1、考研数学二-226 及答案解析(总分：196.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)是满足 的连续函数，则当 x0 时 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 F(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.定积分 的值为 A B0 C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)在a，b上可导，又且 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y 0)=Fx(x0，y 0)=0，F y(x0，y 0)
2、0，F“ xz(x0，y 0)0由方程 F(x,y)=0 在 x0的某邻域确定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导数，且y(x0)=y0，则 A.y(x)以 x=x0为极大值点 B. y(x)以 x=x0为极小值点 C.y(x)在 x=x0不取极值 D.(x0，y(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题 若 r(A)=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 必有解； 若 r(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解； 若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解； 若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0
3、只有零解中正确的是 A. B. C. D.（分数：4.00）A.B.C.D.8.下列矩阵（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.x 轴上方的星形线： （分数：4.00）填空项 1:_11.设 y=sin4x，则 y(n)=_（分数：4.00）填空项 1:_12.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 x=rcos，y=rsin，则直角坐标系 xOy 中的累次积分 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：4，分数：140.00)设 （分数：
4、40.00）(1).求证：f(x)在0，+)上连续；（分数：10.00）_(2).求 f(x)在0，+)的单调性区间；（分数：10.00）_(3).求 f(x)在0，+)的最大值与最小值（分数：10.00）_(4).设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要作多少功?(假设在球从水中取出的过程中水面的高度不变)（分数：10.00）_已知 （分数：50.00）(1).求这个方程和它的通解；（分数：10.00）_(2).设 y=y(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解，求 （分数：10.00）_(3).设连续函数 f(x)满足 ，求 （分数：10.
5、00）_(4).设 u=u(x，y)由方程组 确定，其中 ()，()有连续的二阶导数且 y“()+“()0，求证： （分数：10.00）_(5).设函数计算二重积分 （分数：10.00）_已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2，-1，3) T，又知齐次方程组 Bx=0 的基础解系是 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，a) T，（分数：20.00）(1).求矩阵 A；（分数：10.00）_(2).如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：10.00）_已知 A 是 3
6、阶矩阵， 1， 2， 3是 3 维线性无关列向量，且 A 1=3 1+3 2-2 3，A 2=- 2，A 3=8 1+6 2-5 3（分数：30.00）(1).写出与 A 相似的矩阵 B；（分数：10.00）_(2).求 A 的特征值和特征向量：（分数：10.00）_(3).求秩 r(A+E)（分数：10.00）_考研数学二-226 答案解析(总分：196.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)是满足 的连续函数，则当 x0 时 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：该题就是求 n0 使得存在极限*其中计算时用了等价无穷小因子替换：f(
