1、考研数学二-210 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在0，1上连续，又 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 A 是 3 阶矩阵，则对任何 x=(x1，x 2，x 3)T恒有 xTAx=0 的充分必要条件是（分数：4.00）A.|A|=0B.C.A=0D.4.设方程 的全部解均以 为周期，则常数 a 取值为（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题 若 r（分数：4.00）A.=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 必有解； 若 r
2、(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解； 若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解； 若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0 只有零解中正确的是(A) B.C.D.6.定积分 的值为（分数：4.00）A.B.C.D.7.当 x0 时，下面 4 个无穷小量中阶数最高的是（分数：4.00）A.B.4x2+5x3-x5，C.ln(1+x3)-ln(1-x3)D.8.设 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 y=xe-x(0x+)绕 x 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积=_（分数
3、：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.设向量组 1=(1，-1，0) T， 2=(4，2，a+2) T， 3=(2，4，3) T， 4=(1，a，1) T中任何两个向量都可由向量组中另外两个向量线性表出，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)满足 （分数：10.00）_16.设 （分数：10.00）_17.一质量为 M、长为 l 的均匀杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C，此质点 C 位于杆 AB 的中
4、垂线上，且与AB 的距离为 a试求：() 杆 AB 与质点 C 的相互吸引力；() 当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C 沿 y 轴移向无穷远处时，克服引力所做的功（分数：10.00）_18.已知 是某二阶线性常系数微分方程 y“+py+qy=f(x)的三个特解() 求这个方程和它的通解；() 设 y=f(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解，求 （分数：11.00）_19.() 设三次多项式 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足，求 f(x)的极值点；() 设有 （分数：10.00）_20.设 f(t)连续，区域 D=(x，y)|x|1，|y|1，求证：（分数：10
5、.00）_21.设 u=u(x，y)在全平面上有连续偏导数，() 作极坐标变换 x=rcos，y=rsin，求 的关系式；() 若 ( (x，y)，求证：u(x，y)为常数；() 若 (x2+y2R 20)，求证： （分数：11.00）_22.已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，满足 A 1=- 1-3 2-3 3，A 2=4 1+4 2+ 3，A 3=-2 1+3 3() 求矩阵 A 的特征值；() 求矩阵 A 的特征向量；() 求矩阵 A*-6E 的秩（分数：11.00）_23.设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A2=E，且秩 r(A+E)=kn() 求二次
6、型 xTAx 的规范形；() 证明 B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求行列式|B|的值（分数：11.00）_考研数学二-210 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 本题主要考查分段函数的连续性和可导性问题f(x)的定义域是(-，+)，它被分成两个子区间(-，0和(0，+)在(-，0内 f(x)=x2，因而它在(-，0上连续，在(-，0)内导函数连续，且 f-(0)=0；在(0，+)内*，因而它在(0，+)内连续且导函数连续注意*，因而 f(x)在(-，+)连续可见(A
7、)不正确又因*即 f(x)在 x=0 右导数 f+(0)存在且等于零，这表明 f(0)存在且等于零于是，f(x)在(-，+)上处处存在可见(B)不正确注意，当 x0 时，*，于是*不存在，这表明 f(x)在 x=0 处间断可见(C)正确，(D)不正确评注 在讨论有关分段函数的连续性和可导性时，常可利用初等函数的性质来得出函数在各分段子区间内的连续性的可导性，但在各分界点处，则常常需按照连续与可导的定义来进行讨论2.设 f(x)在0，1上连续，又 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 考察*，由于*其中*于是*因此选(C)3.设 A 是 3 阶矩阵，则对任何 x=(x1，x 2，x 3
8、)T恒有 xTAx=0 的充分必要条件是（分数：4.00）A.|A|=0B. C.A=0D.解析：分析 设 A=(aij)，因为*是 11 矩阵(记为 f(x1，x 2，x 3)，所以f(x1，x 2，x 3)=xTAx=(xTAx)T=xTATx如果 AT=-A，则有 xTAx=-xTAx，即 2xTAx=0，从而 xTAx=0，充分性成立当 e1=(1，0，0) T时，由*，得到 f(1，0，0)=a 11=0类似可知 a22=0，a 33=0当 e12=(1，1，0) T时，由*，得到f(1，1，0)=a 12+a21=0，即 a12=-a21类似有 a13=-a31，a 23=-a32
