1、考研数学二-248 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：50，分数：100.00)1.有以下命题： （分数：2.00）A.0B.1C.2D.32.设 ，则下列命题中不正确的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.3.下列叙述正确的是 A如果 f(x)在 x 0 某邻域内无界，则 B如果 ，则 f(x)在 x 0 某邻域内无界 C 不存在，则 D如果 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设有下列命题 数列x n 收敛(即 极限 ，则 x n 有界 数列极限 其中 l 为某个确定的正整数 数列 数列极限 （分数：2.00）A.1B.2C.
2、3D.45.设 x n z n y n 且 ，则 （分数：2.00）A.存在且等于零B.存在但不一定等于零C.不一定存在D.一定不存在6.下列命题中正确的是 A若 ，当 0|x-x 0 | 时 f(x)g(x) B若 使得当 0|x-x 0 | 时有 f(x)g(x)且 均 ，则 A 0 B 0 C若 ，当 0|x-x 0 | 时 D若 （分数：2.00）A.B.C.D.7. ，则当 x1 时有 A B C D 不存在，且 （分数：2.00）A.B.C.D.8.若 ，则 为 A0 B3 C （分数：2.00）A.B.C.D.9. A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.10.已知
3、（分数：2.00）A.a=-4，b=2B.a=4，b=-2C.a=3，b=-2D.a=-3，b=211.下列各题计算过程中正确无误的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.12.设 x0 时 ax 2 +bx+c=cosx 是比 x 2 高阶无穷小，其中 a，b，c 为常数，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.13.当 x0 时下列无穷小中阶数最高的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 xa 时 f(x)与 g(x)分别是 x-a 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是 f(x)g(x)是 x-a 的 n+m 阶无穷小
4、若 nm，则 是 x-a 的 n-m 阶无穷小 若 nm，则 f(x)+g(x)是 x-a 的 a 阶无穷小 若 f(x)连续，则 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.415.以下极限等式(若右端极限存在，则左端极限存在且相等)成立的个数是 (1)设 且 f 1 (x)f 2 (x)(xa)，又 ，则 (2)设 ，f i (x)0，(0|x-a|)，i=1，2，且 f 1 (x)f 2 (x)，g 1 (x)g 2 (x)(xa)，则 (3)设 又 ，则 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.316.设 f(x)对一切 x 1 ，x 2 满足 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f
5、(x 2 )，f(x)在 x=0 连续设 x 0 0 为任意实数，则（分数：2.00）A.limf(x)不存在B.limf(x)存在，但 f(x)在 x0 不连续C.f(x)在 x0 连续D.f(x)在 x0 的连续性不确定17.设 （分数：2.00）A.x=0 与 x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0 与 x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点18.设数列极限函数 （分数：2.00）A.I=(-，+)，J=(-，+)B.1=(-1，+)，
6、J=(-1，1)(1，+)C.I=(-1，+)，J=(-1，+)D.I=(-1，1)，J=(-1，1)19.设 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x 0 间断，则在点 x 0 处必定间断的函数是（分数：2.00）A.f(x)sinxB.f(x)+sinxC.f2(x)D.|f(x)|20.“f(x)在 x 0 点连续”是|f(x)|在 x 0 点连续的（分数：2.00）A.充分条件，但不是必要条件B.必要条件，但不是充分条件C.充分必要条件D.既不是充分，也不是必要条件21.设 f(x)=g(x)(x)，其中 g(x)，(x)在 x=x 0 邻域 U 有定义，g(x)在
7、x=x 0 连续，(x)在 x=x 0 不连续，但在 U 有界，则 g(x 0 )=0 是 f(x)在 x=x 0 连续的（分数：2.00）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件22.f(x)在 x 0 处存在左、右导数，则 f(x)在 x 0 点（分数：2.00）A.可导B.连续C.不可导D.不连续23.下列命题中正确的个数是 (x)在 x=x 0 连续，f(u)在 u 0 =(x 0 )连续，则 f(x)在 x=x 0 连续 (x)在 x=x 0 连续，f(u)在 u 0 =(x 0 不连续，f(x)在 x=x 0 不连续 (x)在 x=x 0 不连续，f