7、sin 2x)(sin 2x)2(x0)这表明当 x0 时*是关于 x 的 6 阶无穷小量，即应选(D)2.设 F(x)= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题主要考查变上限定积分求导法、函数的极值以及曲线的拐点等有关知识因 * 于是 * 由 F“(x)符号的变化情况知，曲线 y=F(x)在区间(-1，0是凸的，在区间0，1)是凹的，可见(0，F(0)是其拐点 由 F“(x)符号的变化情况还知道，F(0)是 F(x)的最小值，又 F(0)=0，从而知 F(x)0 当x0 时成立这表明 F(x)在 x=0 处不取极值 综合以上分析知，结论(C)正确，其余均不正确故应选(C)3.设函数
8、（分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题主要考查分段函数在分界点处的连续性，可导性及导函数的连续性问题f(x)的定义域是(-，+)，它被分成两个子区间(-，0和(0，+)在(-，0内 f(x)=x2，因而它在(-，0上连续，在(-，0)内导函数连续，且 f-(0)=0；在(0，+)内*，因而它在(0，+)内连续且导函数连续注意*，因而 f(x)在(-，+)连续可见(A)不正确又因*即 f(x)在 x=0 右导数 f+(0)存在且等于零，这表明 f(0)存在且等于零于是，f(x)在(-，+)上处处存在可见(B)不正确注意，当 x0 时，*于是*不存在，这表明 f(x)在 x=0 处间断可见
9、(C)正确，(D)不正确故选(C)在讨论有关分段函数的连续性和可导性时，常可利用初等函数的性质来得出函数在各分段子区间内的连续性和可导性，但在各分界点处，则常常需按照连续与可导的定义来进行讨论4.定积分 的值为 A B0 C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：用分段积分法并在-1，0与0，1上用推广的牛顿-莱布尼兹公式： * 故应选(C) 由于*又 * 因此，可认为 f(x)在-1，1上连续(补充定义 f(0)=0) 因*而*在 x=0 不可导,不满足在-1，1上对*用牛顿-莱布尼兹公式的条件因此，以下解法是错误的： *5.设 f(x)在a，b上可导，又且 ，则 （分数：4.00）
10、A. B.C.D.解析：令*，则 F(a)=F(b)=0，所给条件变为F“(x)+F(x)2-F(x)=0 (*)若 F(x)在(a，b)不恒为零，则 F(x)在(a，b)取正的最大值或负的最小值设*0，则 x0(a，b)，F(x0)=0，F“(x 0)0*F“(x0)+F(x0)2-F(x0)0与(*)矛盾同理，若 F(x1)=*F(x)0，则同样得矛盾因此 F(x)0(*x(a，b)故应选(A)6.设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y 0)=Fx(x0，y 0)=0，F y(x0，y 0)0，F“ xz(x0，y 0)0由方程 F(x,y)=0
11、 在 x0的某邻域确定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导数，且y(x0)=y0，则 A.y(x)以 x=x0为极大值点 B. y(x)以 x=x0为极小值点 C.y(x)在 x=x0不取极值 D.(x0，y(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点（分数：4.00）A.B. C.D.解析：按隐函数求导法，y(x)满足*令 x=x0，相应地 y=y0得 y(x0)=0将上式再对 x 求导并注意 y=y(x)即得*再令 x=x0，相应地 y=y0得*因*因此 x=x0是 y=y(x)的极小值点故选(B)7.设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题 若 r(A)=m，则非齐次线性方程组 Ax=b
12、必有解； 若 r(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解； 若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解； 若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0 只有零解中正确的是 A. B. C. D.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：因为 A 是 mn 矩阵，若 r(A)=m，说明 A 的行向量组线性无关，那么它的延伸组必线性无关所以必有 r(*)=m从而 r(A)=r(*)，故线性方程组 Ax=b 必有解，正确下面只需判断或正确即可 若 r(A)=n，说明 A 的列向量组线性无关，亦即 Ax=0 只有零解，所以正确，故应选(B) 当 r(A)=m 时，必有 nm如果 m=n，
13、则 Ax=0 只有零解，而 mn 时，Ax=0 必有非零解，所以不正确 当 r(A)=n 时，r(*)有可能是 n+1，方程组 Ax=b 可以无解所以不正确，你能举例说明吗?8.下列矩阵（分数：4.00）A.B.C. D.解析：判断相似应当用相似的必要条件作第一轮判别相似的必要条件是：特征值一样，秩相等，A3，A 4虽特征值一样，但秩不相等，所以不相似A 1与 A2或 A2与 A3虽秩相等但特征值不一样，因此不相似用排除法知应选(C)实际上，A 1，A 3的特征值都是 3，0，0，且 r(0E-A1)=1，r(0E-A 3)=1，则n-r(0E-A1)=3-1=2， n-r(0E-A 3)=3
