1、考研数学二-249 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：50，分数：100.00)1.设曲线 y=lnx 与曲线 在点(x 0 ，y 0 )处有公切线，则常数 k 与切点分别为 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.2.设 f(x)=|x|sin 2 x，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n=（分数：2.00）A.0B.1C.2D.33.设 f(x)在 x 0 可导，且 f“(x 0 )0，则 （分数：2.00）A.f(x)在(x0-，x+)单调上升B.f(x)f(x0)，x(x0-，x0+)，xx0C.f(x)f(x0)，x(x0，x0
2、+)D.f(x)f(x0)，x(x0，x0+)4.下列函数 f(x)中，导函数 f“(x)在 x=0 处不连续的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f(x)一阶可导，f(x)0，f“(x)0，则当 x0 时 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x)对一切 x(-，+)满足方程(x-1)f“(x)+2(x-1)f“(x) 3 =1-e 1-x ，且 f(x)在 x-a(a1)处 f“(a)=0，则 x=a（分数：2.00）A.是_f(x)的极小值点B.是 f(x)的极大值点C.不是 f(x)的极值点D.是 f(x)的拐点7.数列 （分数：2.0
3、0）A.50B.1000C.1600D.20008.函数 的最大值为 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.9.59 设 f(x)在a，+)连续，又 f(x)在a，x 0 单调上升，在x 0 ，+)单调下降， （分数：2.00）A.f(a)，f(x0)B.l，f(x0)C.(l，f(x0)D.以上均不对10.设 f(x)在a，b可导， （分数：2.00）A.f“+(a)=0B.f“+(a)0C.f“+(a)0D.f“+(a)011.设 f(x)处处可导，则下面命题正确的是 A若 ，则必有 B ，则必有 C ，则必有 D ，则必有 （分数：2.00）A.B.C.D.12.设 f(x)
4、在(0，+)二阶可导，满足 f(0)=0，f“(x)0(x0)，又设 ba0，则 axb 时恒有（分数：2.00）A.af(x)xf(a)B.bf(x)xf(b)C.xf(x)bf(b)D.xf(x)af(a)13.设 f(x)在(1-，1+)内存在导数，f“(x)单调减少，且 f(1)=f“(1)=1，则（分数：2.00）A.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xB.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC.在(1-，1)内有 f(x)x，在(1，1+)内有 f(x)xD.在(1-，1)内有 f(x)x，在(1，1+)内有 f(x)x14.设函数 （分数：2.00）A.x=1
5、 是 f(x)的极小值点B.x=1 是 f(x)的极大值点C.(1，f(1)是 y=f(x)拐点D.(1，f(1)不是 y=f(x)拐点15.设 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，1)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，1)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，1)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，1)也不是曲线 y=f(x)的拐点16.设 f(x)具有二阶连续导数，且 （分数：2.00）A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小值C.(1，f(1)
6、是曲线 f(x)的拐点坐标D.f(1)不是 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标17.设 f(x)在(-，+)可导，x 0 0，(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点，则 Ax 0 必是 f“(x)的驻点 B(-x 0 ，-f(x 0 )必是 y=-f(-x)的拐点 C(-x 0 ，-f(-x 0 )必是 y=-f(x)的拐点 D对 （分数：2.00）A.B.C.D.18.设函数 f(x)在(-，+)上有定义，则下述命题中正确的是 A若 f(x)在(-，+)上可导且单调增加，则对一切 x(-，+)，都有 f“(x)0 B若 f(x)在点 x 0 处取得极值，则
7、 f“(x 0 )=0 C若 f“(x 0 )=0，则(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点坐标 D若 f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=0， （分数：2.00）A.B.C.D.19.设 f(x)在a，b可导，又 ，则 （分数：2.00）A.恒为正B.恒为负C.恒为 0D.变号20.设 f(x)，g(x)在(-，+)可导且 （分数：2.00）A.恒正B.恒负C.至少有一个零点D.单调21.函数 y=f(x)在(-，+)连续，其二阶导函数的图形如下图所示，则 y=f(x)的拐点的个数是 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.422.设0，+)区间上 y=f(x)的导函数的图
8、形如下图所示 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.423.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有垂直又有水平渐近线D.既有垂直又有斜渐近线24.设 f(x)=x 3 =3x 2 -9x-8，则 f(x)在(-，+)零点个数为（分数：2.00）A.1B.2C.3D.025.在区间(-，+)内方程 x 2 -xsinx-cosx=0（分数：2.00）A.无实根B.有且仅有一个实根C.有且仅有两个实根D.有无穷多个实根26.函数 f(x)在1，2有二阶导数，f(2)=0，F(x)=(x-1) 2 f(x)，则 F“(x)在(1，2)上（分数：2.00）A.没有零点B
9、.必有零点C.若有零点，必不止一个D.若有零点必唯一27.设 f(x)=ax 3 -6ax 2 +b 在区间-1，2上的最大值是 3，最小值是-29，且 a0，则（分数：2.00）A.a=2，b=-29B.a=3，b=2C.a=2，b=3D.以上都不对28.曲线 的点与单位圆 x 2 +y 2 =1 的点之间的最短距离为 d，则 Ad=1 B C0d1 D （分数：2.00）A.B.C.D.29.设 f(x)在a，b上有定义，在(a，b)内可导，则 A当 f(a)f(b)0 时， 使 f()=0 B对 ，有 C当 f(a)=f(b)时 ，使 f“()=0 D （分数：2.00）A.B.C.D.
