1、考研数学二-235 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 ax 1x 2x 36，y=f(x)在(a，b)内二阶可导且，f“(x)0(x(a，b)，又（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 又 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y 0)=Fx(x0，y 0)=0，F y(x0，y 0)0，F“ xx(x0，y 0)0由方程 F(x，y)=0 在 x0的某邻域确
2、定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导数，且y(x0)=y0，则（分数：4.00）A.y(x)以 x=x0为极大值点B.y(x)以 x=x0为极小值点C.y(x)在 x=x0不取极值D.无法判断上述结论是否成立6.设有以下函数 （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 1， 2， 3， 4是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是（分数：4.00）A.如果 4不能由 1， 2， 3线性表出，则 1， 2， 3线性相关B.如果 1， 2， 3线性相关， 2， 3， 4线性相关，那么 1， 2， 4也线性相关C.如果 3不能由 1， 2线性表出， 4不能由 2， 3线性表出，则 1可以由 2，
3、 3， 4线性表出D.如果秩 r( 1， 1+ 2， 2+ 3)=r( 4， 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4)，则 4可以由 1， 2， 3线性表出8.设 ，在 x=0 处二阶可导，则常数 a，b，c 分别是（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=f(x)二阶可导，f(x)0，它的反函数是 x=(y)，又 f(0)=1，f(0)= ，f“(0)=-1，则（分数：4.00）填空项 1:_10.设 a 为常数，则数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 y=sin4x，则 y(n)=_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x)在0
4、，+)连续，在(0，+)可导，x(0，+)时 f(x)0 且单调上升，x=g(y)为 y=f(x)的反函数，它们满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 f(u)连续，且 du(x，y)=f(xy)(ydx+xdy)，则 u(x，y)=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 ， 都是 n 维非零列向量，矩阵 A=2E- T，其中 E 是 n 阶单位矩阵若 A2=A+2E，则 T=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_16.设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要作多少功?(假设在
5、球从水中取出的过程中水面的高度不变)（分数：10.00）_17.就常数 k 的不同取值情况，确定方程 lnx=kx 的正根的个数（分数：10.00）_18.作自变量替换 ，把方程（分数：10.00）_19.设 u=u(x，y)由方程组确定，其中 (v)，(v)有连续的二阶导数且 y“(v)+“(v)0，求证：（分数：11.00）_20.求累次积分 （分数：10.00）_21.设函数 f(x)在(-l，l)上连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)0() 求证： 给定的 0x1， 01，使得() 求极限 （分数：11.00）_22.设 A 是 n 阶反对称矩阵，() 证明：A 可逆的必要条件是
6、n 为偶数；当 n 为奇数时，A *是对称矩阵；() 举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子；() 证明：如果 是 A 的特征值，那么- 也必是 A 的特征值（分数：11.00）_23.已知矩阵 和 （分数：11.00）_考研数学二-235 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 如 A=，则 A(k)=(k)，即若 是 A 属于特征值 的特征向量，则 k(k0)仍是矩阵 A 属于特征值 的特征向量如 A 1= 1，A 2= 2，则 A(k1 1+k2 2)=(k 1 1+k2 2)
7、，即若 1， 2是 A 属于特征值 的特征向量，则 k1 1+k2 2(非零时)仍是 A 属于特征值 A 的特征向量注意，如 A 1= 1 1，A 2= 2 2， 1 2，则 1+ 2， 1- 2等都不是矩阵 A 的特征向量所以(A)，(B)，(C)均正确，唯(D)中 2+ 3不再是矩阵 A 的特征向量，故(D)不正确，应选(D)*2.设 ax 1x 2x 36，y=f(x)在(a，b)内二阶可导且，f“(x)0(x(a，b)，又（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析一 由题设条件知，y=f(x)是(a，b)上的凸函数，且 k1，k 2，k 3分别是右图中所示线段*的斜率由*的斜率*的