14、-1=2，说明齐次方程组(0E-A 1)x=0 与(0E-A 3)x=0 都有两个线性无关的解，即对应于 =0，矩阵 A1和 A3都有 2 个线性无关的特征向量，所以矩阵 A1和 A3都与对角矩阵*相似，从而 A1与 A3相似二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：当 x0 时，由*知*是“1 ”型未定式，故*当 x=0 时，应用定积分定义求极限，有*于是*10.x 轴上方的星形线： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：x 轴上方的星形线表达式为 * 计算中用到了公式 *11.设 y=sin4x，则 y
15、(n)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：先分解 * 由归纳法，有 * 于是* *12.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-，-3)）解析：本题主要考查曲线凹凸性的概念以及利用二阶导数的符号判定曲线的凹凸性，不难求得*于是当 x(-，-3)时 y“0，当 x(-3，+)时 y“0由此可见曲线的凸区间是(-，-3)抛物线 y=x2是凹的，抛物线 y=-x2是凸的，前者 y“=20，后者 y“=-20，只要牢记这两个典型曲线的凹凸性，就不难记住凹凸性与 y“符号的对应关系。13.设 x=rcos，y=rsin，则直角坐标系 xOy 中的累次积分 （分数：
16、4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：设累次积分*对应的二重积分为*则积分区域 D=(x，y)|0x2，xy*x，如图令x=rcos，y=rsin，在极坐标系(r，)中，y=x 的极坐标方程是*，y=*的极坐标方程是*，x=2的极坐标方程是*，从而积分区域 * * 故*14.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：27）解析：由*可知矩阵 B 的特征值为 2，3，-2又由矩阵 AB 知矩阵 A 的特征值亦为 2，3，-2故|A|=23(-2)=-12那么，A *的特征值为 6，-6，-4，从而 A*+3E 的特征值为 9，-3，-1于是|A*+3E|=9(-3)(-1)=
17、27三、B解答题/B(总题数：4，分数：140.00)设 （分数：40.00）(1).求证：f(x)在0，+)上连续；（分数：10.00）_正确答案：(当 x0 时 f(x)与初等函数*相同，故连续又 * 即 f(x)在 x=0 处右连续，因此 f(x)在0，+)上连续)解析：(2).求 f(x)在0，+)的单调性区间；（分数：10.00）_正确答案：(考察(0，+)上 f(x)的符号先求 * 并考察*由 * *g(x)在(0，+)单调上升 * *f(x)在0，1单调下降，在1，+)单调上升)解析：(3).求 f(x)在0，+)的最大值与最小值（分数：10.00）_正确答案：(由()中单调性分
18、析知， * 又* 因此* 讨论可导函数 f(x)在区间 I 是否*最值并求出最值得一个方法是：求 f(x)的单调性区间，并求极值及边界点的函数值或极限值，再通过比较而得结论)解析：(4).设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要作多少功?(假设在球从水中取出的过程中水面的高度不变)（分数：10.00）_正确答案：(解一 把球的质量*集中到球心球从水中取出作功问题可以看成质量为*的质点向上移动距离为 1 时变力所作的功问题归结为求出变力，即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力因球的比重为 1，所以*球受的重力=球的体积，球受的浮力：沉在水中部分的体积，它们的
19、合力=球露出水面部分的体积当球心向上移动距离 h 时(0h1)，球露出水面部分的体积为*因此，球从水中取出要作的功为*解二 用微元分析法取 x 轴垂直水平面并通过球心，方向向上，原点为球心*任取下半球中的微元薄片即-1，0上小区间x，x+dx相应的球体中的薄片，其重量为 (1-x 2)dx，在水中浮力与重量相等当球从水中取出时，此薄片移至离水面高为(1+x)处需作功dW=(1+x)(1-x 2)dx于是，对下半球作的功为*任取上半球中的微元薄片即0，1上小区间x，x+dx相应的球体中的薄片，其重量为 (1-x 2)当球从水中取出时，它移动的距离为 1，需作功dW=(1-x 2)dx于是对上半球
