1、考研数学二-231 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.数列极限 的值等于（分数：4.00）A.B.C.D.2.a=-5 是齐次方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知累次积分 ，其中 a0 为常数，则，可写成（分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 y=f(x)在区间0，4上的导函数的图形如右图，则 f(x)（分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 54 矩阵 A=( 1， 2， 3， 4)，若 1=(3，1，-2，1) T， 2=(0，1，0，1) T是齐次线性方 1， 3线性无关； 1可以由 2， 3线性表出
2、； 3， 4线性无关； 秩 r( 1， 1+ 2， 3- 4)=3（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.下列命题中正确的是（分数：4.00）A.设 f(x)在(-，+)为偶函数且在0，+)可导，则 f(x)在(-，+)可导B.设 f(x)在(-，+)为奇函数且在0，+)可导，则 f(x)在(-，+)可导C.设 ，则D.设 x0(a，b)，f(x)在a，b除 x0外连续，x 0是 f(x)的第一类间断点，则 f(x)在a，b仍存在原函数8.下列二元函数在点(0，0)处可微的是（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.
3、 （分数：4.00）填空项 1:_10.设曲线 的极坐标方程为 r=e ，则 在点 （分数：4.00）填空项 1:_11.设正值函数 f(x)在1，+)上连续，则函数（分数：4.00）填空项 1:_12.x 轴上方的星形线： （分数：4.00）填空项 1:_13.已知函数 y(x)可微(x0)且满足方程（分数：4.00）填空项 1:_14.已知矩阵 与 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求不定积分 （分数：10.00）_16.抛物线 y=x2上任意点(a，a 2)(a0)处引切线 L1，在另一点处引另一切线 L2，L 2与 L1垂直() 求 L1与
4、 L2交点的横坐标 x1；() 求 L1，L 2与抛物线 y=x2所围图形的面积 S(a)；() 问 a0 取何值时 S(a)取最小值（分数：10.00）_17.() 设 f(x)在(a，+)可导且 ，求证：若 A0，则 ；若 A0，则 () 设 g(x)在0，+)连续，且 收敛，又 （分数：10.00）_18.计算 （分数：10.00）_19.证明下列结论：() 设 f(x，y)定义在全平面上，且 ，则 f(x，y)恒为常数；() 设 u(x，y)，v(x，y)定义在全平面上，且满足（分数：10.00）_20.设 xOy 平面第一象限中有曲线 ：y=y(x)，过点 A(0， )，y(x)0M
5、(x，y)为，上任意一点，满足：弧段 的长度与点 M 处 的切线在 x 轴上的截距之差为 （分数：11.00）_21.设函数 f(x)在a，+)内二阶可导且 f“(x)0，又 ba，f(a)=A0，f(b)=B0，f(b)0，求证：() （分数：11.00）_22.已知向量 =( 1， 2， 3， 4)T 可以由 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0) T， 3=(0，2，-1，-3) T， 4=(0，0，3，3) T线性表如。() 求 1， 2， 3， 4应满足的条件；() 求向量组 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线() 把向量 分别用
6、 1， 2， 3， 4和它的极大线性无关组线性表出。（分数：11.00）_23.设二次型矩阵 A 满足 AB=0，其中 （分数：11.00）_考研数学二-231 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.数列极限 的值等于（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 *2.a=-5 是齐次方程组 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 n 个方程 n 个未知数的齐次方程组 Ax=0 有非零解*|A|=0又*可见 a=-5 能保证|A|=0，但|A|=0 并不必须 a=-5因而 a=-5 是充分条件并非必要条件故应选(B)3.已知
7、累次积分 ，其中 a0 为常数，则，可写成（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 这是把极坐标系下的累次积分转换成 Oxy 直角坐标系下的累次积分的问题先将 I 表成*由 D 的极坐标表示*即 r 2=x2+y2arcos=ax，可知 D：*，如图*若是先 y 后 x 的积分顺序，则*于是*故应选(C)4.设函数 y=f(x)在区间0，4上的导函数的图形如右图，则 f(x)（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 分别考察 f(x)的正负号与升降性x(0，1)或 x(3，4)时 f(x)0*f(x)在(0，1)，(3，4)单调下降；当 x(1，3)时 f(x)0*f(x)在(1，