8、(u)在 u 0 =(x 0 连续，则 f(x)在 x=x 0 不连续 (x)在 x=x 0 不连续，f(u)在 u 0 =(x 0 不连续，则 f(x)在 x=x 0 可能连续（分数：2.00）A.1B.2C.3D.424.设 （分数：2.00）A.f(x)在(-，0有界，在0，+)无界B.f(x)在(-，0无界，在0，+)有界C.f(x)在(-，0，0，+)均有界D.f(x)在(-，0，0，+)均无界25.设 f(x)在a，+)连续，则“ （分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件26.下列函数中在1，+)无界的是 A B C D （分数：2
9、.00）A.B.C.D.27.设 是实数 （分数：2.00）A.-1B.-10C.01D.128.设 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导29.设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=f“(0)=0，f“(x)0，又设 u=u(x)是曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，则 A1 B2 C （分数：2.00）A.B.C.D.30.设存在常数 K0 使得 （分数：2.00）A.f(x)在(a，b)有间断点B.f(x)在(a，b)连续，但有不可导点C.f(x)在(a，b)可导，f“(x)0D.f(x)在(a，b)可导，f“(x
10、)031.设 f(0)=0 则 （分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件32.设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述： (1)若 f(x)g(x)，则 f“(x)g“(x) (2)若 f“(x)g“(x)则 f(x)g(x) 则（分数：2.00）A.(1)、(2)都正确B.(1)、(2)都不正确C.(1)正确，但(2)不正确D.(2)正确，但(1)不正确33.设 f(x)是以 3 为周期的可导函数且 f“(4)=1，则 （分数：2.00）A.5B.3C.9D.734.设 y=f(x)在(a，b)可微，则下列结论中正确的
11、个数是 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.435.设函数 f(x)在(-，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(-x)，当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当x0 时，有：（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)036.设 f(x)在 x=0 可导，且 ，则 f“(0)= Aln2 B （分数：2.00）A.B.C.D.37.设 f(x)在 x=x 0 连续且满足 f(x)=2(x-x 0 )+o(x-x 0 ) (xx 0 ) 则 y=f(x)在 x=x 0 处的微分 （分数：2.0
12、0）A.同阶非等价无穷小B.等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小38.设 x=y-siny(01 为常数)，它的反函数是 y=y(x)，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.39.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x0。处必可导且 f“(x0)=aB.f(x)在 x=x0 处必连续，但未必可导C.f(x)在 x=x0 处必有极限但未必连续D.以上结论都不对40.设 为大于零的常数，h(x)在 x 0 无定义， （分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件41.以下四个结论中正确的是：（分数：2.00）A.设 f(x)在-a
13、，a是偶函数，f“+(0)存在，则 f“(0)存在B.设 f(x)在-a，a是偶函数，则 x=0 是 f(x)的极值点C.设 f(x)在-a，a是奇函数，f“+(0)存在，则 f“(0)存在D.设 f(x)在 x=x0 可导，则曲线 y=f(x)在(x0，f(x0)处存在切线，反之亦然42.设 f(x)=I(x-1)(x-2) 2 (x-3) 3 ，则 f“(x)不存在的点个数是（分数：2.00）A.0B.1C.2D.343.设连续函数 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g“(a)存在，则 g(a)=0，g“(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的（分数：2.00）
14、A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件44.函数 f(x)-(x 2 +x-2)|sin2x 在 （分数：2.00）A.3B.2C.1D.045.如下四个函数中，在 x=0 处可导的函数是 A Bf(x)=arctan|x| C D （分数：2.00）A.B.C.D.46.设 f(x)在 x=0 连续，又 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 可导，f“(0)=0B.f(x)在 x=0 可导，f“(0)0C.f“+(0)，f“-(0)均存在但 f“+(0)f“-(0)D.f“+(0)与 f“-(0)不存在47.设 处处可导，则(a，b)等于 Aa 任意，
15、B C D （分数：2.00）A.B.C.D.48.设 可出，则(b，c)= A(2，1) B(1，0) C （分数：2.00）A.B.C.D.49.设直线 y=ax+b 同时与曲线 y=x 2 及 （分数：2.00）A.a=-4，b=-4B.a=-3，b=-4C.a=-4，b=-3D.a=-3，b=-350.在曲线 上任一点 P(x，y)处作切线，该切线分别交 x 轴与 y 轴于 A 和 B(如下图所示)，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.考研数学二-248 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：50，分数：100.00)1.有以下命题：