10、30.设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是 Af(0)是极大值， 是极小值 Bf(0)是极小值， 是极大值 Cf(0)， 均是极大值 Df(0)， （分数：2.00）A.B.C.D.31.函数 （分数：2.00）A.单调上升B.单调下降C.为常数D.有两个单调性区间32.曲线 的斜渐近线为 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.33.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)二阶可导，又 f(a)=f(b)，f“(x)在a，b)连续，f“+(a)0，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.34.设 f(x)在0，+)上可导且有 n 个不同的零点：0x 1
11、 x 2 x n ，则 f(x)+f“(x)在0，+)内正确的性质是（分数：2.00）A.至少有 n 个零点B.至少有 n-1 个零点C.恰有 n 个零点D.至多有 n 个零点35.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)二阶可导，又 f(a)=f(b)，f“(x)0(x(a，b)，则下列结论成立的是 A在(a，b)内 f“(x)0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.36.以下四个命题中，正确的是（分数：2.00）A.若 f“(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界B.若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界C.若 f“(x)在(0，1)内有界，
12、则 f(x)在(0，1)内有界D.若 f(x)在(0，1)内有界，则 f“(x)在(0，1)内有界37.设 f(x)在(a，+)可导，则 f“(x)在(a，+)有界是 f(x)在(a，+)有界的（分数：2.00）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件38.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)内有二阶导数，且 f(a)=f(b)=0，f(c)0，其中 acb，则以下命题正确的是 A至少 一点 (a，b)，使得 f“()0 B至少 一点 (a，b)，使得 f“()=0 C至少 一点 (a，b)，使得 f“()0 D对 （分数：2.00）A.B.C.D.39
13、.设 f(x)在(a，b)可导，x 0 (a，b)是 f“(x)的间断点，则该间断点一定是 A可去间断点 B跳跃间断点 C无穷型间断点 D非无穷型第二类间断点 注：若 （分数：2.00）A.B.C.D.40.设 f(x)在 x=0 四阶可导，且在 x=0 某邻域 （分数：2.00）A.24B.36C.48D.6441.考察下列叙述： 设 f 2 (x)在 x=x 0 连续，则 f(x)在 x=x 0 连续 设 f(x)在 x=x 0 连续，则|f(x)|在 x=x 0 连续 设|f(x)|在a，b可积，则 f(x)在a，b可积 设 f(x)在a，b有界，只有有限个间断点，则|f(x)|在a，b
14、可积，即在a，b存在定积分 我们可知（分数：2.00）A.只有，正确B.只有，正确C.只有，正确D.只有，正确42.下列函数在指定区间上不存在定积分的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.43.设 f(x)在-a，a上是连续的偶函数，a0， （分数：2.00）A.g(x)是单调增的B.g(x)是单调减的C.g(x)是偶函数D.g(x)是奇函数44. A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.45.在下列定积分中，积分值等于零的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.46.下列用牛顿莱布尼兹公式计算定积分的作法中，错误的作法一共有 (1) (2) (3) (
15、4) （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个47.下列结论正确的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.48. A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.49.设 F(x)是 f(x)在(a，b)上的一个原函数，则 f(x)+F(x)在(a，b)上（分数：2.00）A.可导B.连续C.存在原函数D.是初等函数50.设 （分数：2.00）A.f(x)与 g(x)都存在原函数B.f(x)与 g(x)都不存在原函数C.f(x)存在原函数，g(x)不存在原函数D.f(x)不存在原函数，g(x)存在原函数考研数学二-249 答案解析(总分：100.00，做题时间
