1、考研数学二-207 及答案解析(总分：147.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)上可导，且对任意的 x1和 x2，当 x1x 2时都有 f(x1)f(x 2)，则_A对任意 x，f(x)0 B对任意 x，f(-x)0C函数 f(-x)单调增加 D函数-f(-x)单调增加（分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 则有_ANPM BMPN CPMN DNMP（分数：4.00）A.B.C.D.4.若函数 f(x)的一个原函数为 arctanx，则xf(1-x 2)dx=_Aarctan(1-x
2、 2)+C BCxarctan(1-x 2)+C D （分数：4.00）A.B.C.D.5. =_.A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设方程 exy+y2=cosx 确定 y 为 x 的函数，则 =_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.7.若两向量组的秩相等，那么必有_A两组向量可以互相线性表示B两组都是线性相关组C两组都是线性无关组D如从某组中任取单个向量放入到另一组中，所得新向量组都线性相关，则这两组向量能互相线性表示（分数：4.00）A.B.C.D.8.设矩阵 ，则下列矩阵中与矩阵 A 等价、合同，但不相似的是_ABCD （分数：4.00）_二、填空题(总题数
3、：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.函数 y=lnx 在区间1，n上满足拉格朗日中值定理的 记为 n，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.如果 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 u=u(x，y)是方程 u+eu=xy 所确定的二元函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知区域 D 为 x2+y21则 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知三阶矩阵 A 的三个特征值为 1，2，3，则(A -1)*的特征值为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：91.00)15.证明：当 时，有 （分数：10.00）_16.设
4、f(x)是周期为 T 的非负连续函数，求证（分数：10.00）_17.计算 （分数：10.00）_18.设 f(x)在0，1上具有二阶连续函数，证明：（分数：10.00）_19.计算 （分数：10.00）_20.求 f(x，y，z)=2x+2y-z 2+5 在区域 ：x 2+y2+z22 上的最大值与最小值（分数：10.00）_21.求解微分方程 yy“-(y)2+(y)3=0（分数：10.00）_22.设 1， 2， 3是线性方程组（分数：10.00）_设 A 是 n 阶反对称称矩阵，A *为 A 的伴随矩阵.（分数：11.01）(1).证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数
5、时，A *为对称矩阵；（分数：3.67）_(2).举一个四阶不可逆的反对称矩阵的例子；（分数：3.67）_(3).证明：如果 是 A 的特征值，那么- 也必是 A 的特征值.（分数：3.67）_考研数学二-207 答案解析(总分：147.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在(-，+)上可导，且对任意的 x1和 x2，当 x1x 2时都有 f(x1)f(x 2)，则_A对任意 x，f(x)0 B对任意 x，f(-x)0C函数 f(-x)单调增加 D函数-f(-x)单调增加（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用 y=-f(-x)的图
6、形与 y=f(x)的图形关于原点对称来判别由于 y=-f(-x)的图形与 y=f(x)的图形关于原点对称，故当 x1x 2时，有 f(x1)f(x 2)，则函数-f(-x)必单调增加f(x)单调增加，但其导数不一定满足 f(x)0，也可能有 f(x)=0例如 y=x3单调增加，但 y(0)=3x2|x=0=0至于函数 f(-x)与 f(x)是两个不同函数，它是否单调增加及其导数是否小于 0 不得而知故(A)、(B)、(C)不成立，仅(D)入选2.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 先求出 y，y“考察在 x 取何值时，在其两侧 y“变号这些点就是拐点的横坐标，另一方面，y 在