16、 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 举反例说明，均错，例如 则 均不 ，但 故，不正确 若取 f(x)=0，则 ，故也不正确 按题设，易知 (否则，若 ，则 2.设 ，则下列命题中不正确的是 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 易知，两个正无穷大量之和与之积均是正无穷大量，即(A)、(D)正确又正无穷大量与有界量之和仍为正无穷大量，即(C)也正确因此，(B)不正确选(B) 我们知道，当 A=0 时， 3.下列叙述正确的是 A如果 f(x)在 x 0 某邻域内无界，则 B如果 ，则 f(x)在 x 0 某邻域内无界 C 不存在，则 D如果 ，则
17、（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 ，所以，对于任意 M0，存在 0，当 0|x-x 0 | 时，|f(x)|M 由此可得 f(x)在 x 0 的某邻域内无界，因此选(B) 举反例说明(A)、(C)、(D)均不成立设 ，则 x n 0，y n 0(n) f(x)在 x=0 邻域无界，但 x0 时 f(x)不是无穷大量也说明 此例说明 A，C 不正确 若令 f(x)=o(常数函数)，则 ，但 4.设有下列命题 数列x n 收敛(即 极限 ，则 x n 有界 数列极限 其中 l 为某个确定的正整数 数列 数列极限 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 若极限 ，
18、则 x n 有界这是我们应熟悉的基本定理，即正确关于，的正确性，从直观上理解即可 x n ：x 1 ，x 2 ，x 3 ，x n ， x n+l ：x 1+l ，x 2+l ，x 3+l ，x n+1 ， x n 中去掉前 l 项即 x n+l x 2n-1 ：x 1 ，x 3 ，x 5 ，x 2n-1 ， x 2n ：x 2 ，x 4 ，x 6 ，x 2n ， 它们一起涵盖了 x n 的所有项 命题是错的例如 ，但 5.设 x n z n y n 且 ，则 （分数：2.00）A.存在且等于零B.存在但不一定等于零C.不一定存在 D.一定不存在解析：解析 由 又因 但不保证 存在例如， 取 ，
19、 ，此时有 x n z n y n 且 6.下列命题中正确的是 A若 ，当 0|x-x 0 | 时 f(x)g(x) B若 使得当 0|x-x 0 | 时有 f(x)g(x)且 均 ，则 A 0 B 0 C若 ，当 0|x-x 0 | 时 D若 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 D 正确D 正是极限的不等式性质中所述的结论A 的错误在于由 7. ，则当 x1 时有 A B C D 不存在，且 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 其中 所以选 D 注意 ，因而 8.若 ，则 为 A0 B3 C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 又 所以 选 C 对
20、sin3x 2 用泰勒公式由 令 t=3x 2 得 于是 9. A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 先作如下变形 10.已知 （分数：2.00）A.a=-4，b=2B.a=4，b=-2 C.a=3，b=-2D.a=-3，b=2解析：解析 将已知条件改写成 即 其中 11.下列各题计算过程中正确无误的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 是错的因为 n 是正整数，对数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则 B 是错的因为 已不是未定式，不能用洛必达法则 C 也是错的用洛必达法则求 型极限 时，若 不存在，也不为，则法则失效，不能推出原
21、极限不存在，事实上该极限是存在的因此选 D D 是正确的 用洛必达法则求 型极限 时， 若 (有限数)，则 若 ，D 正是后一种情形 A，B，C 的正确解法是： A B C 12.设 x0 时 ax 2 +bx+c=cosx 是比 x 2 高阶无穷小，其中 a，b，c 为常数，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由题意得 得 c=1 又因为 所以 b=0， 因此选 C 因 ，于是 因此， 13.当 x0 时下列无穷小中阶数最高的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 逐一分析它们的阶 A(考察等价无穷小) (1+x) x2 -1ln(
22、1+x) x2 -1+1=x 2 ln(1+x)x 3 (x0)， (1+x) x2 -1 是 x 的 3 阶无穷小 B(考察等价无穷小) 是 x 的 1 阶无穷小 C(待定阶数法) 是 x 的 6 阶无穷小 D(待定阶数法或泰勒公式法) 是 x 的 2 阶无穷小 或用泰勒公式已知 14.设 xa 时 f(x)与 g(x)分别是 x-a 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是 f(x)g(x)是 x-a 的 n+m 阶无穷小 若 nm，则 是 x-a 的 n-m 阶无穷小 若 nm，则 f(x)+g(x)是 x-a 的 a 阶无穷小 若 f(x)连续，则 （分数：2.00）A.