16、：90 分钟)一、选择题(总题数：50，分数：100.00)1.设曲线 y=lnx 与曲线 在点(x 0 ，y 0 )处有公切线，则常数 k 与切点分别为 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设知，(x 0 ，y 0 )同时满足 与 由得 ，代入得 y 0 =lnx 0 =2 (x 0 ，y 0 )=(e 2 ，2)， 2.设 f(x)=|x|sin 2 x，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n=（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 3.设 f(x)在 x 0 可导，且 f“(x 0 )0，则 （分数：2.00）A.f(x)在(x0-，x
17、+)单调上升B.f(x)f(x0)，x(x0-，x0+)，xx0C.f(x)f(x0)，x(x0，x0+) D.f(x)f(x0)，x(x0，x0+)解析：解析 由条件出发，按导数定义 及极限的不等式性质可知， ，当 x(x 0 -，x 0 +)，xx 0 时， 4.下列函数 f(x)中，导函数 f“(x)在 x=0 处不连续的是 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 关于 A，当 x0 时， 而 不存在 f“(x)在 x=0 不连续选 A B，C，D 中的三个，f(x)在 x=0 均连续， 直接求出 5.设 f(x)一阶可导，f(x)0，f“(x)0，则当 x0 时
18、 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由积分中值定理 (x，x+x)使得 (f“(x)0 f(x)是单调增加的) 因此选 A 由定积分的几何意义来分析，曲线 y=f(x)在 x 轴上方且单调增加 是曲边梯形 ABCD 的面积，f(x)x 是矩形 BCDE 的面积，因 此 选 A 6.设 f(x)对一切 x(-，+)满足方程(x-1)f“(x)+2(x-1)f“(x) 3 =1-e 1-x ，且 f(x)在 x-a(a1)处 f“(a)=0，则 x=a（分数：2.00）A.是_f(x)的极小值点 B.是 f(x)的极大值点C.不是 f(x)的极值点D.是 f(x)的拐
19、点解析：解析 因 f“(a)=0 于是有(a-1)f“(a)=1-e 1-a 。 显然 7.数列 （分数：2.00）A.50B.1000C.1600D.2000 解析：解析 考察 ，x1，求 f(x)在1，+)上的最大值点： 8.函数 的最大值为 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 f(x)为奇函数，f(x)0(x0)，f(x)0(x0)只须在区间0，+)上分析 f(x)的单调性 f(x)在0，+)上的最大值为 9.59 设 f(x)在a，+)连续，又 f(x)在a，x 0 单调上升，在x 0 ，+)单调下降， （分数：2.00）A.f(a)，f(x0)B.l，f(
20、x0)C.(l，f(x0)D.以上均不对 解析：解析 由题设 y=f(x)有两种可能的图形，由图形可看出 f(x)的值域 f(a)l 时 f(x)的值域是(l，f(x 0 ) f(a)l 时 f(x)的值域是f(a)，f(x 0 ) 因此选 D 因 f(x)在a，x 0 单调上升 f(a)f(x)f(x 0 )(axx 0 ) 因 f(x)在x 0 ，+)单调下降且 (x 0 x+) 现设 f(a)l，则 f(a)f(x)f(x 0 )(xa，+) 反之，对 f(a)，f(x 0 )，由连续函数介值定理，至少存在一点 x*a，x 0 a，+)，f(x*)= 因此 f(x)相应的值域是f(a)，
21、f(x 0 ) 当 f(a)l 时，则 lf(x)f(x 0 )(xa，+) 反之，对 (l，f(x 0 )，由于 ， x 1 x 0 ，f(x 1 ) 0)由连续函数介值定理10.设 f(x)在a，b可导， （分数：2.00）A.f“+(a)=0B.f“+(a)0C.f“+(a)0D.f“+(a)0 解析：解析 考察 选 D 11.设 f(x)处处可导，则下面命题正确的是 A若 ，则必有 B ，则必有 C ，则必有 D ，则必有 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：12.设 f(x)在(0，+)二阶可导，满足 f(0)=0，f“(x)0(x0)，又设 ba0，则 axb 时恒有（分数：
