1、考研数学二-233 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，下面 4 个无穷小量中阶数最高的是_。 A B4x 2 +5x 3 -x 5 Cln(1+x 3 )-ln(1-x 3 ) D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f“(0)存在，则函数 （分数：4.00）A.有跳跃间断点 x=0B.有可去间断点 x=0C.在 x=0 处左极限不存在D.在 x=0 处右极限不存在3.累次积分 可写成_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)，g(x)二阶可导，
2、又 f(0)=0，g(0)=0，f“(0)0，g“(0)0，令 F(x)= （分数：4.00）A.(0，F(0)是曲线 y=F(x)的拐点B.x=0 不是函数 F(x)的极值点，(0，F(0)也不是曲线 y=F(x)的拐点C.x=0 是函数 F(x)的极小值点D.x=0 是函数 F(x)的极大值点5.已知函数 f(x)在区间0，2上可积，且满足 ，则函数 f(x)的解析式是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.若 （分数：4.00）A.m，n 中至少有一个为奇数B.m+n 必为奇数C.m，n 为任意正整数D.m，n 均为奇数7.设 A 是一个 nn 矩阵，交换 A 的第
3、i 行、第 j 行，然后再交换其第 i 列、第 j 列，所得矩阵为 B，考虑命题：|A|=|B|；r(A)=r(B)；A、B 的行向量组等价；A 与 B 为相似矩阵，则以上命题成立的个数为_。（分数：4.00）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个8.设 n 维列向量 ，矩阵 A=E-4 T ，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 n 维列向量 =(1，1，1) T ，则向量 A 的长度为_。 An Bn 2 C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）10.设曲线 y=y(x)由方程 x 2 y+lny=1 确定，则该曲线
4、在(0，e)处的曲率半径为 1。 （分数：4.00）11.设 （分数：4.00）12.设 （分数：4.00）13.微分方程 yy“-2(y“) 2 =0 满足条件 y(0)=1 与 y“(0)=-1 的特解是 1。 （分数：4.00）14.已知矩阵 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 10 分) 设 f(x)=x 3 -3x+b，就常数 b 的不同情况，确定函数 f(x)的零点个数。 （分数：10.00）_16.(本题满分 10 分) 设 1ab，函数 f(x)=xln 2 x，求证：f(x)满足不等式 ()0f“(x)2(x1)； () （分数：10
5、.00）_17.(本题满分 10 分) 设 f(x)=arctanx，试导出关系式(1+x 2 )f (n+2) (x)+2(n+1)xf (n+1) (x)+n(n+1)f (n) (x)=0，并求 f (n) (0)。 （分数：10.00）_18.(本题满分 10 分) 设曲线方程为 y=e -x (x0)， ()把曲线 y=e -x ，x 轴，y 轴和直线 x=(0)所围平面图形绕 x 轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体的体积 V()，并求满足 （分数：10.00）_19.(本题满分 10 分) 证明下列结论：()设 f(x，y)定义在全平面上，且 ，则 f(x，y)恒为常数； ()设
6、u(x，y)，v(x，y)定义在全平面上，且满足 （分数：10.00）_20.(本题满分 11 分) 设函数 f(x)连续且满足 （分数：11.00）_21.(本题满分 11 分) 设积分区域 D=(x，y)|0x1，0y1，求 （分数：11.00）_22.(本题满分 11 分) 设 ，且 B=P -1 AP， ()求矩阵 A 的特征值与特征向量； ()当 （分数：11.00）_23.(本题满分 11 分) 已知向量 =( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) T 可以由 1 =(1，0，0，1) T ， 2 =(1，1，0，0) T ， 3 =(0，2，-1，-3) T ， 4 =(0，0，3，3