8、斜率*的斜率，得 k 1k 3k 2，因此选(B)*分析二 为比较 k1，k 3的大小关系，考察函数*F(x)在(x 1，b)为减函数*F(x 2)F(x 3)，即 k1k 3为比较 k2，k 3的大小关系，考察函数*(k2=G(x2)，k 3=G(x1)，同理由*G(x)在(a，x 3)为减函数*G(x 1)G(x 2)，即 k3k 2综上分析可知，k 1k 3k 2因此选(B)3.设 又 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析一 F(x)是分段函数的变限积分，先求出 F(x)当 0x1 时，*当 1x2 时，*即 *于是 *因此选(B)分析二 不必求出 F(x)由于*(f(t)在0
9、，1上连续)，而*(f(t)在1，2上连续)，因此选(B)*4.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 D 1，D 2均是以原点为圆心，半径分别为 R，*的圆，D 3是正方形，边长 2R，如图所示因为*，又被积函数*连续，且恒正，则I1I 3I 2故应选(C)*5.设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y 0)=Fx(x0，y 0)=0，F y(x0，y 0)0，F“ xx(x0，y 0)0由方程 F(x，y)=0 在 x0的某邻域确定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导数，且y(x0)=y0，则（分数：4.00）A.y(x)以 x=x
10、0为极大值点B.y(x)以 x=x0为极小值点 C.y(x)在 x=x0不取极值D.无法判断上述结论是否成立解析：分析 按隐函数求导法，y(x)满足*令 x=x0，相应地 y=y0得 y(x0)=0将上式再对 x 求导(注意 y=y(x)得*再令 x=x0，相应地 y=y0得*因*因此，x=x 0是 y=y(x)的极小值点故选(B)6.设有以下函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 按定义分析，即分析*的存在性，并要逐一分析* f(x)在点 x=0 处可导*f(x)在点 x=0 处不可导*f(x)在点 x=0 处可导*f(x)在点 x=0 处不可导因此选(B)*7.已知 1， 2
11、， 3， 4是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是（分数：4.00）A.如果 4不能由 1， 2， 3线性表出，则 1， 2， 3线性相关B.如果 1， 2， 3线性相关， 2， 3， 4线性相关，那么 1， 2， 4也线性相关 C.如果 3不能由 1， 2线性表出， 4不能由 2， 3线性表出，则 1可以由 2， 3， 4线性表出D.如果秩 r( 1， 1+ 2， 2+ 3)=r( 4， 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4)，则 4可以由 1， 2， 3线性表出解析：分析 例如 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(0，2，0) T， 4=(0，0，1) T，可知(B)不
12、正确应选(B)关于(A)：如果 1， 2， 3线性无关，又因 1， 2， 3， 4是 4 个 3 维向量必线性相关，而知 4必可由 1， 2， 3线性表出关于(C)：由已知条件，有() r( 1， 2)r( 1， 2， 3)， () r( 2， 3)r( 2， 3， 4)若 r( 2， 3)=1，则必有 r( 1， 2)=r( 1， 2， 3)，与条件()矛盾故必有 r( 2， 3)=2那么由()知 r( 2， 3， 4)=3，从而 r( 1， 2， 3， 4)=3因此 1可以由 2， 3， 4线性表出关于(D)：经初等变换有( 1， 1+ 2， 2+ 3)( 1， 2， 2+ 3)( 1，
13、2， 3)，( 4， 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4)( 4， 1， 2， 3)( 1， 2， 3， 4)，从而 r( 1， 2， 3)=r( 1， 2， 3， 4)因而 4可以由 1， 2， 3线性表出8.设 ，在 x=0 处二阶可导，则常数 a，b，c 分别是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析一 首先要求 f(x)在 x=0 处连续，即*得 a=0当 a=0 时 f(x)可写成*现要求 f(0)*，即 f-(0)=f+(0)，由*得*，此时*最后要求 f“(0)*，即 f“+(0)=f“-(0)，由*得*因此选(C)分析二 *在 x=0 邻域有二阶泰勒公式*于是 f(x)在
14、x=0 处二阶可导的充要条件是*因此选(C)*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=f(x)二阶可导，f(x)0，它的反函数是 x=(y)，又 f(0)=1，f(0)= ，f“(0)=-1，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析一 由反函数求导公式得*再由复合函数求导法得*从而 *于是 *分析二 将上述导出的 (y)，“(y)表达式代入得*于是 *分析三 在 xOy 直角坐标系中 y=f(x)与它的反函数 x=(y)代表同一条曲线，作为 x 的函数 y=f(x)与作为 y 的函数 z=(y)在同一点处的曲率是相同的，按曲率公式应有*因 f(0)=1，即