22、2.00）A.af(x)xf(a)B.bf(x)xf(b) C.xf(x)bf(b)D.xf(x)af(a)解析：解析 将 A，B 分别改写成 A： ，B： 于是，若能证明 或 xf(x)的单调性便可选得结论 令 g(x)=xf“(x)-f(x)， g(0)=0，g“(x)=xf“(x)0(x0) g(x)0(x0) 在(0，+)单调下降 当 axb 时， 13.设 f(x)在(1-，1+)内存在导数，f“(x)单调减少，且 f(1)=f“(1)=1，则（分数：2.00）A.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)x B.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC.在(1-，1)内有
23、 f(x)x，在(1，1+)内有 f(x)xD.在(1-，1)内有 f(x)x，在(1，1+)内有 f(x)x解析：解析 为考察 f(x)与 x 之间的关系，设 F(x)=f(x)-x，则 F“(x)=f“(x)-1，F“(x)在(1-，1+)单调减少，F“(1)=0，F(1)=0 当 x(1-，1)时 F“(x)F“(1)=0，因此 F(x)在(1-，1内单调递增，F(x)F(1)=0 即在(1-，1)，F(x)0 当 x(1，1+)时，F“(x)F“(1)=0，因此 F(x)在1，1+)内单调递减，F(x)F(1)=0，即在(1，1+)内F(x)0因此，选 A f“(x)在(1-，1+)严
24、格单调减少 f(x)在(1-，1+)是凸的 14.设函数 （分数：2.00）A.x=1 是 f(x)的极小值点B.x=1 是 f(x)的极大值点C.(1，f(1)是 y=f(x)拐点 D.(1，f(1)不是 y=f(x)拐点解析：解析 显然 f(x)处处连续 f(x)在(-，+)单调下降 15.设 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，1)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，1)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，1)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，1)也不是曲线 y
25、=f(x)的拐点解析：解析 显然 f(x)在(-，+)连续只须考祭 f 在 x=0 某空心邻域如 ，x0 时 f“(x)与f“(x)的变化 由此可得 x=0 是 f(x)的极值点，且(0，1)是曲线 y=f(x)的拐点因此选 C 由 y=cosx， 的图形可得 y=f(x)的图形 16.设 f(x)具有二阶连续导数，且 （分数：2.00）A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小值 C.(1，f(1)是曲线 f(x)的拐点坐标D.f(1)不是 f(x)的极值，(1，f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标解析：解析 因 ，由极限的保号性质，存在 0，当 0|x-1| 时 ，又
26、因(x-1) 2 0(x1)，所以当 0|x-1| 时，f“(x)0，因此 f“(x)在(1-，1+)单调递增，从而当 1-x1，f“(x)f“(1)=0，当 1x1+，f“(x)f“(1)=0，由取得极值的充分条件，f(1)是 f(x)的极小值因此选 B 特殊选取 f(x)满足： 取 17.设 f(x)在(-，+)可导，x 0 0，(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点，则 Ax 0 必是 f“(x)的驻点 B(-x 0 ，-f(x 0 )必是 y=-f(-x)的拐点 C(-x 0 ，-f(-x 0 )必是 y=-f(x)的拐点 D对 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析
27、 (x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点，f“(x 0 )不一定存在，所以不选 A拐点是函数的局部性质，(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点，只能保证在 x 0 的一个邻域内，y=f(x)的凹凸性相反，所以不选 D曲线 y=-f(x)与 y=f(x)关于 x 轴对称，(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点，不能保证(-x 0 ，-f(-x 0 )是 y=f(x)的拐点例如 y=f(x)=(x-1) 3 ，只有拐点(1，0)，但(-1，-f(-1)不是 y=-f(x)=-(x-1) 3 的拐点所以不选 C因此选 B 从几何上分析也很简单，y=f(x)与 y=-f(