7、) T 线性表出。 ()求 1 ， 2 ， 3 ， 4 应满足的条件； ()求向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出； ()把向量 分别用 1 ， 2 ， 3 ， 4 和它的极大线性无关组线性表出。 （分数：11.00）_考研数学二-233 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 时，下面 4 个无穷小量中阶数最高的是_。 A B4x 2 +5x 3 -x 5 Cln(1+x 3 )-ln(1-x 3 ) D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 阶数的概念、
8、等价无穷小量的应用及极限的计算与应用。 解析 A 项可化为 ， 可知 A 项是 2 阶的，B 项也是 2 阶的，C 项可化为 可知 C 项是 3 阶的，D 项，根据 2.设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f“(0)存在，则函数 （分数：4.00）A.有跳跃间断点 x=0B.有可去间断点 x=0 C.在 x=0 处左极限不存在D.在 x=0 处右极限不存在解析：考点 函数左右极限的定义、函数间断点类型的判定。 解析 由函数定义知，x=0 是 g(x)的间断点。根据题中条件 f(x)在 x=0 处可导，因而 f(x)在 x=0 处连续，又由于 f(x)是奇函数，其图形关于原点中心旋转对称，故
9、f(0)=0，极限 3.累次积分 可写成_。 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 累次积分几何含义、计算及应用。 解析 ，其图形如下图所示。 由图形即可看出， 。 4.设 f(x)，g(x)二阶可导，又 f(0)=0，g(0)=0，f“(0)0，g“(0)0，令 F(x)= （分数：4.00）A.(0，F(0)是曲线 y=F(x)的拐点 B.x=0 不是函数 F(x)的极值点，(0，F(0)也不是曲线 y=F(x)的拐点C.x=0 是函数 F(x)的极小值点D.x=0 是函数 F(x)的极大值点解析：考点 函数极值点及拐点的判定。 解析 F“(x)=f(x)g(x)
10、 F“(0)=0， F“(x)=f“(x)g(x)+f“(x)g“(x) F“(0)=0， F“(x)=f“(x)g(x)+2f“(x)g“(x)+f(x)g“(x) 5.已知函数 f(x)在区间0，2上可积，且满足 ，则函数 f(x)的解析式是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 函数的求积及二元一次方程组的求解。 解析 由题设可令 ，代入即知 f(x)满足关系式 f(x)=6x 2 -2Ax+3B，于是有 =2-A+3B。 从而 A，B 满足方程组 解之，可得 A=5， ，即函数 f(x)的解析式是 6.若 （分数：4.00）A.m，n 中至少有一个为奇数
11、B.m+n 必为奇数C.m，n 为任意正整数D.m，n 均为奇数解析：考点 利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性计算二重积分。 解析 由题意易知，积分区域关于 x 轴，y 轴都对称，若要使等式成立，被积函数只要 m，n 中有一个为奇数即可，不妨设 n 为奇数，则被积函数关于 x 为奇函数，从而由对称性知该积分为 0。7.设 A 是一个 nn 矩阵，交换 A 的第 i 行、第 j 行，然后再交换其第 i 列、第 j 列，所得矩阵为 B，考虑命题：|A|=|B|；r(A)=r(B)；A、B 的行向量组等价；A 与 B 为相似矩阵，则以上命题成立的个数为_。（分数：4.00）A.4 个B.3 个
12、C.2 个D.1 个解析：考点 矩阵的性质、计算及向量组等价性的判定。 解析 由题意知，存在初等矩阵 E ij (交换单位矩阵 E 的第 i 行、第 j 行或第 i 列、第 j 列后所得矩阵)，使得 E ij AE ij =B。于是|B|=|E ij |A|E ij |=(-1)|A|(-1)=|A|；r(A)=r(B)且 ，即AB。可见命题均成立。令 ，则 B= 8.设 n 维列向量 ，矩阵 A=E-4 T ，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 n 维列向量 =(1，1，1) T ，则向量 A 的长度为_。 An Bn 2 C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 向量及向量长度