23、1B.2C.3 D.4解析：解析 此类问题要逐一分析，按无穷小阶的定义： 是(x-a)的 n+m 阶无穷小； 又，若 nm， 是(x-a)的 n-m 阶无穷小； 因此，正确再考察 由此得，当 nm 时 f(x)+g(x)是 x-a 的 n 阶无穷小 当 n=m 时 f(x)+g(x)是 x-a 的 n 阶(A+B0)或高于 n 阶(A+B=0)的无穷小 例如，x0 时，sinx 与-x 均是 x 的一阶无穷小，但 即 sinx+(-x)是 x 的三阶无穷小； 因此不正确 最后考察 15.以下极限等式(若右端极限存在，则左端极限存在且相等)成立的个数是 (1)设 且 f 1 (x)f 2 (x)
24、(xa)，又 ，则 (2)设 ，f i (x)0，(0|x-a|)，i=1，2，且 f 1 (x)f 2 (x)，g 1 (x)g 2 (x)(xa)，则 (3)设 又 ，则 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析 要逐一分析我们证明(1)，(2)，(3)成立 关于(1) 其中 这里 ln(1+f i (x)f i (x)(xa，i=1，2) 关于(2) 关于(3)可直接证明： 因此 16.设 f(x)对一切 x 1 ，x 2 满足 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 )，f(x)在 x=0 连续设 x 0 0 为任意实数，则（分数：2.00）A.limf(x
25、)不存在B.limf(x)存在，但 f(x)在 x0 不连续C.f(x)在 x0 连续 D.f(x)在 x0 的连续性不确定解析：解析 按定义考察 f(x)在 x 0 的连续性，即考察 由条件得 f(x 0 +x)=f(x 0 )+f(x) 又由 f(x)在 x=0 连续 f(x)在 x 0 是否连续，取决于 f(0)是否为零。由 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 ) 若令 x 2 =0 f(x 1 )=f(x 1 )+f(0) f(0)=0 因此 17.设 （分数：2.00）A.x=0 与 x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0 与 x=1 都是 f(x)的第二类
26、间断点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点 D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点解析：解析 是 f(x)的第一类间断点 又 18.设数列极限函数 （分数：2.00）A.I=(-，+)，J=(-，+)B.1=(-1，+)，J=(-1，1)(1，+) C.I=(-1，+)，J=(-1，+)D.I=(-1，1)，J=(-1，1)解析：解析 |x|1 时， x=1 时 x1 时 x-1 时 x=1 时 无定义 因此，f(x)在 x-1 无定义 19.设 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x 0 间断，则在
27、点 x 0 处必定间断的函数是（分数：2.00）A.f(x)sinxB.f(x)+sinx C.f2(x)D.|f(x)|解析：解析 若 f(x)+sinx 在 x=x 0 连续 f(x)=(f(x)+sinx)-sinx 在 x=x 0 连续，与已知矛盾因此 f(x)+sinx 在 x 0 必间断选 B 举反例说明 A，C，D 不对 设 则 f(x)在 x=0 间断， 在 x=0 连续 若设 在 x=0 间断，但 20.“f(x)在 x 0 点连续”是|f(x)|在 x 0 点连续的（分数：2.00）A.充分条件，但不是必要条件 B.必要条件，但不是充分条件C.充分必要条件D.既不是充分，也
28、不是必要条件解析：解析 由“若 ，则 ”可得“如果 ，则 ”因此，f(x)在 x 0 连续，则|f(x)|在 x 0 连续，但|f(x)|在 x 0 处连续，f(x)在 x 0 处不一定连续 如 21.设 f(x)=g(x)(x)，其中 g(x)，(x)在 x=x 0 邻域 U 有定义，g(x)在 x=x 0 连续，(x)在 x=x 0 不连续，但在 U 有界，则 g(x 0 )=0 是 f(x)在 x=x 0 连续的（分数：2.00）A.充要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：解析 若 g(x 0 )=0，由假设条件： ，(x)在 x 0 邻域有界 f(x