28、-x)的图形关于原点对称x 0 0，(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点 18.设函数 f(x)在(-，+)上有定义，则下述命题中正确的是 A若 f(x)在(-，+)上可导且单调增加，则对一切 x(-，+)，都有 f“(x)0 B若 f(x)在点 x 0 处取得极值，则 f“(x 0 )=0 C若 f“(x 0 )=0，则(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点坐标 D若 f“(x 0 )=0，f“(x 0 )=0， （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 若在(-，+)上 f“(x)0，则一定有 f(x)在(-，+)上单调增加，但可导函数 f(x)在(-，+)
29、单调增加，只能有 f“(x)0(即可能在某些点上 f“(x)=0)例如 f(x)=x 3 在(-，+)上单调增加，f“(0)=0因此不选 A f(x)若在 x 0 处取得极值，且 f“(x 0 )存在，则有 f“(x 0 )=0，但当 f(x)在 x 0 处取得极值，在 x 0 处不可导，就得不到 f“(x 0 )=0，例如 f(x)=|x|在 x 0 =0 处取得极小值，它在 x 0 =0 处不可导，因此不选B 如果 f(x)在 x 0 处二阶导数存在，且(x 0 ，f(x 0 )是曲线的拐点坐标，则 f“(x 0 )=0，反之不一定，例如 f(x)=x 4 在 x 0 =0 处 f“(0)
30、=0，但 f(x)在(-，+)没有拐点，因此不选 C由上分析，应选 D 可以证明 D 是正确的 不妨设 由带皮亚诺余项的泰勒公式得 当 xx 0 时 o(1)为无穷小量由极限的保号性质 ，当 0|x-x 0 | 时， 19.设 f(x)在a，b可导，又 ，则 （分数：2.00）A.恒为正B.恒为负C.恒为 0 D.变号解析：解析 考察 ，则 F(a)-F(b)=0，且所给条件用 F(x)表示即 F“(x)+(F“(x) 2 -F(x)=0 (*) 若 F(x)在(a，b)恒正，则 F(x)在(a，b)取正最大值即 ，x 0 (a，b)由极大值点的性质 ，F“(x 0 )0 但由(*)式得 F“
31、(x 0 )=F(x 0 )0，这便矛盾 若 F(x)在(a，b)恒负，则 20.设 f(x)，g(x)在(-，+)可导且 （分数：2.00）A.恒正B.恒负C.至少有一个零点 D.单调解析：解析 考察 若 g(x)在a，b无零点 在a，b单调上升，与 21.函数 y=f(x)在(-，+)连续，其二阶导函数的图形如下图所示，则 y=f(x)的拐点的个数是 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 只须考察 f“(x)=0 的点与 f“(x)不存在的点 f“(x 1 )=f“(x 4 )=0，在 x=x 1 ，x 4 两侧 f“(x)变号，故凹凸性相反， 22.设0，+)区间上 y
32、=f(x)的导函数的图形如下图所示 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 只须考察 f“(x)=0 的点，这里就是 f“(x)的驻点，即 x=x 1 ，x 3 ，x 5 ，与 f“(x)不 的点，这就是 f“(x)的尖点 x 4 在 x=x 1 ，x 6 两侧 f“(x)的单调性相反，故凹凸性相反， (x 1 ，f(x 1 )，(x 6 ，f(x 6 )是y=f(x)的拐点，在 x=x 3 处，虽 f“(x 3 )=0，但 x=x 3 两侧 f“(x)均单调上升即 x=x 3 两侧 y=f(x)均是凹的，(x 3 ，f(x 3 )不是 y=f(x)的拐点虽然 f“(x 4 )
33、不 23.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有垂直又有水平渐近线D.既有垂直又有斜渐近线 解析：解析 考察间断点 x=0， ，所以，x=0 为曲线的垂直渐近线， 24.设 f(x)=x 3 =3x 2 -9x-8，则 f(x)在(-，+)零点个数为（分数：2.00）A.1 B.2C.3D.0解析：解析 (1)考察 f(x)的单调性区间 f“(x)=3x 2 -6x-9 在(-，-1，3，+)单调上升，在-1，3单调下降 (2)极值点处函数值符号 f(-1)=-30，f(3)0 (3)边界处极限值 综上分析，y=f(x)的图形如下图所示当 x(-，3时 f(x)0