13、的计算。 解析 又 A T A=(E-4 T ) T (E-4 T )=(E-4 T )(E-4 T )=E-8 T +16( T ) T =E-8 T +8 T =E， 所以 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）解析：1 考点 极限的计算及拉格朗日中值定理的应用。 解析 令 f(t)=arctant，则 其中，(n，n+1)。由于 10.设曲线 y=y(x)由方程 x 2 y+lny=1 确定，则该曲线在(0，e)处的曲率半径为 1。 （分数：4.00）解析： 考点 曲线的曲率半径的计算。 解析 将方程对 x 求导得 令 x=0，得 y“(0)=0。再对
14、 x 求导，并令 x=0，y=e 得 2y 2 (0)+y“(0)=0 y“(0)=-2e 2 。 因此，该曲线在点(0，e)的曲率半径为 11.设 （分数：4.00）解析： 考点 分段函数及复合函数的求导。 解析 由题意知，当 x0 时，(x)连续可导， 即 (x)的左、右导数为： 故 “=0，即在整个区间上 “(x)连续，因此由复合函数求导法则得 12.设 （分数：4.00）解析： 考点 利用麦克劳林公式求简单函数的高阶导数。 解析 利用麦克劳林公式，将 f(x)写成以下形式： 取 k=50，展开式中有 x 200 的系数是 ，则 13.微分方程 yy“-2(y“) 2 =0 满足条件 y
15、(0)=1 与 y“(0)=-1 的特解是 1。 （分数：4.00）解析： 考点 二阶微分方程的特解的求法。 解析 令 y“=p，则 。代入原方程就有 。 由于 y“(0)=-1， 故 其通解为 p=C 1 y 2 ，即 y“=C 1 y 2 。其中 C 1 是任意常数。 代入初值条件，解得常数 C 1 =-1，即 y“=-y 2 。 直接积分可得通解为 其中 C 2 是任意常数。 又 y(0)=1，则得 C 2 =-1，故所求特解为 14.已知矩阵 （分数：4.00）解析：-2 考点 矩阵相似的概念及特征。 解析 由题意，矩阵 A 的特征多项式为 故得矩阵 A 的特征值为 2，3，3。又矩阵
16、 A 的特征值有重根，且 A，知 =3 有两个线性无关的特征向量，即方程组(3E-A)x=0 有两个线性无关解，故 r(3E-A)=1。则 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 10 分) 设 f(x)=x 3 -3x+b，就常数 b 的不同情况，确定函数 f(x)的零点个数。 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：本题根据 f(x)的单调区间、极值点和无穷处 f(x)的大小来确定函数 f(x)的零点个数。 可知 f(x)在(-，-1上单调上升，在-1，1上单调下降，在1，+)上单调下降。 x=1 为极值点，得此处的函数值为 16.(本题满分 10 分) 设 1a
17、b，函数 f(x)=xln 2 x，求证：f(x)满足不等式 ()0f“(x)2(x1)； () （分数：10.00）_正确答案：()解析：对函数 f(x)求导，得 f“(x)在1，+)单调下降 f“(x)f“(1)=2(x1) (2)用 x 代替 b，设辅助函数为 与 其中 1axb。对 F(x)求导并利用中值定理得 xa1 时 F(x)单调增加 F(x)F(a)=0(xa1) F(b)0，即 对 G(x)求导并利用中值定理得 其中 当时 1ax，f“(x)2，于是 即 G(x)单调上升，G(x)G(a)=0，G(b)0，即 17.(本题满分 10 分) 设 f(x)=arctanx，试导出
18、关系式(1+x 2 )f (n+2) (x)+2(n+1)xf (n+1) (x)+n(n+1)f (n) (x)=0，并求 f (n) (0)。 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：由于 f(x)=arctanx，则 在上式两端求 n+1 阶导数，得 0，即 于是得递推公式，(1+x 2 )f (n+2) (x)+2(n+1)xf (n+1) (x)+n(n+1)f (n) (x)=0。令 x=0，由上式得 18.(本题满分 10 分) 设曲线方程为 y=e -x (x0)， ()把曲线 y=e -x ，x 轴，y 轴和直线 x=(0)所围平面图形绕 x 轴旋转一周，得一旋转体，求
