1、考研数学二-232 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)有二阶连续导数，且 （分数：4.00）A.(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是极值点，(0，f(0)并不是拐点C.x=0 为 f(x)的极大值点D.x=0 为 f(x)的极小值点2.设 f(x)，g(x)在点 x=x 0 处可导且 f(x 0 )=g(x 0 )=0，f“(x 0 )g“(x 0 )0，则_。（分数：4.00）A.x0 是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极小值点B.x0 是 f(x)g(x)的驻点，且是 f
2、(x)g(x)的极大值点C.x0 不是 f(x)g(x)的驻点D.x0 是 f(x)g(x)的驻点，但不是 f(x)g(x)的极值点3.设 f(x)= （分数：4.00）A.可导B.有界，不可积C.可积，有间断点D.连续，有不可导点4.下列反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0(x(a，b)，又 L= （分数：4.00）A.MLNB.NLMC.LMND.LNM6.设 ，其中， （分数：4.00）A.1/8B.1/6C.1/4D.1/27.设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题 若 r(A)=m，则非齐次线性方程组
3、 Ax=b 有惟一解 若 r(A)=m，则齐次线性方程组 Ax=0 只有零解 若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有惟一解 若 r(A)=n，则齐次线性方程组 Ax=0 只有零解 中正确的是_。（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 （分数：4.00）A.12B.9C.6D.3二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）10.设 f(x)连续，且当 x0 时， （分数：4.00）11.设 f(x)有连续导数，且 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.设极坐标系下的累次积分 （分数：4.00）14.设实方阵 A=(a ij ) 44 满足
4、 a ij =A ij (A ij 为 a ij 的代数余子式，i，j=1，2，3，4)，a 44 =-1，则 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 10 分) （分数：10.00）_16.(本题满分 10 分) 求不定积分 （分数：10.00）_17.(本题满分 10 分) 设 （分数：10.00）_18.(本题满分 10 分) 设 f(x)在区间-1，1上有三阶连续导数，证明：存在实数 (-1，1)，使得 （分数：10.00）_19.(本题满分 10 分) 计算 （分数：10.00）_20.(本题满分 11 分) 求微分方程 y“+y=f(x)满足初
5、始条件：y(0)=0，y“(0)=1 的特解，其中连续函数 f(x)满足条件 （分数：11.00）_21.(本题满分 11 分) 试求椭圆 C： （分数：11.00）_22.(本题满分 11 分) 设三维列向量组 1 ， 2 线性无关，列向量组卢 1 ， 2 线性无关。 ()证明存在非零列向量 ，使得 可同时由向量组 1 ， 2 和向量组 1 ， 2 线性表示； ()当 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，1，3) T ， 1 =(1，0，3) T ， 2 =(0，4，-2) T 时，求出所有非零列向量 。 （分数：11.00）_23.(本题满分 11 分) 设二次型 ， 矩阵 A 满足
6、 AB=0，其中 （分数：11.00）_考研数学二-232 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)有二阶连续导数，且 （分数：4.00）A.(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是极值点，(0，f(0)并不是拐点C.x=0 为 f(x)的极大值点D.x=0 为 f(x)的极小值点 解析：考点 极值及拐点的判定与应用。 解析 由 ，知 f(0)=2，f“(0)=0。又由 ，知在 x=0 的某邻域内 2.设 f(x)，g(x)在点 x=x 0 处可导且 f(x 0 )=g(x 0 )=0，f“(x 0 )g
7、“(x 0 )0，则_。（分数：4.00）A.x0 是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极小值点B.x0 是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极大值点 C.x0 不是 f(x)g(x)的驻点D.x0 是 f(x)g(x)的驻点，但不是 f(x)g(x)的极值点解析：考点 驻点的定义及极限的性质。 解析 由于 ，因此 x=x 0 是 f(x)g(x)的驻点。 由条件 f“(x 0 )g“(x 0 )0 f“(x 0 )0，g“(x 0 )0(或 f“(x 0 )0，g“(x 0 )0)。由 及极限的保号性质 0，当 x(x 0 -，x 0 +)，xx 0 时， 0
8、(0)， 0(0) x(x 0 ，x 0 +)时，f(x)0(0)，g(x)0(0)； x(x 0 -，x 0 )时，f(x)0(0)，g(x)0(0) x(x 0 -，x 0 +)，xx 0 时 f(x)g(x)0=f(x 0 )g(x 0 ) 3.设 f(x)= （分数：4.00）A.可导B.有界，不可积C.可积，有间断点D.连续，有不可导点 解析：考点 变限积分的定义及计算、函数在某点可导性的判定方法。 解析 当 0x1 时，分段函数 f(x)的变限积分为： 当 1x2 时， 于是 易验证 F(x)在0，2上连续(关键是考察 )。 当 x1 时，显然 F(x)可导，且 4.下列反常积分
9、（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 反常积分收敛性的判定。 解析 由 收敛。 由 (收敛)，而 发散 发散，则发散。 由 收敛。 由 5.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0(x(a，b)，又 L= （分数：4.00）A.MLNB.NLMC.LMND.LNM 解析：考点 积分的定义及函数在图中的表示。 解析 L，M，N 分别代表梯形 ABCD，梯形 ABFGE 与曲边梯形 ABCGD 的面积(如下图所示)，G 是点 ，EF 是曲线 y=f(x)在点 G 处的切线，于是由面积的大小关系可得：LNM。 6.设 ，其中， （分数：4.00）A.1/8 B.