34、，f(x)无零点 当 x3，+)时 f(x)单调上升，f(3)与 异号 f(x)在(3，+)存在唯一零点 25.在区间(-，+)内方程 x 2 -xsinx-cosx=0（分数：2.00）A.无实根B.有且仅有一个实根C.有且仅有两个实根 D.有无穷多个实根解析：解析 设 f(x)=x 2 -xsinx-cosx，f(x)在(-，+)为偶函数，因此只须讨论 x0 时的情形，f(0)=-10，f()= 2 +10，且 x(0，+)时 f“(x)=x(2-cosx)0，从而 f(x)在0，+)只有一个唯一实根，于是 f(x)在(-，+)内有且仅有两个实根选 C26.函数 f(x)在1，2有二阶导数
35、，f(2)=0，F(x)=(x-1) 2 f(x)，则 F“(x)在(1，2)上（分数：2.00）A.没有零点B.必有零点 C.若有零点，必不止一个D.若有零点必唯一解析：解析 F(x)在1，2上连续，(1，2)内可导且 F(1)=F(2)，由罗尔定理，至少存在一点 x 0 (1，2使 F“(x 0 )=0，又 F“(x)=2(x-1)f(x)+(x-1) 2 f“(x) F“(x 0 )=F“(1) F“(x)在1，x 0 上满足罗尔定理条件，所以，至少存在 (1，x 0 ) 27.设 f(x)=ax 3 -6ax 2 +b 在区间-1，2上的最大值是 3，最小值是-29，且 a0，则（分数
36、：2.00）A.a=2，b=-29B.a=3，b=2C.a=2，b=3 D.以上都不对解析：解析 令 f“(x)=3ax 2 -12ax=3ax(x-4)=0 得 x 1 =0，x 2 =4(不合题意舍去) f(0)=b，f(-1)=-7a+b，f(2)=-16a+b，由于 a0；所以，f(0)是最大值，f(2)是最小值 28.曲线 的点与单位圆 x 2 +y 2 =1 的点之间的最短距离为 d，则 Ad=1 B C0d1 D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由对称性只须考察 x0，y0 的情形因为任意给定曲线 上点 M(x，y)，它到单位圆周 x 2 +y 2 =1 的最短距
37、离点是 OM 连线 Ngat_立圆周的交点(见下图)单位圆 x 2 +y 2 =1 上各点到原点距离为 1，所以只需考察曲线 上点 M(x，y)到原点的距离的平方 的最小值即可 令 t=x 2 ， L 的最小值是 于是 29.设 f(x)在a，b上有定义，在(a，b)内可导，则 A当 f(a)f(b)0 时， 使 f()=0 B对 ，有 C当 f(a)=f(b)时 ，使 f“()=0 D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 我们已经知道，若 f(x)在a，b连续，在(a，b)可导，则 A、C、D 均正确这里只有 f(x)在(a，b)可导，没假设在a，b连续，不能保证 A，C，D 正
38、确 例如，由 可知 A 不正确 由 知 C，D 均不正确 因此选 B 对 ，f(x)在 点可导 在 点连续 30.设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是 Af(0)是极大值， 是极小值 Bf(0)是极小值， 是极大值 Cf(0)， 均是极大值 Df(0)， （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 用极值的第一充分判别法 f“(x)=xcosx+sinx-sinx=xcosx 取 0 充分小 选 B 用极值的第二充分判别法 f“(x)=xcosx，f“(x)=cosx-xsinx f“(0)=0，f“(0)=10 f(0)为极小值 31.函数 （分数：2.00）A.单调上
39、升B.单调下降C.为常数 D.有两个单调性区间解析：解析 归结为求 f“(x) 考察 f“(x)的分子： ，又 f(x)(初等函数)在定义域 连续 在 32.曲线 的斜渐近线为 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 x+时的斜渐近线为 y=x 33.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)二阶可导，又 f(a)=f(b)，f“(x)在a，b)连续，f“+(a)0，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由罗尔定理 ，f“( 0 )=0现对 f“(x)在a， 0 上用拉格朗日中值定理 ， 因此选 C 特取 f(x)=-x(1-x)=-x+x 3