8、3)单调上升又 f(x)在(0，2)单调上升*f(x)在(0，2)是凹的；f(x)在(2，4)单调下降*f(x)在(2，4)是凸的综上分析，应选(B)*5.已知 54 矩阵 A=( 1， 2， 3， 4)，若 1=(3，1，-2，1) T， 2=(0，1，0，1) T是齐次线性方 1， 3线性无关； 1可以由 2， 3线性表出； 3， 4线性无关； 秩 r( 1， 1+ 2， 3- 4)=3（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由 1， 2是齐次方程组 Ax=0 的解，有*(*)-(*)得 3 1-2 3=0 或*故命题错误，命题正确由 1， 2是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，知
9、 n-r(A)=2那么秩r( 1， 2， 3， 4)=r(A)=2如果 3， 4线性相关，则 4=k 3又*， 2=- 4，与秩 r( 1， 2， 3， 4)=2 相矛盾故命题正确用排除法知错误，当然也可用初等变换判断出 r( 1， 1+ 2， 3- 4)=r( 1， 2，0)2，得到命题错误综上分析，可知应选(C)6.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 本题主要考查变上限定积分求导法，函数的极值以及曲线的拐点等有关知识因*于是*由 F“(x)符号的变化情况知，曲线 y=F(x)在区间(-1，0是凸的，在区间0，1)是凹的，可见(0，F(0)是其拐点由 F“(x)符号的变化情况
10、还知道，F(0)是 F(x)的最小值，又 F(0)=0，从而知 F(x)0 当 x0 时成立这表明 F(x)在 x=0 处不取极值综合以上分析知，结论(C)正确，其余均不正确7.下列命题中正确的是（分数：4.00）A.设 f(x)在(-，+)为偶函数且在0，+)可导，则 f(x)在(-，+)可导B.设 f(x)在(-，+)为奇函数且在0，+)可导，则 f(x)在(-，+)可导 C.设 ，则D.设 x0(a，b)，f(x)在a，b除 x0外连续，x 0是 f(x)的第一类间断点，则 f(x)在a，b仍存在原函数解析：分析 关于(A)、(B)从几何上考察图形，易知(A)错，(B)对*(B)是正确的
11、*x0*-x0，f(x)=-f(-x)由复合函数可导性*f(x)=-f(-x)(-1)=f(-x)再考察 x=0 处，*(奇函数性质)* f-(0)=f+(0)因此 f(x)在(-，+)可导故应选(B)*8.下列二元函数在点(0，0)处可微的是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 本题中的这 4 个函数均有 f(0，0)=0按可微定义，若 f(0，0)=0，则 f(x，y)在点(0，0)处可微，且*(B)中的 f(x，y)满足：*因此，(B)中的 f(x，y)在点(0，0)处可微故应选(B)*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案
12、：*）解析：分析 这是一个*型未定式，使用洛必达法则，有*10.设曲线 的极坐标方程为 r=e ，则 在点 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 的参数方程是*点*的直角坐标是* 在此点的切线的斜率为*法线的斜率为 1，因此，在点*处的法线方程为*11.设正值函数 f(x)在1，+)上连续，则函数（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 *注意到：在1，+)上 f(x)0，因此，当 x1 时*令 F(x)=0，得*=0，解得唯一驻点 x=2由于当 1x2 时，F(x)0；当 x2 时，F(x)0，所以 F(x)在点 x=2 处取得极小值 F(2)，又
13、因为 x=2 是唯一的极值点，所以 x=2 是 F(x)的最小值点12.x 轴上方的星形线： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 x 轴上方的星形线表达式为*13.已知函数 y(x)可微(x0)且满足方程（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 这是含变限积分的方程先将原方程两边求导，转化为常微分方程得*在原方程中令 x=1 得 y(1)=1于是原方程与初值问题*等价这是齐次方程，令*得*分离变量得*由 y(1)=1 得 C=-1，代入*得*14.已知矩阵 与 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-3，0)(0，3)）解析：分析 由*可
14、知矩阵 A 的特征值为 3，3，0二次型 xTAx 正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0又由*可知矩阵 B 的特征值为 3-a，3+a，0当*即-3a3 时，A 与 B 有相同的正、负惯性指数，A 与 B 合同因为 A 与 B 不相似，所以 A 和 B 特征值不相同，因此 a0评注 两个同阶实对称矩阵相似的充要条件是它们的相同的特征值；而两个同阶实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的正惯性指数三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解一 作变量替换*，则有*再分部积分得*其中 *于是*根据三角形示意图，易变量还原得*分析与求解二
15、为了作分部积分，先求*同样由三角形示意图，变量还原得*于是由分部积分得*)解析：16.抛物线 y=x2上任意点(a，a 2)(a0)处引切线 L1，在另一点处引另一切线 L2，L 2与 L1垂直() 求 L1与 L2交点的横坐标 x1；() 求 L1，L 2与抛物线 y=x2所围图形的面积 S(a)；() 问 a0 取何值时 S(a)取最小值（分数：10.00）_正确答案：() 抛物线 y=x2在点(a，a 2)处的切线为L1：y=a 2+2a(x-a)，即 y=2ax-a2另一点(b，b 2)处的切线为L2：y=b 2+2b(x-b)，即 y=26x-b2由 L1与 L2垂直*它们的交点(x
