2x+2y)变为区域 D 1 =(u，v)|u 2 +v 2 2)， 二重积分 利用 D 1 关于 u 轴或 v 轴的对称性与函数 uv+3(u+v)关于 v 或 u 是奇函数的性质可得
36、，利用二重积分的几何意义可 的面积=2最后，在 D 1 中引入极坐标 u=rcos，v=rsin，则 ， 于是 故 26.设区域 D=(x，y)| y0，x 2 +y 2 x，x 2 +y 2 2x)被直线 Yz 分割成面积较大与面积较小的两部分 D 1 与 D 2 ，如图则 D 1 与 D 2 的面积之比 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 D 1 与 D 2 的面积 S 1 与 S 2 之和 设 x=rcos，y=rsin，在极坐标系(r，)中D 可表示为 ，故 又因直线 y=x 在第一象限部分的极坐标方程是 ，从而 于是 ，放 D 1 与 D 2 的面积之比
37、27.设积分区域 ，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由于积分区域 D 分别关于 x 轴，y 轴对称，而被积函数 分别是自变量 x 与 y 的偶函数若记 D 1 是 D 在第一象限的部分，即 则 又因积分区域 D 1 关于直线 y=x 对称，从而又有 于是 28.设积分区域 D=(x，y)|0x1，0y1)，则二重积分 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 在二重积分 I 中积分区域 D 被直线 y=x 分割成关于 y=x 对称的两个部分区域 D 1 =(x，y)|0x1，0yx，D 2 =(x，y)|0x1，xy1)=(x，y)|0
38、y1，0xy(如图)，被积函数f(x，y)关于变量x，Y 对称，即 f(x，y)=f(y，x)，从而 故 设 x=rcos，y=rsin，在极坐标系(r，)中 D 1 可表示成 ，所以 29.设 ，则 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 引入极坐标(r，)满足 x=rcos，y=rsin，则 ，1r3)，且 ，故 30.设积分区域 D 由 y=x 与 y 2 =x 围成，则 A B- C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设知 D=(x，y)|0y1，y 2 xY，如图从而 31.设平面区域 D 由星形线 与 x 轴围成，则 A B C D （
39、分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 x=cos 3 t(0t)， 分别对应 x=1，x=0，x=-1， 时， ，分别对应x=cos 3 t，x=cos 3 (-t)=-cos 3 t，此时 y=sin 3 t=sin 3 (-t)因此区域 D 如右图，D 关于 y 轴对称，又被积函数关于 x 为偶函数， 其中 D 1 =Dx0) 32.设有一半径为 R 的圆盘，其中心在坐标原点处圆盘上任一点(x，y)处的密度 p(x，y)与该点到点(R，0)的距离的平方成正比，比例常数 k0，则该圆盘的重心坐标是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设知质量面密度 (
40、x，y)=k(x-R) 2 +y 2 ，利用质量分布关于 x 轴的对称性可知重心坐标 中 ，而 分别计算可得 故 ，即所求重心坐标为 33.设 y=y(x)在0，+)可导，在任意 x(0，+)处的增量 y=y(x+x)-y(x)满足 ，其中 当 x0 时是 x 等价的无穷小，又 y(0)=1则 y(x)等于 A(1+x)1n(1+x)+1 Bln(1+x)+1 C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本题实质上是解微分方程的初值问题首先，将等式两边除以 x，并令 x0，注意 (可导必连续) 于是得 这是一阶线性非齐次微分方程的初值问题，两边乘 得 积分得 或代公式得其通解为 34.