29、)在 x=x 0 连续 若 f(x)在 x=x 0 连续，可证 g(x 0 )=0，若 g(x 0 )0， 22.f(x)在 x 0 处存在左、右导数，则 f(x)在 x 0 点（分数：2.00）A.可导B.连续 C.不可导D.不连续解析：解析 直接从条件出发，由 f“+(x 0 )，f“-(x 0 )均 在 x=x 0 既左又右连续， 23.下列命题中正确的个数是 (x)在 x=x 0 连续，f(u)在 u 0 =(x 0 )连续，则 f(x)在 x=x 0 连续 (x)在 x=x 0 连续，f(u)在 u 0 =(x 0 不连续，f(x)在 x=x 0 不连续 (x)在 x=x 0 不连续
30、，f(u)在 u 0 =(x 0 连续，则 f(x)在 x=x 0 不连续 (x)在 x=x 0 不连续，f(u)在 u 0 =(x 0 不连续，则 f(x)在 x=x 0 可能连续（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 在复合函数连续性问题的结论中，只有一个结论是确定的，即结论是正确的，其余情形则结论不确定，因而，是错误的，而是正确的因此选 B24.设 （分数：2.00）A.f(x)在(-，0有界，在0，+)无界B.f(x)在(-，0无界，在0，+)有界 C.f(x)在(-，0，0，+)均有界D.f(x)在(-，0，0，+)均无界解析：解析 显然 f(x)在(-，+)可导，为
31、考察 f(x)在0，+)或(-，0的有界性问题，我们需要求极限 在0，+)有界 注意 25.设 f(x)在a，+)连续，则“ （分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件解析：解析 若 x n a，+)使得 ， ，则 f(x)在a，+)无界若 f(x)在a，+)有界，即|f(x)|M(xa，+) |f(x n )|M 与 矛盾 若 f(x)在a，+)无界 对 自然数 n，f(x)在n，+)无界 x n n，+)， 26.下列函数中在1，+)无界的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 直接指出某函数在1，+)无界取 x
32、 n =n 2 2 ， ，对于 C ， C 中 f(x)在1，+)无界 指出三个函数在1，+)有界对于 A，B，D 中 f(x)均在1，+)连续，又 A 有界 有界 有界，即 B 在1，+)有界 27.设 是实数 （分数：2.00）A.-1 B.-10C.01D.1解析：解析 显然，f“-(1)=0由右导数定义 (当 +10 时该极限不存在) 因此，仅当 +10，即 -1 时，f“(1)存在(f“(1)=0)因此选 A 不存在，但 是有界量，又 要使 存在，必须 28.设 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导 D.可导解析：解析 先分别考察左、右可导性 显然
33、，f(0)=0 29.设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=f“(0)=0，f“(x)0，又设 u=u(x)是曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，则 A1 B2 C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 任取 x 0 0，则曲线 y=f(x)在 x 0 处的切线方程为 y-f(x 0 )=f“(x 0 )(x-x 0 )，令 y=0得它在 x 轴上截距为： 因此，曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线在 z 轴上的截距为 ，下求 由于 于是 方法 2 直接用洛必达法则求这个 型极限 因此选 B 方法 3 用泰勒公式 代入得 30.设存在常数 K0
34、使得 （分数：2.00）A.f(x)在(a，b)有间断点B.f(x)在(a，b)连续，但有不可导点C.f(x)在(a，b)可导，f“(x)0D.f(x)在(a，b)可导，f“(x)0 解析：解析 对 x，x 0 (a，b)有 令 31.设 f(0)=0 则 （分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件解析：解析 当 f(0)=0 时， 32.设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述： (1)若 f(x)g(x)，则 f“(x)g“(x) (2)若 f“(x)g“(x)则 f(x)g(x) 则（分数：2.00）A.(1)、(