16、 1，y 1)满足*于是*() L 1，L 2与 y=x2所围图形的面积*由 x1的表达式知，x 1-b=a-x1*() 求导解最值问题由*时 S(a)取最小值*)解析：17.() 设 f(x)在(a，+)可导且 ，求证：若 A0，则 ；若 A0，则 () 设 g(x)在0，+)连续，且 收敛，又 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：18.计算 （分数：10.00）_正确答案：(解法一 D 的极坐标表示：*于是*解法二 D 是区域 D1与 D2的差集，它们的极坐标表示是*于是*)解析：分析 这是 x2+y2在某区域 D 上的二重积分的累次积分从题设的累次积分知，积分区域 D 如图所示由
17、被积函数和区域 D 可以看出，本题宜采用极坐标而*和*的极坐标方程分别为 r=2 和r=2cos*19.证明下列结论：() 设 f(x，y)定义在全平面上，且 ，则 f(x，y)恒为常数；() 设 u(x，y)，v(x，y)定义在全平面上，且满足（分数：10.00）_正确答案：() 即证 f(x，y)=f(0，0) (*x，y)由于*因此 f(x，y)=f(0，0) (*x，y)() 由所给条件我们将证明*由*将*代入上式*此方程组的系数行列式*若 C=0*u=0，v=0；若 C0*u(x，y)为常数同理可证：v(x，y)为常数)解析：20.设 xOy 平面第一象限中有曲线 ：y=y(x)，过
18、点 A(0， )，y(x)0M(x，y)为，上任意一点，满足：弧段 的长度与点 M 处 的切线在 x 轴上的截距之差为 （分数：11.00）_正确答案：() 先求出 在点 M(x，y)处的切线方程y-y(x)=y(x)(X-x)，其中(x，y)是切线上点的坐标在切线方程中令 Y=0，得 x 轴上的截距*又弧段*的长度为*，按题意得*这是积分、微分方程，两边对 x 求导，就可转化为二阶微分方程：*又由条件及式得*因此得初值问题*问题与是等价的() 下面求解这是不显含 x 的二阶方程，作变换 p=y，并以 y 为自变量得*分离变量得*两边积分*得*由*时 p=1*C=0*，改写成*将上面两式相减*
19、再积分得*其中*则就是所求曲线 的表达式*)解析：21.设函数 f(x)在a，+)内二阶可导且 f“(x)0，又 ba，f(a)=A0，f(b)=B0，f(b)0，求证：() （分数：11.00）_正确答案：() 方法 1f“(x)0(xa，+)*f(x)在a，+)是凸函数*f(x)f(b)+f(b)(x-b) (xa，+)，xb)令*方法 2 由泰勒公式可得*其中*() f(x)在a，+)连续，f(b)0，*在*(a，+)有一个零点因 f“(x)0(xa，+)*f(x)在0，+)由 f(b)0*f(x)0(xb)*f(x)在b，+)*f(x)在(b，+)只有唯一零点当 xa，b时，由于 f(
20、b)0，f(x)，只有以下两种情形：1 f(x)0(xa，b)*f(x)在a，b，如图(1)*f(x)f(b)0(xa，b)；2 *x0(a，b)，如图(2)，*f(x)0(xa，b)因此 f(x)在a，+)有唯一零点，即方程 f(x)=0 在a，+)有且仅有一个实根*)解析：22.已知向量 =( 1， 2， 3， 4)T 可以由 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0) T， 3=(0，2，-1，-3) T， 4=(0，0，3，3) T线性表如。() 求 1， 2， 3， 4应满足的条件；() 求向量组 1， 2， 3， 4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线(
21、) 把向量 分别用 1， 2， 3， 4和它的极大线性无关组线性表出。（分数：11.00）_正确答案：() 可由 1， 2， 3， 4线性表出，即方程组 x1 1+x2 2+x3 3+x4 4= 有解对增广矩阵作初等行变换，有*所以向量 可以由 1， 2， 3， 4线性表出的充分必要条件是：a 1-a2+a3-a4=0() 向量组 1， 2， 3， 4的极大线性无关组是： 1， 2， 3，而 4=-6 1+6 2-3 3 () 方程组的通解是x1=a1-a2+2a3-6t，x 2=a2-2a3+6t，x 3=a3-3t，x 4=t，其中 t 为任意常数，所以 =(a 1-a2+2a3-6t)
22、1+(a2-2a3+6t) 2+(a3-3t) 3+t 4，其中 t 为任意常数由把 4代入，得=(a 1-a2+2a3) 1+(a2-2a3) 2+a3 3)解析：23.设二次型矩阵 A 满足 AB=0，其中 （分数：11.00）_正确答案：() 由*知，矩阵 B 的列向量是齐次方程组 Ax=0 的解向量记*，则 A 1=0=0 1，A 2=0=0 2所以 =0 是矩阵 A 的特征值(至少是二重)， 1， 2是 =0 的线性无关的特征向量根据 i=a ii有 0+0+ 3=1+4+1，故知矩阵 A 有特征值 =6因此，矩阵 A 的特征值是 0，0，6设 =6 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有*解出 3=(1，2，-1) T对 1， 2正交化，令 1=(1，0，1) T，则*再对 1， 2， 3单位化，得*那么经坐标变换 X=Qy，即*二次型化为标准形*() 因为 A，有 A-3E-3E，进而(A-3E) 6(-3E) 6又 -3E=*，所以由 Q-1AQ= 得 Q-1(A-3E)6Q=(-3E) 6=36E于是(A-3E)6=Q(-3E) 6Q-1=Q(36E)Q-1=36E*)解析：