41、设f(x)e x sinydx-f(x)cosydy 一个二元函数的全微分，且 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，则 f(x)等于 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 得 f“(x)+f(x)=e x ，解此方程得 ，由 f(0)=0 得 故 35.设 y=y(x)是微分方程 满足初值 y(1)=0 的特解，则 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 本题中的方程是齐次微分方程，由初值 y(1)=0 可知应在 x0 处求解令 y=xu 可得dy=xdu+udx，代入原方程并化简即得 ，分离变量即得 积分知方程的通解为 ，从而原方程的
42、通解为 由初值 y(1)=0 可确定常数 C=1，从而所求初值问题的特解满足 ，当 x0 时有 由此可解出满足 y(1)=0 的特解为 求积分即得 36.设 y=y(x)是 y“+by“+cy=0 的解，其中 b，c 为正常数，则 （分数：2.00）A.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)有关，与 b，c 无关B.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)及 b，c 均无关 C.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)及 c 无关，只与 b 有关D.与解 y(x)的初值 y(0)，y“(0)及 b 无关，只与 c 有关解析：解析 这是二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程是 2 +b+
43、c=0，特征根为 它或为相异实根或为重实根，或为共轭复根不论哪种情形，均有特征根的实部是负的 注意： 其中 a0 为常数，因此对 y“+by“+cy=0 的任一解 y=y(x)均有 37.若 A、B 为非零常数，C 1 、C 2 为任意常数，则微分方程 y“+k 2 y=cosx 的通解应具有形式（分数：2.00）A.C1coskx+C2sinkx+Asinx+BcosxB.C1coskx+C2sinkx+AxcosxC.C1coskx+C2sinkx+Axsinx D.C1coskx+C2sinkx+Axsinx+Bxcosx解析：解析 由于齐次方程的通解为 C 1 coskx+C 2 si
44、nkx，这样只需验证的就是哪一个解的表达式中包含有非齐次方程的特解如果非齐次方程的特解形式为 Asinx+Bcosx，说明此时 k1，经验证可知特解为 ，即 A=0， 而根据题设 A、B 均为非零常数，说明它不符合题意，故选项 A 是错误的 如果 k=1，则特解应具形式 Axsinx+Bxcosx，代入原方程可知： 38.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性微分方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解，C 1 ，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C
45、2y2-(1-C1-C2)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3 解析：解析 非齐次线性方程的通解应该是齐次线性方程的通解加上一个非齐次线性方程的特解 C 1 y 1 +C 2 y 2 不是齐次方程的通解，显然 A 不对；B 写成 C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，y 1 -y 3 与 y 2 -y 3 是齐次方程的解，且是无关解，因而 B 是齐次方程的通解，而不是非齐次方程的通解；C 可以写成 C 1 (y 1 +y 3 )+C 2 (y 2 +y 3 )-y 3 ，y 1 +y 3 与 y 2 +y 3 并非齐次方程的解，显然也不对；应选 D，实际
46、 D 可以写成 C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 一 y 3 )+y 3 ，y 1 -y 3 与 y 2 -y 3 显然是线性无关的齐次解，y 3 是非齐次特解39.设 a，b，c 为常数，则微分方程 y“-3y“+2y=3x-2e x 的特解的形式为（分数：2.00）A.(ax+b)exB.(ax+b)xexC.(a+b)+cexD.(ax+b)+cxex 解析：解析 微分方程的对应齐次微分方程是： y“-3y“+2y=0， 其特征方程为 2 -3+2=0， 其特征根为 1=1，2=2 因此微分方程 y“-3y“+2y=-2e x 有形如 的特解 又微分方程 y“-3y“+2y=3x 有形如 的特解 所以，原方程 y“-3y“+2y=3x-2e x 有形如 40.设 C 1 ，C 2 是两个任意常数，则函数 y=C 1 e 2x +C 2 e -x -2xe -x 满足的一个微分方程是（分数：2.00）A.y“+y“2y=6e-xB.y“-y“-2y=6e-x C.y“+y“-2y=3xe-xD.y“-y“-2y=3xe-x解析：解析 由题设知所求微分方程的特征根分别是 1 =2 与 2 =-1，从而特征方程是(-2)(+1)=0，即 2 -2=0由此可见所求方程的形状是 y“-y“-2y=f(x) 记 ，
