1、考研数学二-227 及答案解析(总分：216.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1. A1 B C D-1 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)是(-，+)上的连续奇函数，且满足|f(x)|M，其中常数 M0，则函数 F(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.3.设有以下函数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.定积分 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 D 是以点 A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，-1)为顶点的三角形区域，则 （分数：4.00）A.B.C.D.6.函数 u=xyz2在条件 x2+y2+z2=4(x0，
2、y0，z0)下的最大值是A （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 为 n 阶矩阵，对于齐次线性方程()A nx=0 和()A n+1x=0，则必有 A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解 C.()的解是()的解，但()的解不是()的解 D.()的解不是()的解，()的解也不是()的解（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知 4 维列向量 1， 2， 3线性无关，若 i(i=1，2，3，4)非零且与 1， 2， 3均正交，则秩r( 1， 2， 3， 4)= A.1 B.2 C.3 D.4（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题
3、/B(总题数：6，分数：24.00)9.已知 是 f(x)当 x1 时的一个原函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)=x2eax在(0，+)内有最大值 1，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x)是六次多项式，已知曲线 y=f(x)与 x 轴切于原点，且以(-1，1)，(1，1)为拐点，又在(-1，1)，(1，1)处有水平切线，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，当 x(0，+)时 f(x)0 且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函
4、数，它们满足 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：6，分数：160.00)试证明：（分数：20.00）(1).当 x0 时，存在 (x)(0，1)，使得 （分数：10.00）_(2).当 x0 时 (x)为单调增加函数且 （分数：10.00）_过原点作曲线 的切线 L，该切线与曲线 （分数：20.00）(1).求切线 L 的方程（分数：10.00）_(2).求 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积 V（分数：10.00）_设 1ab，函数 f(x)=xln2x，求证 f(x)满足不等式（分数：40.00）(1).0f“(x)2(
5、x1)（分数：10.00）_(2). （分数：10.00）_(3).设 u=f(2x+3y，z)，其中 f 具有二阶连续偏导数，而 z=z(x，y)是由方程 =1 确定并满足 z(0，0)=1 的函数，求 结果用 (0，1)， （分数：10.00）_(4).计算二重积分 （分数：10.00）_设 f(x)在(-，+)是连续函数，（分数：30.00）(1).求初值问题 （分数：10.00）_(2).求证 是初值问题 （分数：10.00）_(3).求 y“+y=f(x)的通解（分数：10.00）_设 f(x)在(-，+)内一阶可导，求证：（分数：30.00）(1).若 f(x)在(-，+)是凹函数
6、，则 或 （分数：10.00）_(2).若 f(x)在(-，+)内二阶可导，又存在极限 （分数：10.00）_(3).已知矩阵 （分数：10.00）_已知三元二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 其矩阵 A 各行元素之和均为 0，且满足AB+B=0，其中（分数：20.00）(1).用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换；（分数：10.00）_(2).若 A+kE 正定，求 k 的取值（分数：10.00）_考研数学二-227 答案解析(总分：216.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1. A1 B C D-1 （分数：4.00）A.B
7、. C.D.解析：这是一个*型未定式，使用洛必达法则，有*故选(B)在计算中用了等价无穷小量因子替换：-sin 2x-x2-2x 2(x0)最后一步用的是极限四则运算法则2.设 f(x)是(-，+)上的连续奇函数，且满足|f(x)|M，其中常数 M0，则函数 F(x)= （分数：4.00）A. B.C.D.解析：首先，由于被积函数 te-t2f(t)是(-，+)上的偶函数，故 F(x)是(-，+)上的奇函数其次，对任何 x0，有*利用 F(x)的对称性，当 x0 时上面的不等式也成立从而，函数 F(x)还是(-，+)上的有界函数故应选(A)3.设有以下函数 （分数：4.00）A.B. C.D.