7、点 x0处连续，虽然 y“不存在，但 y“在点 x0的左右两侧变号，则(x 0，y(x 0)也是曲线 y=f(x)的拐点先求出 y与 y“：因 在(-，+)上连续，且在 的两侧 y“变号，故( ，0)及( ，0)均为 的拐点另外在 x=0 处 y“不存在，但在 x=0 的两侧 y“变号，因此(0，0)也是曲线3.设 则有_ANPM BMPN CPMN DNMP（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 三个积分的积分区间相同，都为对称区间，且被积函数的子函数又有奇偶性利用此可算出三个积分再比较大小M 中被积函数为奇函数，故 M=0去掉被积函数中等于 0 的奇函数的积分，得到4.若函数 f(
8、x)的一个原函数为 arctanx，则xf(1-x 2)dx=_Aarctan(1-x 2)+C BCxarctan(1-x 2)+C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 利用题设条件得到f(1-x2)=arctan(1-x2)，因而就可求得被积函数的一个原函数由题设 f(x)=(arctanx)，于是5. =_.A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 按无穷限的反常积分定义求之6.设方程 exy+y2=cosx 确定 y 为 x 的函数，则 =_ABCD （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 给出一个方程常作出含此隐函数的函数F(x，y)=e
9、 xy+y2-cosx，然后再按公式 求之求 Fx时，视 y 为常数，求 Fy时视 x 为常数解一 令 F(x，y)=e xy+y2-cosx，则Fx=yexy+sinx，F y=xexy+2y，故仅(B)入选解二 在所给方程两边对 x 求导，求解时应注意 y 是 x 的函数，得到exy(y+xy)+2yy=-sinx，y(xexy+2y)+yexy=-sinx，故7.若两向量组的秩相等，那么必有_A两组向量可以互相线性表示B两组都是线性相关组C两组都是线性无关组D如从某组中任取单个向量放入到另一组中，所得新向量组都线性相关，则这两组向量能互相线性表示（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：
10、解析 利用下述结论判别：两个等秩向量组()与()，若其中一个向量组可由另一个向量组线性表示，则此两向量组等价即可互相线性表示对于选项(D)考虑向量组() 1， 2， s；向量组() 1， 2， t，若从 1， 2， s中任取一个放入向量组()中后线性相关，则向量组()可以由向量组()线性表示又秩()=秩()，由上述结论知，向量组()和向量组()等价从而向量组()也可由向量组()线性表示故仅(D)入选8.设矩阵 ，则下列矩阵中与矩阵 A 等价、合同，但不相似的是_ABCD （分数：4.00）_解析：二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）
11、解析：解析 利用一阶微分形式不变性求之，也可先求出 的导数，再利用下述公式求之：解一 利用一阶微分形式不变性求之解二 因故10.函数 y=lnx 在区间1，n上满足拉格朗日中值定理的 记为 n，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先由拉格朗日中值定理求出 n的表示式，然后再求极限由题设知 ，即 ，故11.如果 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 被积函数含有 ，一般先作变量代换 ，再计算令 ，则 t=ln(u2+1)，于是于是 ，即12.设 u=u(x，y)是方程 u+eu=xy 所确定的二元函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （
12、正确答案： ）解析：解析 先用一阶微分形式不变性求出 du 的表示式，从而由其唯一性求得 在此基础上再求对等式 u+eu=xy 两边求微分，得d(u+eu)=dxy，du+de u=ydx+xdy。即 du+eudu=ydx+xdy，故由此推出 ，于是13.已知区域 D 为 x2+y21则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 D 关于 y 轴对称，2x 3y4关于 x 为奇函数，故 该积分需用极坐标系计算原式=14.已知三阶矩阵 A 的三个特征值为 1，2，3，则(A -1)*的特征值为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 利用相关联矩阵的特