9、所以 aij=0，a ij=-aij即 AT=-A，必要性成立所以选(B)关于条件(C)，它是充分条件，并非必要条件由 AT=-A 得|A|=|A T|=|-A|=(-1)3|A|，知|A|=0，所以(A)是必要条件，但不是充分条件条件(D)既不充分也不必要*4.设方程 的全部解均以 为周期，则常数 a 取值为（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 一阶线性齐次方程*的全部解为*(C 为*常数)，它们均以 为周期*dt 以 为周期方法 1 a+sin2t 以 为周期，则*以 为周期*即*因此应选(D)方法 2 由于*它以 为周期*因此选(D)5.设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命
10、题 若 r（分数：4.00）A.=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 必有解； 若 r(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解； 若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解； 若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0 只有零解中正确的是(A) B. C.D.解析：分析 因为 A 是 mn 矩阵，若 r(A)=m，说明 A 的行向量组线性无关，那么它的延伸组必线性无关所以必有 r(*)=m从而 r(A)=r(*)，故线性方程组 Ax=b 必有解，正确下面只需判断或正确即可若 r(A)=n，说明 A 的列向量组线性无关，亦即 Ax=0 只有零解，所以正确，故应选(B)当 r(A)=
11、m 时，必有 nm如果 m=n，则 Ax=0 只有零解，而 mn 时，Ax=0 必有非零解，所以不正确当 r(A)=n 时，r(*)有可能是 n+1，方程组 Ax=b 可以无解所以不正确，你能举例说明吗?6.定积分 的值为（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 用分段积分法并在-1，0与0，1上用推广的牛顿一莱布尼兹公式：*故应选(C)*7.当 x0 时，下面 4 个无穷小量中阶数最高的是（分数：4.00）A.B.4x2+5x3-x5，C.ln(1+x3)-ln(1-x3)D. 解析：分析 (A)项可化为*它是 2 阶的显然(B)项也是 2 阶的(C)项化为*它是 3 阶的对于(D)项
12、，由于*所以(D)项中的无穷小量是 4 阶的因此，应选(D)8.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 当 x0 时，由*知*是“1 ”型未定式，故*当 x=0 时，应用定积分定义求极限，有*于是*故*应选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-3）解析：分析 *a，f(x)在点 x=0 处左连续，要使 f(x)在点 x=0 处连续*而*a=-3*10.曲线 y=xe-x(0x+)绕 x 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 所求体积为*11.设 （
13、分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：o(x 2)）解析：分析一 按定义求出 f(0)与 f“(0)：*再求 x0 时*又*因此*分析二 若已经知道 f(x)在点 x=0 处二阶可导，则f(x)=x2g(x)=o(x2)，其中*因此 f(x)在点 x=0 处的二阶麦克劳林公式是 f(x)=o(x2)12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 *13.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 I(a)是二重积分的一个累次积分，可写为*其中 D：0y2a，*，它是半圆域：x2+(y-a)2a 2，x0由二重积分中值定理，*(，)D，使
14、得*又 ln(1+a2)a 2(a0)，于是*其中 a0 +时， 2+ 2014.设向量组 1=(1，-1，0) T， 2=(4，2，a+2) T， 3=(2，4，3) T， 4=(1，a，1) T中任何两个向量都可由向量组中另外两个向量线性表出，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 任何两个向量都可以由另两个向量线性表出，说明任两个向量都是这个向量组的极大线性无关组由于*可见 a=1 时，秩 r( 1， 2， 3， 4)=2，且 1， 2， 3， 4中任何两个向量的坐标均不成比例，故任何两个向量都是向量组的极大线性无关组三、解答题(总题数：9，分数：94.0
15、0)15.设 f(x)满足 （分数：10.00）_正确答案：() 先求出 f(x)的表达式由*，得*上式中令 x=0，等式显然成立又两边求导得f(-x)=-x-e-x因此，f(x)=x-e x，x(-，+)下面讨论 f(x)的最值问题由*f(0)=-1 是 f(x)在(-，+)的最大值f(x)在(-，+)无最小值() *x-时有渐近线 y=x又 f(x)无间断点，且*y=f(x)无其他渐近线)解析：16.设 （分数：10.00）_正确答案：(因为 t|t|为奇函数，可知其原函数*为偶函数，而 f(-1)=0，f(1)=0 (因为 t|t|是奇函数)，即 y=f(x)与 x 轴有交点(-1，0)
16、，(1，0)又由f(x)=x|x|，可知 x0 时 f(x)0，故 f(x)单调下降，从而 f(x)f(-1)=0(-1x0)当 x0 时，f(x)=x|x|0，故 x0 时 f(x)单调上升，y=f(x)与 x 轴有唯一交点(1，0)，因此 y=f(x)与 x 轴交点仅有两个所以封闭曲线所围成的面积*当 x0 时，*，故*)解析：分析 由于被积函数 t|t|是奇函数，从而可知 f(x)是偶函数，再由 f(x)的符号，可求出 y=f(x)在 x 轴的两个交点，最后由定积分的几何意义，可求出所论图形的面积17.一质量为 M、长为 l 的均匀杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C，此质点 C 位