35、2)都正确B.(1)、(2)都不正确 C.(1)正确，但(2)不正确D.(2)正确，但(1)不正确解析：解析 考虑例 1：f(x)=e -x ，g(x)=-e -x 。，显然 f(x)g(x)，但 f“(x)=-e -x ，g“(x)=e -x ，此时 f“(x) 考虑例 2：f(x)=-e -x，g(x)=e -x，f“(x)=e -x，g“(x)=-e -x，f“(x)g“(x)，但 f(x)g(x)所以(2)不正确因此选 B33.设 f(x)是以 3 为周期的可导函数且 f“(4)=1，则 （分数：2.00）A.5B.3C.9 D.7解析：解析 f“(x)也以 3 为周期 f“(1)=f
36、“(4)，我们可由 f“(1)可得极限值 I 34.设 y=f(x)在(a，b)可微，则下列结论中正确的个数是 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 要逐一分析 因为 与 x 是同阶无穷小，正确 df(x)=f“(x)x，df(x)与 x(a，b)及 x 有关，故不正确 当 y=f(x)为一次函数：f(x)=ax+b， 35.设函数 f(x)在(-，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(-x)，当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当x0 时，有：（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0 D.f“(x)
37、0，f“(x)0解析：解析 由 f(x)=f(-x)可知 f(x)为偶函数，因偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数，即f“(x)为奇函数，f“(x)为偶函数，因此当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0选 C36.设 f(x)在 x=0 可导，且 ，则 f“(0)= Aln2 B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由条件 再由 f(x)的连续性 f(0)=0 现用等价无穷小因子替换 37.设 f(x)在 x=x 0 连续且满足 f(x)=2(x-x 0 )+o(x-x 0 ) (xx 0 ) 则 y=f(x)在 x=x 0 处
38、的微分 （分数：2.00）A.同阶非等价无穷小 B.等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析 按题设 于是，题设可写成 f(x)-f(x 0 )=2(x-x 0 )+o(x-x 0 )(xx 0 ) 按微分的定义 38.设 x=y-siny(01 为常数)，它的反函数是 y=y(x)，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 用反函数求导法先求出 再由复合函数求导法得 39.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x0。处必可导且 f“(x0)=aB.f(x)在 x=x0 处必连续，但未必可导C.f(x)在 x=x0 处必有极限但未必连续D.以上结论都不对
39、解析：解析 首先将 f(x)在 x=x 0 处的左右导数 与 f“(x)在 x=x 0 处的左右极限 区分开来 ，只能得出 ，但不能保证 f(x)在 x 0 处可导，以及在 x=x 0 处连续和极限存在 例如 显然，x0 时，f“(x)=1 因此 但 因而 40.设 为大于零的常数，h(x)在 x 0 无定义， （分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析：解析 首先考察 f(x)在 x=x 0 的连续性 f(x)在 x=x 0 连续 ，则 g(x)在 x=x 0 左连续) 补充定义 h(x 0 )=a，则 当 g(x 0 )=a 时 因此在
40、题设条件下，f(x)在 x=x 0 可导 41.以下四个结论中正确的是：（分数：2.00）A.设 f(x)在-a，a是偶函数，f“+(0)存在，则 f“(0)存在B.设 f(x)在-a，a是偶函数，则 x=0 是 f(x)的极值点C.设 f(x)在-a，a是奇函数，f“+(0)存在，则 f“(0)存在 D.设 f(x)在 x=x0 可导，则曲线 y=f(x)在(x0，f(x0)处存在切线，反之亦然解析：解析 C 是正确的 设 f(x)在-a，a是奇函数 f(0)=0因存在 选 C A，B，D 不正确 如下图所示，f(x)在-a，a是偶函数， ，故 f“(0)不存在 如 ，在-a，a是偶函数，但