15、x=0 时 y=1*10.设 a 为常数，则数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a）解析：分析一 由积分中值定理知，在 n 与 n+a 之间*，使得*当 nm 时 ，于是*分析二 对变限积分函数*应用拉格朗日中值定理得*分析三 x1 时考察*的单调性由*现不妨设 a0，则*又 *因此 *11.设 y=sin4x，则 y(n)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 先分解*由归纳法，有*于是 *12.设 f(x)在0，+)连续，在(0，+)可导，x(0，+)时 f(x)0 且单调上升，x=g(y)为 y=f(x)的反函数，它们满足 （分数：4.00）
16、填空项 1:_ （正确答案：f(x)=x 2(x0)）解析：分析一 由定积分的几何意义知：*=由曲线 y=f(x)，x、y 轴及直线 x=t0 所围成的曲边梯形的面积，*=由曲线 x=g(y)，y 轴(yf(0)及直线 y=f(t)所围成的曲边三角形的面积x=g(y)与 y=f(x)互为反函数，代表同一条曲线，它们面积之和是长方形面积(边长分别为 t 与 f(t)，见右图*于是 *因此 tf(t)=t3，f(t)=t 2(t0)，即 f(x)=x 2(x0)分析二 先化简题设方程的左端式子，有*于是 *即 tf(t)=t 3，f(t)=t 2(t0)因此 f(x)=x 2(x0)分析三 将题设
17、方程两边求导得*即 f(t)+gf(t)f(t)=3t 2，f(t)+tf(t)=3t2，亦即 tf(t)=3t 2(原方程中令 t=0，等式自然成立，不必另加条件)将上式积分得tf(t)=t3+C，即*因 f(t)在0，+)连续，故必有 C=0因此 f(x)=x2(x0)13.设 f(u)连续，且 du(x，y)=f(xy)(ydx+xdy)，则 u(x，y)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*，其中 C 为*常数）解析：分析 由于 du(x，y)=fxy)d(xy)=*，因此 u(x，y)=*，其中 C 为*常数14.设 ， 都是 n 维非零列向量，矩阵 A=2E- T，其
18、中 E 是 n 阶单位矩阵若 A2=A+2E，则 T=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：分析 由 A2=A+2E 得 (A-2E)(A+B)=0，将 A=2E- T代入，有- T(3E- T)=0，即 3 T= T T=( T) T因为 ， 都不是零向量，所以矩阵 T0于是 T=3从而 T=( T) T=3亦可直接由 A2=A+2E 即(2E- T)2=(2E- T)+2E 化简三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_正确答案：() 即求 a 的取值范围，使得该无穷积分收敛当 a1 时，*当 a=1 时，*因此，仅当 a1 时原积分收敛
19、，即函数 f(a)的定义域是(1，+)() 为求*在(1，+)上的值域，先考察*求值域归结为求 f(a)的最小值求 f(a)在(1，+)的最小值等价于求 g(a)=(a-1)lna-12在(1，+)的最大值由g(a)=lna-12+(a-1)lna-12lnln2=lna-121+(a-1)lnln2=*g(a)在 a=a0处取最大值*f(a)的最小值为*因此 f(a)的值域是a *，+)解析：16.设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要作多少功?(假设在球从水中取出的过程中水面的高度不变)（分数：10.00）_正确答案：(把球的质量*集中到球心球从水中取
20、出作功问题可以看成质量为*的质点向上移动距离为 1 时变力所作的功问题归结为求出变力，即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力因球的比重为 1，所以球受的重力=球的体积，球受的浮力=沉在水中部分的体积，它们的合力=球露出水面部分的体积当球心向上移动距离 h 时(0h1)，球露出水面部分的体积为*因此，球从水中取出要作的功为*分析与求解二 用微元分析法取 x 轴垂直水平面并通过球心，方向向上，原点为球心*任取下半球中的微元薄片即-1，0上小区间x，x+dx相应的球体中的薄片，其重量为 (1-x 2)dx，在水中浮力与重量相等当球从水中取出时，此薄片移至离水面高为(1+x)处需作功dW=(1+x)
21、(1-x 2)dx于是，对下半球作的功为 *任取上半球中的微元薄片即0，1上小区间x，x+dx相应的球体中的薄片，其重量为 (1-x 2)当球从水中取出时，它移动的距离为 1，需作功dW=(1-x 2)dx于是对上半球作的功为 *因此，对整个球作的功*)解析：17.就常数 k 的不同取值情况，确定方程 lnx=kx 的正根的个数（分数：10.00）_正确答案：(解 引入函数 f(x)=lnx-kx，它的定义域是(0，+)，且*若 k0，由 f(x)0 知 f(x)在(0，+)单调增加，且*从而 f(x)=0 在(0，+)中有且仅有一个根当 k0 时，注意 *可见 f(x)在*单调上升，在*单调