19、此旋转体的体积 V()，并求满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：由已知得： () 因为 ，于是由 可得 ()设切点为 ，则切线方程为 写成截距式方程为 所以切线与两坐标轴所夹面积为 。 令 19.(本题满分 10 分) 证明下列结论：()设 f(x，y)定义在全平面上，且 ，则 f(x，y)恒为常数； ()设 u(x，y)，v(x，y)定义在全平面上，且满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明：()由根据一元函数微分中值定理得 其中 在 x 和 0 之间， 在 y 和 0 之间。因此 f(x，y)=f(0，0)( x，y)。 ()若要证 u(xy)，v(xy)恒为常
20、数，则需证 将 代入上式 易知方程组的系数行列式为 若 C=0，则 u=0，v=0。若 C0，则 20.(本题满分 11 分) 设函数 f(x)连续且满足 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：易得 x=0 时，f(0)=0。现将题设方程可改写为： 由 f(x)连续，知 与 可导，结合 4-5x 与 36xe x 可导知 f(x)可导，将上式两端求导，得： 化简，得： 在(*)式中令 x=0 得 f“(0)=36，又因(*)式具有二阶导数，将(*)式两端求 导得： f“(x)+4f“(x)-5f(x)=36(x+2)e x 。 综合可得，y=f(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题 的
21、特解。 利用特征方程 2 +4-5=0 可以得两个特征根 1 =1， 2 =-5，于是对应齐次微分方程有两个线性无关的特解 e x 与 e -5x ，而上述非齐次微分方程的一个特解具有形式 y=x(Ax+B)e x ，代入方程知待定系数 A 和 B 应满足恒等式 6(2Ax+B)+2Ae x =36(x+2)e x ， 得到：A=3，B=11。从而方程具有通解 y=C 1 e x +C 2 e -5x +(3x 2 +11x)e x ， 于是 y“=C 1 e x -5C 2 e -5x +(3x 2 +17x+11)e x ， 利用初值 y(0)=0 与 y“(0)=36 可确定 。综合可得
22、： 21.(本题满分 11 分) 设积分区域 D=(x，y)|0x1，0y1，求 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：如下图所示，因积分区域 D 关于直线 y=x 对称，被积函数 ，令 D 1 =(x，y)|0x1，0yx，则有 令 x=rcos，y=rsin，可得 代入可得 22.(本题满分 11 分) 设 ，且 B=P -1 AP， ()求矩阵 A 的特征值与特征向量； ()当 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：()矩阵 A 的特征多项式为 得矩阵 A 的特征值 1 = 2 =1， 3 =-3。 由齐次线性方程组(E-A)x=0， ，得基础解系 1 =(-4，1，2)
23、 T 。 由齐次方程组(-3E-A)x=0， ，得基础解系 2 =(-2，1，1) T 。 综上，矩阵 A 的关于特征值 1 = 2 =1 的特征向量为 k 1 (-4，1，2) T ，k 1 为任意非零常数。 矩阵 A 的关于特征值 =-3 的特征向量为 k 2 (-2，1，1) T ，k 2 为任意非零常数。 ()由已知，得矩阵 B ()由 P -1 AP=B 有 P -1 A 100 P=B 100 ，故 A 100 =PB 100 P -1 又 于是 23.(本题满分 11 分) 已知向量 =( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) T 可以由 1 =(1，0，0，1) T ， 2 =(1，1，0，0) T ， 3 =(0，2，-1，-3) T ， 4 =(0，0，3，3) T 线性表出。 ()求 1 ， 2 ， 3 ， 4 应满足的条件； ()求向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出； ()把向量 分别用 1 ， 2 ， 3 ， 4 和它的极大线性无关组线性表出。 （分数：11.00）_正确答案：()解析： 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，即方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = 有解。对增广矩阵作初等行变换，有