10、1/6C.1/4D.1/2解析：考点 利用积分函数的对称性计算二重积分。 解析 补三个曲面 ：x=0(后侧)； ：y=0(左侧)； ：z=0(下侧)，则 0(其中 ：x+y+z1，x0，y0，z0= (由 的轮换对称性得) 7.设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题 若 r(A)=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 有惟一解 若 r(A)=m，则齐次线性方程组 Ax=0 只有零解 若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有惟一解 若 r(A)=n，则齐次线性方程组 Ax=0 只有零解 中正确的是_。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 利用系数矩阵的和增广矩阵秩判定线性方程
11、组是否有解。 解析 A 是 mn 矩阵，若 r(A)=m，说明 A 的行向量组线性无关，那么它的延伸组必线性无关，所以必有 ，从而 ，故线性方程组 Ax=b 必有解，正确。若 r(A)=n，说明 A 的列向量组线性无关，亦即 Ax=0，只有零解，所以正确。当 r(A)=m 时，必有 nm。如果 m=n，则 Ax=0 只有零解，而 mn 时，Ax=0 必有非零解，所以不正确。当 r(A)=n 时， 8.已知 （分数：4.00）A.12B.9C.6 D.3解析：考点 行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。 解析 对行列式|A|按第 2 行展开，有 2A 21 +2A 22 +A 23
12、+A 24 =9 构造行列式 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列极限 （分数：4.00）解析：1 考点 极限的计算及拉格朗日中值定理的应用。 解析 令 f(t)=arctant，则 其中，(n，n+1)。由于 因此 10.设 f(x)连续，且当 x0 时， （分数：4.00）解析： 考点 极限的计算及等价无穷小的定义、应用。 解析 由等价无穷小的定义及洛必达法则有 故 f(0)= 11.设 f(x)有连续导数，且 （分数：4.00）解析：2 考点 导数与同阶无穷小的定义及应用。 解析 由 ，f“(0)=a。 12. （分数：4.00）解析： 考点 定积分的计算及分部积分法的应用
13、。 解析 由题知 13.设极坐标系下的累次积分 （分数：4.00）解析： 考点 累次积分的计算及应用。 解析 在 Or 直角坐标系中画出积分区域 D“的图形，则 D“可表示为 D“如下图所示。 将 D“表成 D“： ，2r。得： 14.设实方阵 A=(a ij ) 44 满足 a ij =A ij (A ij 为 a ij 的代数余子式，i，j=1，2，3，4)，a 44 =-1，则 （分数：4.00）解析：(0，0，0，-1) T 考点 矩阵的代数余子式在 Ax=b 的求解中的应用。 解析 由题设知，A T =A * ，则|A|=|A T |=|A * |=|A| 4-1 ，|A|(1-|A
14、| 2 )=0，故得|A|=0 或1。将|A|按第 4 行展开，又 a 44 =-1，则|A|=a 41 A 41 +a 42 A 42 +a 43 A 43 a 44 A 44 = 。于是|A|=1且有 a 4i =0(i=1，2，3)， 同理 a i4 =0(i=1，2，3)。从而 的解为： 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 10 分) （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：当 0x1 时， 当 x=1 时， 当 x1 时， 于是 ()当 x0，x1 时，显然 f(x)连续。在 x=0 处，由 f(x)在点 x=0 处不连续，且点 x=0 是 f(x)的第
15、一类间断点。在 x=1 附近，由 f(x)在点 x=1 处既左连续又右连续，于是 f(x)在点 x=1 处连续。 因此 f(x)在区间(-，0)，(0，+)上是连续的，x=0 是 f(x)的第一类间断点。 () 。 因 f(x)在(-，0连续，又 存在 f(x)在(-，0有界。f(x)在(0，1连续，又 存在 16.(本题满分 10 分) 求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：运用变量替换，令 ，得 由分部积分得 其中 ，C 是任意常数 于是 ，C 是任意常数。 根据下图所示三角形示意图，作变量还原得 ，C 是任意常数。 17.(本题满分 10 分) 设 （分数：10.00
16、）_正确答案：()解析：证明：由 f(x)定义式可知，f(x)在(-，0)和(0，)上有任意阶连续导数，且 ，故 f(x)在(-，+)上连续。 当 x0 时， 与函数 同号，又由于 则 g(x)在(-，0上单调减少，即当 x0 时，g(x)g(0)=0；g(x)在(0，+)上单调增加；即当 x0时，g(x)g(0)=0；由此知当 x0 时，f“(x)0，又由于 f(x)在(-，+)上连续，故知 f(x)在(-，+)上单调增加。 当 x0 时， 18.(本题满分 10 分) 设 f(x)在区间-1，1上有三阶连续导数，证明：存在实数 (-1，1)，使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：