22、下降，在*取得最大值*又*，于是当*，即*时 f(x)=0有且仅有二根 x1和 x2，它们分别满足*若*，f(x)在*取得最大值 f(e)=lne-1=0，于是 f(x)=0 有且仅有一根 x1=e若*，f(x)在*取得最大值*，于是 f(x)恒负，没有零点综合以上讨论，可得*)解析：本题主要考查连续函数的重要性质，函数的单调性和最值等有关内容引入函数 f(x)=lnx-kx，确定方程 lnx=kx 的正根个数问题就化为确定函数 f(x)的零点的个数问题由连续函数的重要性质知，若连续函数 f(x)在区间a，b的端点反号，则在区间(a，b)中必存在 f(x)的零点，而且当 f(x)在区间(a，b
23、)中单调时，还可以断定 f(x)在(a，b)中有且仅有一个零点按照这样的分析知，应当首先弄清 f(x)的单调区间，并研究它在单调区间的端点是否反号注意，当单调区间是无界区间时，可用函数在端点的极限值来代替函数在端点的值*18.作自变量替换 ，把方程（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解一 () 先求*再将求导，得*即 *将代入*将，代入原方程得*() 求解二阶常系数线性方程相应的特征方程 2+2+1=0，有重根 =-1非齐次方程可设特解 y*=Asint+Bcost，代入得-(Asint+Bcost)+2(Acost-Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint，即 Acost-
24、Bsint=sint，比较系数得 A=0，B=-1即 y*(T)=-cost，因此的通解为y=(C1+C2t)e-t-cost() 原方程的通解为*其中 *分析与求解二 先求*再将求导得*即 *将，式代入原方程得*余下步骤同前)解析：19.设 u=u(x，y)由方程组确定，其中 (v)，(v)有连续的二阶导数且 y“(v)+“(v)0，求证：（分数：11.00）_正确答案：(这是由两个方程式构成的方程组，有 4 个变量：x，y，u，v 按题意 x，y 为自变量，而 u，v均为 x，y 的函数：u=u(x，y)，v=v(x，y)将第一个方程两边分别对 x，y 求偏导数，并利用第二个方程得*进一步
25、求得*由条件知，*均连续*于是*因此 *)解析：20.求累次积分 （分数：10.00）_正确答案：(这是二重积分*的一个累次积分，其中D：0x1， 0y1-x，如右图所示直接交换积分次序不能解决问题直接对累次积分 J 用分部积分法时，遇到求导*的困难有三条途径解决这些困难*方法 1 对内层积分作变量替换后交换积分次序对内层积分，令*(x 视为常量)，将*代入内层积分并相应考察积分限得*D 仍如上图所示，现交换积分次序得*方法 2 对内层积分作变量替换后，对外层积分作分部积分如同方法 1，作变量替换后已转化成*方法 3 改用极坐标变换D 的极坐标表示：*于是 *注意 *因此 *)解析：21.设函
26、数 f(x)在(-l，l)上连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)0() 求证： 给定的 0x1， 01，使得() 求极限 （分数：11.00）_正确答案：() 方法 1 记*在(-l，l)内可导注意 F(0)=0，F(x)=f(x)-f(-x)，由拉格朗日中值定理*x(0，2)，*(01)使F(x)=F(x)-F(0)=F(x)x=xf(x)-f(-x)方法 2 利用积分中值定理证明*其中 在 0 与 x 之间，故 =x，01() 为利用 f(0)*且0，给出 的表达式将上式改写成*注意 *因此，*)解析：22.设 A 是 n 阶反对称矩阵，() 证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当
27、 n 为奇数时，A *是对称矩阵；() 举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子；() 证明：如果 是 A 的特征值，那么- 也必是 A 的特征值（分数：11.00）_正确答案：() 按反对称矩阵定义：A T=-A，那么|A|=|AT|=|-A|=(-1)n|A|，即1-(-1) n|A|=0若 n=2k+1，必有|A|=0所以 A 可逆的必要条件是 n 为偶数因 AT=-A，由(A *)T=(AT)*有(A*)T=(AT)*=(-A)*又因(kA) *=kn-1A*，故当 n=2k+1 时，有(A*)T=(-1)2kA*=A*，即 A*是对称矩阵() 例如，*是 4 阶反对称矩阵，且不可逆()
28、 若 是 A 的特征值，有|E-A|=0，那么|-E-A|=|(-E-A) T|=|-E-A T|=|-E+A|=|-(E-A)|=(-1) n|E-A|=0，所以- 是 A 的特征值)解析：23.已知矩阵 和 （分数：11.00）_正确答案：() 由矩阵 A 和 B 分别得到二次型*那么经坐标变换* 即 *有 *所以矩阵 A 与 B 合同令*，则有 CTAC=B() 由*知矩阵 A 的特征值是 1，1，-1，进而可知 A+kE 的特征值是 k+1，k+1，k-1；B+kE 的特征值是k+2，k+1，k-2当 k2 时，二次型 xT(A+kE)x 与 xT(B+kE)X 均有正惯性指数 p=3，而负惯性指数 q=0；当-1k1 时，二次型 xT(A+kE)x 与 xT(B+kE)x 均有正惯性指数 p=2，而负惯性指数 q=0；当 k-2 时，二次型 xT(A+kE)x 与 xT(B+kE)x 均有正惯性指数 p=0，而负惯性指数 q=3所以 A+kE 与 B+kE 合同*k2-1k1k-2*)解析：
