1、考研数学二-230 及答案解析(总分:118.00,做题时间:90 分钟)一、B填空题/B(总题数:6,分数:21.00)1.已知 (分数:1.00)填空项 1:_2. (分数:4.00)填空项 1:_3. (分数:4.00)填空项 1:_4. (分数:4.00)填空项 1:_5. (分数:4.00)填空项 1:_6. (分数:4.00)填空项 1:_二、B选择题/B(总题数:8,分数:32.00)7. (分数:4.00)A.B.C.D.8. (分数:4.00)A.B.C.D.9.设 n(3)维向量 1=(a,1,1,1) T, 2=(1,a,1,1) T, 3=(1,1,a,1)T, n=(
2、1,1,1,a) T若秩 r( 1, 2, 3, n)=n-1,则 a= A. 1 B. -1 C. 1-n D. n-1(分数:4.00)A.B.C.D.10. (分数:4.00)A.B.C.D.11. (分数:4.00)A.B.C.D.12. (分数:4.00)A.B.C.D.13. (分数:4.00)A.B.C.D.14. (分数:4.00)A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数:9,分数:65.00)15.求minx 2,x+6dx(分数:1.00)_16. (分数:1.00)_17.证明不等式 (分数:11.00)_18. (分数:11.00)_19.设 f(x)在a,b上连续,在
3、(a,b)内有二阶导数,f(a)=f(b)=0,且存在 c(a,6),使 f(c)0,试证:存在一点 (a,b),使 f“()0(分数:10.00)_20.设 f(x)与 g(x)在(a,b)内可导,且 f(x)+f(x)g(x)0,试证明: (1)在(a,b)内方程 f(x)=0 至多有一个实根; (2)如果 f(x)为连续函数,且恒有 f(t)dtf(x),试证明:对任意 x0,积分(分数:10.00)_21. (分数:11.00)_22. (分数:9.00)_23.设 f(x)在a,b上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b),f(a)f(b)0,证明:至少存在一点 (a,b
4、),使 f“()=0(分数:1.00)_考研数学二-230 答案解析(总分:118.00,做题时间:90 分钟)一、B填空题/B(总题数:6,分数:21.00)1.已知 (分数:1.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:分析 由 f(x+4)=f(x)知 f(x)是以 4 为周期的周期函数,所以 *2. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2)解析:*3. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*4. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*5. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:*6. (分数:4.00)填空项 1:_
5、 (正确答案:*)解析:*二、B选择题/B(总题数:8,分数:32.00)7. (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*8. (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*9.设 n(3)维向量 1=(a,1,1,1) T, 2=(1,a,1,1) T, 3=(1,1,a,1)T, n=(1,1,1,a) T若秩 r( 1, 2, 3, n)=n-1,则 a= A. 1 B. -1 C. 1-n D. n-1(分数:4.00)A.B.C. D.解析:分析 令* 对 A 作初等行变换,把第 1 行的-1 倍依次加至第 2,3,n 各行,又因 r(A)=n-1,显然有 a1把 2,3,n 行约去
6、 1-a 后再加至第 1 行就有 * 注 由于矩阵 A 是实对称矩阵,必有 A如果你能快捷地求出矩阵 A 的特征值,那么通过 r(A)=r(A)=n-1 可以很快地求出 a10. (分数:4.00)A.B. C.D.解析:*11. (分数:4.00)A.B.C. D.解析:*12. (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*13. (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*14. (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:*三、B解答题/B(总题数:9,分数:65.00)15.求minx 2,x+6dx(分数:1.00)_正确答案:(先将*用分段表达式表示 * 由于 f(x)连续,所以原函
7、数存在,且 *)解析:分析 连续的分段函数求不定积分的方法是:首先在定义域内的每一段上求不定积分,然后再根据原函数在分段点的连续性确定任意常数之间的关系16. (分数:1.00)_正确答案:(*)解析:17.证明不等式 (分数:11.00)_正确答案:(分析与证明 由*可得 * 又因当 x0 时 ln(1-x)0,而当 0x1 时 ln(1-x)0,故当 x1 且 x0 时总有 xln(1-x)0,于是 * 考察函数 f(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x),知 f(0)=0,且 * 故 f(x)当 x0 时单调减少,从而 f(x)f(0)=0 当 x0 时成立,又 f(x)当 0x1
8、时单调增加,从而f(x)f(0)=0 当 0x1 时成立综合即得 f(x)0 当 x1 且 x0 时成立这表明不等式*当 x1且 x0 时成立)解析:18. (分数:11.00)_正确答案:(*)解析:19.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内有二阶导数,f(a)=f(b)=0,且存在 c(a,6),使 f(c)0,试证:存在一点 (a,b),使 f“()0(分数:10.00)_正确答案:(由题设知,f(x)在a,c,c,b上满足拉格朗日中值定理的条件,于是有 * 因为 f(a)=f(b)=0,f(c)0, 故 f( 1)0,f( 2)0 又由题设知,f(x)在 1, 2*a,b上满足拉
9、格朗日定理条件,于是有 * 因 f( 1)0,f( 2)0, 2 1, 故 f“()0,(a,b)解析:分析 本题的证明要连续应用拉格朗日中值定理20.设 f(x)与 g(x)在(a,b)内可导,且 f(x)+f(x)g(x)0,试证明: (1)在(a,b)内方程 f(x)=0 至多有一个实根; (2)如果 f(x)为连续函数,且恒有 f(t)dtf(x),试证明:对任意 x0,积分(分数:10.00)_正确答案:(详解 (1)用反证法设 f(x)=0 在(a,b)中至少有两个实根,例如 f(x1)=f(x2)=0,其中:ax 1x 2b令 (x)=f(x)e g(x),则 (x 1)=(x
10、2)=0则由罗尔定理:*(a,b)使 F()=0则 f()+f()g()=0 与题设矛盾,所以在(a,b)内 f(x)=0 至多有一个实根(2)今*,则 F(x)=f(x)由条件知 F(x)F(x),取 g(x)=-x,则 g(x)=-1,所以 F(x)F(x)相当于 F(x)+F(x)g(x)0由(1)知 F(x)在(-,+)至多有一个实根因为 F(0)=0,所以*)解析:分析 使用反证法,并构造辅助函数 (x)=f(x)e g(x)评注 由若干小题构成一个大题,经常做后面小题时要用到前面小题的结论21. (分数:11.00)_正确答案:(*)解析:22. (分数:9.00)_正确答案:(*
11、)解析:23.设 f(x)在a,b上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b),f(a)f(b)0,证明:至少存在一点 (a,b),使 f“()=0(分数:1.00)_正确答案:(证 由于 f(a)f(b)0,所以 f(a),f(b)同号,不妨假设 f(a)0,f(b)0,则*,根据极限的保号性可得:在(a,b)内至少存在一点 C,使 f(C)f(a);在(a,b)内至少存在一点 d,使f(d)f(b)由 f(a)=f(b),所以函数 f(x)在(a,b)内存在最大值 x2与最小值点 x1,而由费马定理知:f(x1)=f(x2)=0对 f(x)在闭区间x 1,x 2上使用罗尔定理可得:至少存在一点 (a,b),使 f“()=0)解析:分析 欲证结论为在(a,b)内至少存在一点 ,使得 f(n)()=0此类命题解题的一般思路为:找a,b的一个子区间x 1,x 2,使得 f(n-1)(x1)=f(n-1)(x2)然后对 f(n-1)(x)在x l,x 2上使用罗尔中值定理即可