17、解：将 f(x)在 x=0 处按泰勒公式展开，有 ，其中 在 0 与 x 之间。 令 x 分别为-1，1 得： 其中 1 (-1，0) 2 (0，1)。 将上述两式相减得， 。 由 f“(x)在 1 ， 2 上连续，不妨设 f“(x)在 1 ， 2 上的最大值、最小值分别为 M，m，则 ，根据介值定理得，存在 1 ， 2 -1，1，使得 。于是 ， 即存在 (-1，1)，使得 19.(本题满分 10 分) 计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：积分区域 D 如下图所示。而 的极坐标方程分别为 r=2 和 r=2cos 方法一：D 的极坐标表示： 0 时，2cosr2； 时，0r2
18、， 于是 方法二：D 是区域 D 1 与 D 2 的差集，它们的极坐标表示为 于是 注：计算 的另一种方法是化为二倍角和四倍角后直接积分： 20.(本题满分 11 分) 求微分方程 y“+y=f(x)满足初始条件：y(0)=0，y“(0)=1 的特解，其中连续函数 f(x)满足条件 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：由于 ，则题设条件可表示为 。 在两边对 x 求导，得 ； 再在两边对 x 求导，整理可得 f“(x)+f(x)=-sinx，且 f(0)=0，f“(0)=1。 解上述方程组得 。可见原方程为 故对应齐次方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx，C 1 ，C
19、 2 为任意常数，且特解可设为 y * =x(b 1 x+b 2 )cosx+x(b 3 x+b 4 )sinx，代入方程后得 。再根据初始条件 y(0)=0，y“(0)=1 得所求解为 21.(本题满分 11 分) 试求椭圆 C： （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：由题意知，点 P 1 (0，1)在上半椭圆 上， 故椭圆 C 在点 P 1 处的曲率 ，曲率圆的半径 R 1 =4，椭圆 C 在点 P 1 处的切线为 y=1，法线为 y轴，因此椭圆 C 在点 P 1 处的曲率圆中心在 y 轴的点 P 1 下方与点 P 1 距离为 4 处，曲率圆中心为 O 1 (0，-3)，曲率圆方程
20、为 x 2 +(y+3) 2 =16。 同理，由于点 P 2 (0，2)在右半椭圆 上，则 故椭圆 C 在点 P 2 处的曲率 ，曲率圆的半径 。椭圆 C 在点 P 2 处的切线方程为 x=2，法线为 x 轴，因此椭圆 C 在点 P 2 处的曲率圆中心在 x 轴上点 P 2 左方与点 P 2 距离为 处，曲率圆中心为 ，曲率圆的方程为 22.(本题满分 11 分) 设三维列向量组 1 ， 2 线性无关，列向量组卢 1 ， 2 线性无关。 ()证明存在非零列向量 ，使得 可同时由向量组 1 ， 2 和向量组 1 ， 2 线性表示； ()当 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，1，3) T
21、， 1 =(1，0，3) T ， 2 =(0，4，-2) T 时，求出所有非零列向量 。 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：()由于 4 个三维列向量 1 ， 2 ， 1 ， 2 构成的向量组一定线性相关，故存在一组不全为 0 的数戈 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，使得 x 1 1 +x 2 2 +x 3 1 +x 4 2 =0，即 x 1 1 +x 2 2 =-x 3 1 -x 4 2 。 又向量组 1 ， 2 线性无关，向量组卢 1 ， 2 线性无关，故 x 1 ，x 2 不全为 0，x 3 ，x 4 不全为 0。 记 =x 1 1 +x 2 2 =-x 3 1 -x
22、 4 2 ，则 0，即存在非零列向量 ，使得 可同时由向量组 1 ， 2 和向量组卢 1 ， 2 线性表示。 ()易知，求出齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 1 +x 4 2 =0 的所有非零解，即可得所有非零向量 。下面将方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 1 +x 4 2 =0 的系数矩阵 A 施行初等行变换化为行最简形： 23.(本题满分 11 分) 设二次型 ， 矩阵 A 满足 AB=0，其中 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：()由 知，矩阵 B 的列向量是齐次方程组 Ax=0 的解向量。 记 ，则 A 1 =0=0 1 ，A 2 =0=0 2 。由此可知，=0 是矩阵 A 的特征值(至少是二重)， 1 ， 2 是 =0 的线性无关的特征向量。根据 ，有 0+0+ 3 =1+4+1，故知矩阵 A 有特征值=6。因此，矩阵 A 的特征值是 0，0，6。 设 =6 的特征向量为 3 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T ，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有 对 1 ， 2 正交化，令 1 =(1，0，1) T ，则 再对 1 ， 2 ， 3 单位化，得 那么经坐标变化 x=Qy，即 二次型化为标准形 。 ()因为 A，有 A-3e-3E，进而(A-3E) 6 (-3E) 6 。又 A-3E