40、 (x0，1) 34.设 f(x)在0，+)上可导且有 n 个不同的零点：0x 1 x 2 x n ，则 f(x)+f“(x)在0，+)内正确的性质是（分数：2.00）A.至少有 n 个零点B.至少有 n-1 个零点 C.恰有 n 个零点D.至多有 n 个零点解析：解析 注意 f(x)+f“(x)与 e x (f(x)+f“(x)=(e x f(x)“有相同的零点 f(x)在0，+)可导且有 n 个不同的零点 35.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)二阶可导，又 f(a)=f(b)，f“(x)0(x(a，b)，则下列结论成立的是 A在(a，b)内 f“(x)0 B C D （分数：2.00
41、）A.B.C. D.解析：解析 由罗尔定理知， ，f“()=0又 f“(x)0(x(a，b) f“(x)在(a，b)恒正或恒负 在(a，b)单调，36.以下四个命题中，正确的是（分数：2.00）A.若 f“(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界B.若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界C.若 f“(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界 D.若 f(x)在(0，1)内有界，则 f“(x)在(0，1)内有界解析：解析 举例否定错误的命题 ，它们在(0，1)均连续且无界A，B 不正确 在(0，1)有界，但 在(0，1)无界D 不正确应选 C
42、 联系 f“(x)与 f(x)的是拉格朗日中值定理取定 x 0 (0，1)，则由拉格朗日中值定理知，对 37.设 f(x)在(a，+)可导，则 f“(x)在(a，+)有界是 f(x)在(a，+)有界的（分数：2.00）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件 解析：解析 设 f(x)=x，则 f“(x)=1 在(a，)有界，但 f(x)在(a，+)无界 设 f(x)=sinx 2 ，则 f(x)在(a，+)有界，但 f“(x)=2xcosx 2 在(a，+)无界 时 38.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)内有二阶导数，且 f(a)=f(b)=0，f(
43、c)0，其中 acb，则以下命题正确的是 A至少 一点 (a，b)，使得 f“()0 B至少 一点 (a，b)，使得 f“()=0 C至少 一点 (a，b)，使得 f“()0 D对 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 分别在a，c，c，b上用拉格朗日中值定理， ， 2 (c，b)使得 在 1 ， 2 上再对 f“(x)用拉格朗日中值定理 使得 即 C 成立选 C 取 f(x)=x(1-x)，x0，1 f(0)=f(1)=0，f(x)0(x(0，1)，f“(x)=-2由此知 A，B 不正确若取 f(x)如图所示，则知 D 不对因此，选 C 39.设 f(x)在(a，b)可导，x 0
44、(a，b)是 f“(x)的间断点，则该间断点一定是 A可去间断点 B跳跃间断点 C无穷型间断点 D非无穷型第二类间断点 注：若 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 判断 f“(x)的间断点 x 0 的类型就要考察 若 均存在 由于 连续，与已知矛盾 A，B 不正确 若 ，与 矛盾同理，若 ，与 40.设 f(x)在 x=0 四阶可导，且在 x=0 某邻域 （分数：2.00）A.24B.36C.48 D.64解析：解析 由题设，即 即 即 与 f(x)在 x=0 的四阶麦克劳林公式 41.考察下列叙述： 设 f 2 (x)在 x=x 0 连续，则 f(x)在 x=x 0 连续 设 f
45、(x)在 x=x 0 连续，则|f(x)|在 x=x 0 连续 设|f(x)|在a，b可积，则 f(x)在a，b可积 设 f(x)在a，b有界，只有有限个间断点，则|f(x)|在a，b可积，即在a，b存在定积分 我们可知（分数：2.00）A.只有，正确B.只有，正确C.只有，正确 D.只有，正确解析：解析 由题目的设置可知，这四个命题中有两个是正确的，两个是错误的 由“ ，则 ”可得“若 ，则 ”，因此，若 f(x)在 x=x 0 连续，则|f(x)|在 x=x 0 连续，即正确 由 f(x)在a，b有界，只有有限个间断点，则|f(x)|在a，b也有界，也只有有限个间断点(因 f(x)的连续点必是|f(x)|的连续点)，因而|f(x)|在a，b可积即正确选 C 是不正确的，例如， 在 x=0 间断，但 f 2 (x)=1 在 x=0。连续也是错的，例如 ，则 42.下列函数在指定区间上不存在定积分的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 f(x)在a，b 定积分的必要条件是 f(x)在a，b有界因此，若 f(x)在a，b无界，则 f(x)在a，b不 定积分 函数 C 在 无界 在 不 定积分选 C f(x)