8、解析：按定义分析，即分析*的存在性，并要逐一分析 由*在点 x=0 处可导 由*在点 x=0处不可导 由*在点 x=0 处可导 由*在点 x=0 处不可导 因此选(B) 1以上的极限运算中利用了等价无穷小因子替换：*sinxx(x0) 2这几个函数作为复合函数是可导函数与不可导函数的复合，或不可导函数与可导函数的复合，因此不能用复合函数求导法则来讨论，如中，g(u)=cosu 与*的复合，u=*在 x=0 处不可导，而 g(u)在*可导，复合结果*在 x=0 处可导，又如中，g(u)=sinu 与*复合结果*在 x=0 处不可导。4.定积分 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：令 x2=
9、t，则*又*于是*故选 A。5.设 D 是以点 A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，-1)为顶点的三角形区域，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：D 如图所示，连*将 D 分成 D=D1D 2，D 1，D 2分别关于 xy 轴对称，*sin(xy)对 x，y 均为奇函数*=0+0=0D 的面积*因此*选(C)6.函数 u=xyz2在条件 x2+y2+z2=4(x0，y0，z0)下的最大值是A （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析一 用拉格朗日乘子法求解令 F(x，y，z)=xyz 2+(x 2+y2+z2-4)，则*由，得 y=x，z=*，代人得 x=1，y=1，z=*
10、因存在最大值，又驻点唯一，所以最大值为*应选(C)分析二 化为简单最值问题由条件解出 z2=4-x2-y2(0x 2+y24)，代入表达式，转化为求u=xy(4-x2-y2)在区域 D=(x，y)|0x 2+y24的最大值解*即*得 x=1，y=1 *u(1，1)=2又 u 在 D 的边界上取零值，因此*(x，y)=2应选(C)7.设 A 为 n 阶矩阵，对于齐次线性方程()A nx=0 和()A n+1x=0，则必有 A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解 C.()的解是()的解，但()的解不是()的解 D.()的解不是()的解，()的解
11、也不是()的解（分数：4.00）A. B.C.D.解析：的解，即 An=0，显然 An+1=A(A n)=A0=0，即 必是()的解可排除(C)和(D)若 是()的解，即 An+1=0假若 不是()的解，即 An0，那么对于向量组，A，A 2，A n，一方面这是 n+1 个 n 维向量必线性相关；另一方面，若k+k 1A+k 2A2+k nAn=0，用 An左乘上式，并把 An+1=0，A n+2=0，代入，得 kAn=0由于 An0，必有 k=0对k1A+k 2A2+k nAn=0，用 An-1左乘上式可推知 k1=0类似可知 ki=0(i=2，3，n)于是向量组 ，A，A 2，A n 线性
12、无关，两者矛盾所以必有An=0，即()的解必是()的解由此可排除(B)故应选(A)8.已知 4 维列向量 1， 2， 3线性无关，若 i(i=1，2，3，4)非零且与 1， 2， 3均正交，则秩r( 1， 2， 3， 4)= A.1 B.2 C.3 D.4（分数：4.00）A. B.C.D.解析：设 1=(a11，a 12，a 13，a 14)T， 2=(a21，a 22，a 23，a 24)T， 3=(a31，a 32，a 33，a 34)T，那么 i与 1， 2， 3均正交，即内积*=0(j=1，2，3，4)亦即 j(j=1，2，3，4)是齐次方程组*的非零解由于 1， 2， 3线性无关，
13、故系数矩阵的秩为 3所以基础解系有 4-3=1 个解向量,从而r( 1， 2， 3， 4)=1故应选(A)二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.已知 是 f(x)当 x1 时的一个原函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：由题设知 * 用分部积分法计算定积分，得 *10.设 f(x)=x2eax在(0，+)内有最大值 1，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：因为 f(x)在(0，+)内可导，且取得最大值，所以其最大值必在 f(x)的驻点处取得由 f(x)=2xeax+ax2eax=0 知*为 f(x)在(0，+)内唯一的驻
14、点，故*，即 a0又*，得*易证 f(x)=x2eax当 a0 时在(0，+)存在最大值即由*在*，在*因此 f(x)在*处取(0，+)的最大值11.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=-ln(1+e-e x)）解析：分析一 这是可分离变量的方程，分离变量得 e-ydy=exdx，积分得-e -y=ex+C，即 ex+e-y=C于是得通解 ex+e-y=C，C 为正常数由初条件 y(0)=-1 可确定 C=1+e，代入后即可解出所求特解为 y=-ln(1+e-ex)分析二 原方程可改写为*令 u=x+y，则有*，即*积分得*，其中*从而得通解 x+ln1+e-(x+y)