20、作的功为*因此，对整个球作的功*)解析：已知 （分数：50.00）(1).求这个方程和它的通解；（分数：10.00）_正确答案：(由线性方程解的叠加原理*均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的于是相应的特征方程为(+2) 2=0，即 2+4+4=0原方程为 y“+4y+4y=f(x) 由于 y*(x)=xe-x是它的特解，求导得y*(x)=e-x(1-x)，y *“(x)=e-x(x-2)代入方程得 e-x(x-2)+4e-x(1-x)+4xe-x=f(x)* f(x)=(x+2)e-x*原方程为 y“+4y+4y=(x+2)e-x，其通解为y=C1e-2x+C2xe-2x+xe-x，其中
21、C1，C 2为*常数)解析：(2).设 y=y(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解，求 （分数：10.00）_正确答案：(*C 1，C 2，方程的*解 y(x)均有*不必由初值来定 C1，C 2，直接将方程两边积分得*)解析：(3).设连续函数 f(x)满足 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(因为*f(y)f(y-x)dy，所以在0，1上积分上式可得 * 将累次积分表成二重积分后交换积分顺序，可得 * (其中 D 如图) * 再对内层积分作变量替换并凑微分可得 * 故*解得 I=2)解析：(4).设 u=u(x，y)由方程组 确定，其中 ()，()有连续的二阶导数且 y
22、“()+“()0，求证： （分数：10.00）_正确答案：(这是由两个方程式构成的方程组，有 4 个变量：x，y，u，按题意 x，y 为自变量，而u， 均为 x，y 的函数：u=u(z，y)，=(x，y) 将第一个方程两边分别对 x，y 求偏导数，并利用第二个方程得 * 进一步求得 * 由条件知*均连续*于是 * 因此*)解析：(5).设函数计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(记 D1=(x,y)|x2+y21，x 2+y22y，x0，如图，则*作极坐标变换求此二重积分因方程 x2+y2=1，x 2+y2=2y 对应的极坐标方程分别为 r=1，r=2sin，解此方程组，得 2sin
23、=1，=*于是 D1的极坐标表示：*)解析：已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2，-1，3) T，又知齐次方程组 Bx=0 的基础解系是 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，a) T，（分数：20.00）(1).求矩阵 A；（分数：10.00）_正确答案：(记 C=( 1， 2)，由 AC=A( 1， 2)=0 知 CTAT=0，则矩阵 AT的列向量(即矩阵 A 的行向量)是齐次线性方程组 CTx=0 的解对 CT作初等行变换，有*得到 CTx=0 的基础解系为 1=(3，-1，1，0) T， 2=(-5，1，0
24、，1) T所以矩阵*)解析：(2).如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：10.00）_正确答案：(设齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 的非零公共解为 ，则 既可由 1， 2线性表出，也可由 1， 2线性表出，故可设=x 1 1+x2 2=-x3 1-x4 2，于是 x 1 1+x2 2+x3 1+x4 2=0对( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有*0 * x 1，x 2，x 3，x 4不全为 0 * 秩 r( 1， 2， 1， 2)4*a=0当 a=0 时，解出 x4=t，x 3=-t，x 2=-t，x 1=2t因此 Ax=0 与
25、 Bx=0 的公共解为 =2t 1-t 2=t(1，4，1，1) T，其中 t 为任意常数矩阵 A 的答案不唯一)解析：已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是 3 维线性无关列向量，且 A 1=3 1+3 2-2 3，A 2=- 2，A 3=8 1+6 2-5 3（分数：30.00）(1).写出与 A 相似的矩阵 B；（分数：10.00）_正确答案：(由于 A( 1， 2， 3)=(3 1+3 2-2 3，- 2，8 1+6 2-5 3)*令 P=( 1， 2， 3)，因 1， 2， 3线性无关，故 P 可逆记*，则有 P-1AP=B，即 A 与 B 相似)解析：(2).求 A 的特征值和特征向量：（分数：10.00）_正确答案：(由*可知矩阵 B 的特征值为-1，-1，-1，故矩阵 A 的特征值为-1，-1，-1对于矩阵 B，由*得特征向量(0，1，0) T，(-2，0，1) T，那么由 B= 即(P -1AP)=，得 A(P)=(P)所以*是 A 的特征向量，于是 A 属于特征值-1 的所有特征向量是k1 2+k2(-2 1+ 3)，其中 k1，k 2不全为 0)解析：(3).求秩 r(A+E)（分数：10.00）_正确答案：(由 AB 有 A+EB+E，故 r(A+E)=r(B+E)=1)解析：
