1、考研数学二-230 及答案解析(总分：118.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：21.00)1.已知 （分数：1.00）填空项 1:_2. （分数：4.00）填空项 1:_3. （分数：4.00）填空项 1:_4. （分数：4.00）填空项 1:_5. （分数：4.00）填空项 1:_6. （分数：4.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)7. （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.9.设 n(3)维向量 1=(a，1，1，1) T， 2=(1，a，1，1) T， 3=(1，1，a，1)T， n=(
2、1，1，1，a) T若秩 r( 1， 2， 3， n)=n-1，则 a= A. 1 B. -1 C. 1-n D. n-1（分数：4.00）A.B.C.D.10. （分数：4.00）A.B.C.D.11. （分数：4.00）A.B.C.D.12. （分数：4.00）A.B.C.D.13. （分数：4.00）A.B.C.D.14. （分数：4.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：65.00)15.求minx 2，x+6dx（分数：1.00）_16. （分数：1.00）_17.证明不等式 （分数：11.00）_18. （分数：11.00）_19.设 f(x)在a，b上连续，在
3、(a，b)内有二阶导数，f(a)=f(b)=0，且存在 c(a，6)，使 f(c)0，试证：存在一点 (a，b)，使 f“()0（分数：10.00）_20.设 f(x)与 g(x)在(a，b)内可导，且 f(x)+f(x)g(x)0，试证明： (1)在(a，b)内方程 f(x)=0 至多有一个实根； (2)如果 f(x)为连续函数，且恒有 f(t)dtf(x)，试证明：对任意 x0，积分（分数：10.00）_21. （分数：11.00）_22. （分数：9.00）_23.设 f(x)在a，b上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，f(a)f(b)0，证明：至少存在一点 (a，b
4、)，使 f“()=0（分数：1.00）_考研数学二-230 答案解析(总分：118.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：6，分数：21.00)1.已知 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由 f(x+4)=f(x)知 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 *2. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：*3. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*4. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*5. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*6. （分数：4.00）填空项 1:_
5、 （正确答案：*）解析：*二、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)7. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*8. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*9.设 n(3)维向量 1=(a，1，1，1) T， 2=(1，a，1，1) T， 3=(1，1，a，1)T， n=(1，1，1，a) T若秩 r( 1， 2， 3， n)=n-1，则 a= A. 1 B. -1 C. 1-n D. n-1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 令* 对 A 作初等行变换，把第 1 行的-1 倍依次加至第 2，3，n 各行，又因 r(A)=n-1，显然有 a1把 2，3，n 行约去
6、 1-a 后再加至第 1 行就有 * 注 由于矩阵 A 是实对称矩阵，必有 A如果你能快捷地求出矩阵 A 的特征值，那么通过 r(A)=r(A)=n-1 可以很快地求出 a10. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：*11. （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*12. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*13. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*14. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*三、B解答题/B(总题数：9，分数：65.00)15.求minx 2，x+6dx（分数：1.00）_正确答案：(先将*用分段表达式表示 * 由于 f(x)连续，所以原函
7、数存在，且 *)解析：分析 连续的分段函数求不定积分的方法是：首先在定义域内的每一段上求不定积分，然后再根据原函数在分段点的连续性确定任意常数之间的关系16. （分数：1.00）_正确答案：(*)解析：17.证明不等式 （分数：11.00）_正确答案：(分析与证明 由*可得 * 又因当 x0 时 ln(1-x)0，而当 0x1 时 ln(1-x)0，故当 x1 且 x0 时总有 xln(1-x)0，于是 * 考察函数 f(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x)，知 f(0)=0，且 * 故 f(x)当 x0 时单调减少，从而 f(x)f(0)=0 当 x0 时成立，又 f(x)当 0x1
8、时单调增加，从而f(x)f(0)=0 当 0x1 时成立综合即得 f(x)0 当 x1 且 x0 时成立这表明不等式*当 x1且 x0 时成立)解析：18. （分数：11.00）_正确答案：(*)解析：19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内有二阶导数，f(a)=f(b)=0，且存在 c(a，6)，使 f(c)0，试证：存在一点 (a，b)，使 f“()0（分数：10.00）_正确答案：(由题设知，f(x)在a，c，c，b上满足拉格朗日中值定理的条件，于是有 * 因为 f(a)=f(b)=0，f(c)0， 故 f( 1)0，f( 2)0 又由题设知，f(x)在 1， 2*a，b上满足拉
9、格朗日定理条件，于是有 * 因 f( 1)0，f( 2)0， 2 1， 故 f“()0，(a，b)解析：分析 本题的证明要连续应用拉格朗日中值定理20.设 f(x)与 g(x)在(a，b)内可导，且 f(x)+f(x)g(x)0，试证明： (1)在(a，b)内方程 f(x)=0 至多有一个实根； (2)如果 f(x)为连续函数，且恒有 f(t)dtf(x)，试证明：对任意 x0，积分（分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)用反证法设 f(x)=0 在(a，b)中至少有两个实根，例如 f(x1)=f(x2)=0，其中：ax 1x 2b令 (x)=f(x)e g(x)，则 (x 1)=(x
10、2)=0则由罗尔定理：*(a，b)使 F()=0则 f()+f()g()=0 与题设矛盾，所以在(a，b)内 f(x)=0 至多有一个实根(2)今*，则 F(x)=f(x)由条件知 F(x)F(x)，取 g(x)=-x，则 g(x)=-1，所以 F(x)F(x)相当于 F(x)+F(x)g(x)0由(1)知 F(x)在(-，+)至多有一个实根因为 F(0)=0，所以*)解析：分析 使用反证法，并构造辅助函数 (x)=f(x)e g(x)评注 由若干小题构成一个大题，经常做后面小题时要用到前面小题的结论21. （分数：11.00）_正确答案：(*)解析：22. （分数：9.00）_正确答案：(*
11、)解析：23.设 f(x)在a，b上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，f(a)f(b)0，证明：至少存在一点 (a，b)，使 f“()=0（分数：1.00）_正确答案：(证 由于 f(a)f(b)0，所以 f(a)，f(b)同号，不妨假设 f(a)0，f(b)0，则*，根据极限的保号性可得：在(a，b)内至少存在一点 C，使 f(C)f(a)；在(a，b)内至少存在一点 d，使f(d)f(b)由 f(a)=f(b)，所以函数 f(x)在(a，b)内存在最大值 x2与最小值点 x1，而由费马定理知：f(x1)=f(x2)=0对 f(x)在闭区间x 1，x 2上使用罗尔定理可得：至少存在一点 (a，b)，使 f“()=0)解析：分析 欲证结论为在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f(n)()=0此类命题解题的一般思路为：找a，b的一个子区间x 1，x 2，使得 f(n-1)(x1)=f(n-1)(x2)然后对 f(n-1)(x)在x l，x 2上使用罗尔中值定理即可