15、=C由初条件 y(0)=-1 可确定常数 C=ln(1+e)，代入即知特解满足 x+ln1+e-(x+y)=ln(1+e)，即 ex1+e-(x+y)=1+e，化简即得 ex+e-y=1+e，解出得特解为 y=-ln(1+e-ex)12.设 f(x)是六次多项式，已知曲线 y=f(x)与 x 轴切于原点，且以(-1，1)，(1，1)为拐点，又在(-1，1)，(1，1)处有水平切线，则 f(x)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x 6-3x4+3x2）解析：由题设，(-1，1)，(1，1)为拐点，故 y“有因式(x+1)(x-1)由于在此二点处确水平切线，故 y有因式(x+1)(
16、x-1)，因此 y有因式(x+1) 2(x-1)2又曲线与 x 轴切于原点，故 y有因式 x，于是可设y=ax(x+1)2(x-1)2=a(x5-2x3+x)，从而 *将 x=0，y=0 代入，得 C=0将 x=1，y=1 代入，得 a=6，故y=f(x)=x6-3x4+3x213.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，当 x(0，+)时 f(x)0 且单调上升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f(x)=x 2(x0)）解析：分析一 由定积分的几何意义知：*f(x)dx=由曲线 y=f(x)，x、y 轴及直线 x=t0 所
17、围成的曲边梯形的面积，*g(y)dy=由曲线 x=g(y)，y 轴(yf(0)及直线 y=f(t)所围成的曲边三角形的面积x=g(y)与 y=f(x)互为反函数，代表同一条曲线，它们面积之和是长方形面积(边长分别为 t 与 f(t)，见图*于是*因此 tf(t)=t3，f(t)=t 2(t0)即 f(x)=x2(x0)分析二 先化简题设方程的左端式子，有*于是*即 tf(t)=t3,f(t)=t2(t0)因此 f(x)=x2(x0)分析三 将题设方程两边求导得*即 f(t)+gf(t)f(t)=3t2f(t)+tf(t)=3t2亦即tf(t)=3t 2(原方程中令 t=0，等式自然成立，不必另
18、加条件)将上式积分得tf(t)=t3+C，即*因 f(t)在0，+)上连续，故必有 C=0因此 f(x)=x2(x0)14.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由于 A(A2)2=A5，故 A=(A2)2-1A5=(A2)-12A5而*所以*注意*本题中计算出*更简捷一些三、B解答题/B(总题数：6，分数：160.00)试证明：（分数：20.00）(1).当 x0 时，存在 (x)(0，1)，使得 （分数：10.00）_正确答案：(令 f(x)=*，当 x0 时由拉格朗日中值定理得 f(x+1)-f(x)=f()即* 其中xx+1记 (x)=-x，则 =z+，并且 (
19、0，1)，从而有 *)解析：(2).当 x0 时 (x)为单调增加函数且 （分数：10.00）_正确答案：(由*解得*由于 * 所以 x0 时 (x)为 x 的单调增加函数 因为 * 且 x0，+)时 (x)为 x 的单调函数，于是有 x0 时 *即*)解析：过原点作曲线 的切线 L，该切线与曲线 （分数：20.00）(1).求切线 L 的方程（分数：10.00）_正确答案：(设切线的切点为(x 0,y0)，则切线的斜率为*，所以切线 L 的方程为*其中*因 L 过(0，0)点，把 x=0，y=0 代入上述方程得*即 x0=2，y 0=e因此所求切线 L 的方程为*即*)解析：(2).求 D
20、绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积 V（分数：10.00）_正确答案：(平面图形 D 如图*解法一 取积分变量为 y设*，y=e，y 轴所围平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积为 V1，它是锥体，*y=*(x0，2)即 x=2lny(y1，e)，y=e，y 轴所围平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积为V2，则 V=V1-V2，*因此*解法二 取积分变量为 x设 y=*x(x0，2)，y 轴，x 轴，x=2 所围平面图形绕 y 轴旋转得旋转体体积为 V1，y=*ex，x 轴，x=2 所围平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积为 V2，则 V=V1-V2*因此*。M *(x*，y *)是曲线 y=
21、f(x)外一点，求曲线 y=f(x)切线使之通过 M*点的方法是：先求出过曲线上任意点(x0，y 0)(y0=f(x0)处的切线方程y=y0+f(x0)(x-x0)然后令 x=x*，y=y *,解出 x0即可求切线方程时，要考察指定点是否在曲线上若指定点不在曲线上，需按中方法先求出切点坐标，再求切线方程，本题中的切线斜率*，因(0,0)不在*上.可以用初等数学解决时，就不必用定积分解决,这样往往会使问题容易些，如解法一中求 V1时用圆锥体的体积公式即可，不必用定积分解决)解析：设 1ab，函数 f(x)=xln2x，求证 f(x)满足不等式（分数：40.00）(1).0f“(x)2(x1)（分