13、征值的关系求之设 A 的特征值为 i，则 A-1的特征值为 ，则(A -1)*的特征值为因|A|=123=6，故(A -1)*的三个特征值分别为 ，即三、解答题(总题数：9，分数：91.00)15.证明：当 时，有 （分数：10.00）_正确答案：(令 ，则因而归结证明 为此只需证明 f(x)在 内单调递减证 令 ，则由于 ，所以 f(x)0，即 f(x)在(0，/2)内严格单调递减因此， ，即 )解析：16.设 f(x)是周期为 T 的非负连续函数，求证（分数：10.00）_正确答案：(待证等式两边被积函数相同，为建立积分不等式，只好从积分区间入手对任意 x0，存在n 使 nTx(n+1)T
14、这是关键所在，然后再利用积分性质及周期函数的定积分性质证之证任取 x0，存在 n，使nTx(n+1)T，所以当 f(x)为非负连续函数时，有更有因 f(x)的周期为 T，利用其积分性质有则 在上述不等式两边取极限，利用即得故 )解析：17.计算 （分数：10.00）_正确答案：(利用对称性和极坐标系可简化计算这里积分区域 D 关于 x 轴对称，其中第一项的被积函数关于 y 是偶函数，第二项的被积函数关于 y 是奇函数，故根据对称性可得)解析：18.设 f(x)在0，1上具有二阶连续函数，证明：（分数：10.00）_正确答案：(注意到右边积分含二阶导数因子，这是利用分部积分法的好时机因此待证等式
15、可改为证 利用分部积分法得到即 )解析：19.计算 （分数：10.00）_正确答案：(所给积分既是无穷限的反常积分，又是无界函数的反常积分，因此将其化为单一型的反常积分计算对第二个积分作代换，令则且当 x 从 1 变至时，t 从 1 变至 0，则)解析：20.求 f(x，y，z)=2x+2y-z 2+5 在区域 ：x 2+y2+z22 上的最大值与最小值（分数：10.00）_正确答案：(求解条件最值应用问题的方法和步骤如下：(1)由实际问题找出目标函数与约束条件；(2)构造拉格朗日函数，用拉格朗日乘数法求解，转化为求解拉格朗日函数的驻点根据实际问题知，条件最大值或条件最小值存在，由求得的驻点可
16、得相应的最值证 f(x，y，z)在有界闭区域 上连续，一定存在最大值、最小值第一步，先求 f(x，y，z)在 上的驻点由 得 f(x，y，z)在 上无驻点，因此 f(x，y，z)在 上的最大值、最小值都只能在 的边界上达到第二步，求 f(x，y，z)在 的边界 x2+y2+z2=2 上的最大值、最小值令 F(x，y，z，)=2x+2y-z 2+5+(x 2+y2+z2-2)，解方程组)解析：21.求解微分方程 yy“-(y)2+(y)3=0（分数：10.00）_正确答案：(利用降阶法解之：令 y=p，则 令 y=p，则 于是原方程变为从而 ，得p=0 或由 p=0，有 y=c由 ，有即 ，故
17、两边积分可得)解析：22.设 1， 2， 3是线性方程组（分数：10.00）_正确答案：(证明对应齐次方程组的系数矩阵的秩等于 2，则其基础解系只含一个解向量，而 1- 2， 1- 3都是齐次方程组的解，则它们必线性相关证 记则所给线性方程组为 Ax=b因为 1， 2， 3是 Ax=b 的解，故 A i=b(i=1，2，3)，从而由于|A|=0，有一子式 )解析：设 A 是 n 阶反对称称矩阵，A *为 A 的伴随矩阵.（分数：11.01）(1).证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时，A *为对称矩阵；（分数：3.67）_正确答案：(由反对称矩阵定义知，A T=-A，故|A
18、|=|AT|=|-A|=(-1)n|A|， 即1-(-1) n|A|=0若 n=2k+1，必有|A|=0，所以 A 可逆的必要条件是 n 为偶数因 AT=-A，由(A *)T=(AT)*有(A*)T=(AT)*=(-A)*又因(kA) *=kn-1A*，故当 n=2k+1 时，有(A*)T=(-A)*=(-1)n-1A*=(-1)2kA*=A*，即 A*是对称矩阵)解析：(2).举一个四阶不可逆的反对称矩阵的例子；（分数：3.67）_正确答案：(例如， )解析：(3).证明：如果 是 A 的特征值，那么- 也必是 A 的特征值.（分数：3.67）_正确答案：(若 是 A 的特征值，有|E-A|=0，那么|-E-A|=|(-E-A) T|=|E-A T|=|-E+A|=|-(E-A)|=(-1) n|E-A|=0，所以- 是 A 的特征值)解析：