17、于杆 AB 的中垂线上，且与AB 的距离为 a试求：() 杆 AB 与质点 C 的相互吸引力；() 当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C 沿 y 轴移向无穷远处时，克服引力所做的功（分数：10.00）_正确答案：() 假定杆 AB 与质点 C 的位置如图所示，根据对称性，引力 F 是沿 y 轴负方向的由于杆AB 的线密度为 M/l，于是，位于x，x+dx上微元的质量即为*，它与质点 C 的引力在 y 轴方向的分力为*因此，引力的大小为*其中 k 为引力常数() 根据上面的计算，当质点 C 位于坐标 y 处时，引力的大小为*，于是*)解析：18.已知 是某二阶线性常系数微分方程 y“+py
18、+qy=f(x)的三个特解() 求这个方程和它的通解；() 设 y=f(x)是该方程满足 y(0)=0，y(0)=0 的特解，求 （分数：11.00）_正确答案：() 由线性方程解的叠加原理*均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的于是相应的特征方程为(+2) 2=0，即 2+4+4=0原方程为 y“+4y+4y=f(x) 由于 y*(x)=xe-x是它的特解，求导得y*(x)=e-x(1-x)，y *“(x)=e-x(x-2)代入方程得 e-x(x-2)+4e-x(1-x)+4xe-x=f(x)*f(x)=(x+2)e-x*原方程为 y“+4y+4y=(x+2)e-x，其通解为y=C1e-2
19、x+C2xe-2x+xe-x，其中 C1，C 2为*常数() *C 1，C 2，方程的*解 y(x)均有*不必由初值来定 C1，C 2，直接将方程两边积分得*)解析：19.() 设三次多项式 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足，求 f(x)的极值点；() 设有 （分数：10.00）_正确答案：()*整理得3ax2+(3a+2b)x+(a+b+c)=12x2+18x+1比较系数得方程组*所以 f(x)=4x 3+3x2-6x+d，f(x)=12x2+6x-6=6(2x-1)(x+1)令 f(x)=0，得驻点 x=-1，*由于*故知 x=-1 为 f(x)的极大值点，*为 f(x)的极小值点
20、() 由变限积分求导法得*，又由反函数求导法得*，再由复合函数求导法得*在定义域中考察 y=y(x)：*即*再求*只有拐点(0，0)或由*其中，x定义域同样得到只有(0，0)是拐点)解析：20.设 f(t)连续，区域 D=(x，y)|x|1，|y|1，求证：（分数：10.00）_正确答案：(先将二重积分*化为累次积分*令 x-y=t，则*进一步化为定积分方法 1 将 I 表为*其中 Dxt：x-1tx+1，-1x1，如图所示*现交换积分次序(改为先对 x 后对 t 积分)，分块积分得*方法 2 对*作分部积分，有*)解析：21.设 u=u(x，y)在全平面上有连续偏导数，() 作极坐标变换 x
21、=rcos，y=rsin，求 的关系式；() 若 ( (x，y)，求证：u(x，y)为常数；() 若 (x2+y2R 20)，求证： （分数：11.00）_正确答案：() 由复合函数求导法*() 由题()，*又 u(rcos，rsin)对 r 在0，+)上连续*u(x，y)=u(rcos，rsin)=u(rcos，rsin)| r=0=u(0，0)(*(x，y)() 由题()，有*对 r 从 R 到 r 积分得*注意，u(Rcos，Rsin)对 0，2上连续，故有界。又由*因此*)解析：22.已知 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，满足 A 1=- 1-3 2-3
22、 3，A 2=4 1+4 2+ 3，A 3=-2 1+3 3() 求矩阵 A 的特征值；() 求矩阵 A 的特征向量；() 求矩阵 A*-6E 的秩（分数：11.00）_正确答案：() 据已知条件，有*记*及 P1=( 1， 2， 3)，那么由 1， 2， 3线性无关知矩阵 P1可逆，且*，即 A 与 B 相似由矩阵 B 的特征多项式*得矩阵 B 的特征值是 1，2，3从而知矩阵 A 的特征值是 1，2，3() 由(E-B)x=0 得基础解系 1=(1，1，1) T，即矩阵 B 属于特征值 =1 的特征向量，由(2E-B)x=0 得基础解系 2=(2，3，3) T，即矩阵 B 属于特征值 =2
23、 的特征向量，由(3E-B)x=0 得基础解系 3=(1，3，4)T，即矩阵 B 属于特征值 =3 的特征向量，那么令 P2=( 1， 2， 3)，则有*，于是令*则有*所以矩阵 A 属于特征值 1，2，3 的线性无关的特征向量依次为k1( 1+ 2+ 3)，k 2(2 1+3 2+3 3)，k 3( 1+3 2+4 3)，k i0(i=1，2，3)() 由*及|A|=6 知，*从而*所以秩 r(A *-6E)=2*)解析：23.设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A2=E，且秩 r(A+E)=kn() 求二次型 xTAx 的规范形；() 证明 B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求行列式|B|的值（分数：11.00）_正确答案：() 设 A 为矩阵 A 的特征值，对应的特征向量为 ，即 A=，0，则 A2= 2由于 A2=E，从而( 2-1)=0又因 0，故有 2-1=0，解得 =1 或 =-1因为 A 是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩 r(A+E)=k，于是*那么矩阵 A 的特征值为：1(k 个)，-1(n-k 个)故二次型*() 因为 A2=E，故B=E+A+A2+A3+A4=3E+2A所以矩阵 B 的特征值是：5(k 个)，1(n-k 个)由于 B 的特征值全大于 0 且 B 是对称矩阵，因此 B 是正定矩阵，且|B|=5 k1n-k=5k)解析：