22、数：10.00）_正确答案：(求出 * *f“(x)在1，+)单调下降*f“(x)f“(1)=2(x1)解析：(2). （分数：10.00）_正确答案：(方法 1 引进辅助函数利用单调性证明不等式将 b 改为 x，考察辅助函数 * 其中1axb 由* 其中 1a*x又当 1ax 时 f“(x)2，于是当 1ax 时 * 即G(x)在a，+)，从而 G(x)G(a)=0(xa)，特别有 G(b)0，即 * 方法 2 用泰勒公式在*处展开，有 * 分别取被展开点 x=a，b，得 * * 其中* +得* 由题()*)解析：(3).设 u=f(2x+3y，z)，其中 f 具有二阶连续偏导数，而 z=z
23、(x，y)是由方程 =1 确定并满足 z(0，0)=1 的函数，求 结果用 (0，1)， （分数：10.00）_正确答案：(u 与 x，y 的变量依赖关系如图，其中 z 与 x，y 的函数关系由以下方程确定： * * 由u=f(2x+3y，z)，有 *(*) 将*分别对 x，y 求偏导数有 * 将*代入(*)式可得*，该式再对 y 求偏导数并将*的表达式代人有 * 以 x=0，y=0 从而 z(0，0)=1 代入即得 *)解析：(4).计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(解一 D 为圆域：*作平移变换*，D 变成 D：*于是*其中由 D对称性与被积函数的奇偶性*由变量的转换对称性*
24、再作极坐标变换得*解二 D 为圆域 x2+y2x+y，即*如图，由变量的转换对称性*D1是 D 在 y=x 下方部分直接作极坐标变换，D 1的极坐标表示：*分析与求解三 由 x2+y2x+y 得区域 D*令*则 D：02，*(实质上是极坐标变换与平移变换相结合)*)解析：设 f(x)在(-，+)是连续函数，（分数：30.00）(1).求初值问题 （分数：10.00）_正确答案：(方法 1 作为二阶线性常系数齐次方程的初值问题来求解特征方程 2+=0，特征根 =0，=-1，于是通解为 y=c1+c2e-x由初值*c 1=1，c 2=-1因此y=(x)=1-e -x方法 2 作为可降阶方程来求解以
25、 P=y为未知函数，这是一阶线性方程两边乘 ex得(exy)=0积分并由 y(0)=1 得exy=1，即 y=e-x再积分，由 y(0)=0 得*)解析：(2).求证 是初值问题 （分数：10.00）_正确答案：(方法 1 将 (x)=1-e -x代入 y(x)表达式得* 下证 y(x)满足方程与初值，就要计算 y(x)与 y“(x)y(x)是由变限积分定义的函数，由于被积函数含参变量 x，故先作变量替换*现可用变限积分求导法得*两式相加得 y“+y=f(x)在，中令 x=0 得 y(0)=0，y(0)=0方法 2 以 P=y为未知函数，作为一阶线性非齐次方程来求解两边乘 ex得 (ye x)
26、=exf(x)积分并由 y(0)=0 得*再积分并由 y(0)=0 得*)解析：(3).求 y“+y=f(x)的通解（分数：10.00）_正确答案：(由二阶线性非齐次方程通解的结构，并用题()与题()知，y“+y=f(x)的通解是 *)解析：设 f(x)在(-，+)内一阶可导，求证：（分数：30.00）(1).若 f(x)在(-，+)是凹函数，则 或 （分数：10.00）_正确答案：(由*存在 x0(-，+)，f(x 0)0 或 f(x0)0由凹性*f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)(*)若*若*)解析：(2).若 f(x)在(-，+)内二阶可导，又存在极限 （分数：10.00）_正
27、确答案：(反证法若结论不成立，则*(-，+)，f“(x)0 或 f“(x)0 若 f“(x)0*f(x)在(-，+)为凹函数，由题()*或*，与已知矛盾 若 f“(x)0*=-f(x)在(-，+)为凹函数，同样得矛盾 因此，存在 (-，+)，使得 f“()=0)解析：(3).已知矩阵 （分数：10.00）_正确答案：(由矩阵 A 的特征多项式*=(-1) 2(-2)，可知矩阵 A 的特征值是 1，1，2因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，故 A 可化为相似对角矩阵对应重根 1= 2=1，应该有 2 个线性无关的特征向量于是 r(1E-A)=3-2=1，即 r(E-A)=1又*故 a=1由(
28、E-A)x=0，即*得基础解系 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，0) T由(2E-A)x=0，即*得基础解系 3=(2，-1，3) T那么令 P=( 1， 2， 3)，有*从而 A=PP -1于是*要搞清相似对角化的充分必要务件，掌握相似对角化的应用求 An)解析：已知三元二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 其矩阵 A 各行元素之和均为 0，且满足AB+B=0，其中（分数：20.00）(1).用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换；（分数：10.00）_正确答案：(因为 A 各行元素之和均为 0，即*由此可知 =0 是 A 的特征值， 1=(1，1，1) T是 =0 的特征向量由 AB=-B 知-1 是 A 的特征值， 2=(1，0，-1) T， 3=(0，1-1) T是 =-1 的线性无关的特征向量因为 2， 3不正交，将其正交化有 1= 2=(1，0，-1) T，*再单位化，可得 *那么令*，则有*)解析：(2).若 A+kE 正定，求 k 的取值（分数：10.00）_正确答案：(因为 A 的特征值 t 为-1，-1，0，所以 A+kE 的特征值为 k-1，k-1，k那么 A+kE 正定的充分必要条件是 k1.)解析：