41、 x=0 不是极值点 在 x=0 有垂直于 x 轴的切线， 42.设 f(x)=I(x-1)(x-2) 2 (x-3) 3 ，则 f“(x)不存在的点个数是（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 设 (x)=(x-1)(x-2) 2 (x-3) 3 ，f(x)=|(x)|，使 (x)=0 的点 x=1，x=2，x=3 可能是，f(x)的不可导点，还需考虑 “(x)在这些点的值，“(x)=(x-2) 2 (x-3) 3 +2(x-1)(x-2)(x-3) 3 +3(x-1)(x-2) 2 (x-3) 3 ，显然，“(1)0，“(2)=0，“(3)=0，所以只有一个不可导点 x=1
42、43.设连续函数 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g“(a)存在，则 g(a)=0，g“(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的（分数：2.00）A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件解析：解析 因 (x)在 x=a 不可导，所以不能对 F(x)用乘积的求导法则，用定义求 F“(a)题设 (x)以 x=a 为跳跃间断点，则存在 当 g(a)=0 时 这表明，g(a)=0 时，F“(a)存在 下面证明若 F“(a)存在则 g(a)=0 反证法，若 g(a)0， 44.函数 f(x)-(x 2 +x-2)|sin2x 在 （分数：2
43、.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析 设 g(x)=x 2 +x-2，(x)=|sin2x|，显然 g(x)处处可导，(x)处处连续，有不可导点 由类似可证：若 g(x)在 x=a 处可导，(x)在 x=a 处连续但不可导，则当 g(a)0 时 g(x)(x)在 x=a 处不可导，当 g(a)=0 时，g(x)(x)在 x=a 处可导，且 ，只须考察 (x)不可导点处 g(x)是否为零 (x)=|sin2x|的图形如下图所示，在 内只有不可导点 x=0， ，1，其余均可导 因为 g(0)=-20， ，g(1)=0 所以 f(x)=g(x)(x)在 45.如下四个函数中，在 x=0 处可
44、导的函数是 A Bf(x)=arctan|x| C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 已知|x|， 在 x=0 不可导又 x0 时，e |x| -1|x|，arctan|x|x|， 对 A、B 对 D 即 A，B，D 在 x=0 不可导选 C 按导数定义，对 C 直接计算 46.设 f(x)在 x=0 连续，又 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 可导，f“(0)=0B.f(x)在 x=0 可导，f“(0)0C.f“+(0)，f“-(0)均存在但 f“+(0)f“-(0) D.f“+(0)与 f“-(0)不存在解析：解析 由条件 由 47.设 处处可导，则(a，b)等于
45、 Aa 任意， B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 显然，x0 与 x0 时对 a，b 之值 f(x)均可导关键是 x=0 处 注意 首先要使 f(x)在 x=0 连续 由 得 此时 再定 b 使 f(x)在 x=0 可导 由 得 48.设 可出，则(b，c)= A(2，1) B(1，0) C （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 |x|1 时显然可导由于 f(x)是偶函数，故只须考察 x=1 首先要求 f(x)在 x=1 连续，即 即 又 49.设直线 y=ax+b 同时与曲线 y=x 2 及 （分数：2.00）A.a=-4，b=-4 B.a=-3，b=-4C.a=-4，b=-3D.a=-3，b=-3解析：解析 设 y=ax+b 与 y=x 2 的切点为 与 的切点为 曲线 y=x 2 在 处的切线方程是 曲线 在切点 处的切线方程是 于是常数 a，b 同时满足 50.在曲线 上任一点 P(x，y)处作切线，该切线分别交 x 轴与 y 轴于 A 和 B(如下图所示)，则 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 任意点 处的切线方程是 即 其中(X，Y)为切线上点的坐标，分别令 Y=0，X=0 得 A 与 B 的坐标为(2x，0)， ，于是 即
