1、考研数学二-206 及答案解析(总分：152.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：28.00)1.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.2.下列不定积分等于 （分数：4.00）A.B.C.D.3.以下广义积分中收敛的是_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.4.若 f(x，y)在区域。内具有二阶偏导数： ，则_A必有 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 ，则 等于()ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.6.用待定系数法求微分方程 y“-y=xex的一个特解时，特解的形式是_(式中 a，b 为常数)A(ax 2+bx)ex B(ax 2+b)exCax
2、 2exD(ax+b)e x（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 P-1AP=B，若 A=，=0，则_AB 的特征值为 ，对应的特征向量是 PBB 的特征值为 ，对应的特征向量是 PCB 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-1DB 的特征值为 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)8. （分数：4.00）填空项 1:_9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 x=f(u，)，有二阶连续偏导数，且 ，则函数 f(x2-y2，2xy)在 x2+y2
3、=1 上满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：100.00)14. （分数：10.00）_15.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，证明存在 (a，b)，使（分数：10.00）_设函数 f(x)在(-，+)内连续，且（分数：20.00）(1).若 f(x)为偶函数，则 F(x)也是偶函数；（分数：10.00）_(2).若 f(x)为非增，则 F(x)为非减（分数：10.00）_16.求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4-x-y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值
4、与最小值（分数：10.00）_17.设 f(x)为可微函数，且 f(0)=0，f(0)=2，试求（分数：10.00）_18.设 z=z(x，y)有二阶连续偏导数，且满足（分数：10.00）_19.求微分方程 （分数：10.00）_20.设向量 1， 2， r是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ r线性无关（分数：10.00）_21.若（分数：10.00）_考研数学二-206 答案解析(总分：152.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：28.00)1.曲线 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解
5、析 按渐近线的定义求之故所以 为其水平渐近线又故 x=0 为其单侧铅直渐近线因 x时，y 有水平渐近线，故 y 不可能在 x或 x+时，y 有斜渐近线因而 y 仅有两条渐近线，仅(B)入选注意(1)虽然有但本例中考虑的是 arctanx2，因而不必要考虑单侧趋向(2)虽然 y 在 x=1，x=-2 处元定义，但因2.下列不定积分等于 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 求上述积分时，首先要使函数的中间变量与积分变量一致，如不一致，先要化成一致，然后再积分(A)(B)(C)(D)3.以下广义积分中收敛的是_ABCD （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 可以直接计算判别，也
6、可利用下述结论判别p1 时， 发散；p1 时， (a0)收敛，且解一4.若 f(x，y)在区域。内具有二阶偏导数： ，则_A必有 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 偏导数存在与函数 f(x，y)的连续性及可微性的关系，与一元函数的情况大不相同，主要表现在偏导数的存在与函数的连续性没有必然的联系考虑可以验证选项(A)、(B)、(C)均不成立，仅(D)入选事实上，f(x，y)在点(0，0)处不连续因当 y=kx 时，有当 k 取不同值时， 也不同，故极限 不存在，因而在点(0，0)处 f(x，y)不连续又因 f(x，y)在点(0，0)处可微的必要条件是 f(x，y)在点(0，0)处连
7、续，故 f(x，y)在点(0，0)处也不可微(C)也不成立二阶偏导数 存在且连续时，才有5.设 ，则 等于()ABCD （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 积分区域为圆域，被积函数又为 f(x2+y2)的形式，自然想到用极坐标将二重积分化为变上限积分，然后再求极限于是仅(A)入选6.用待定系数法求微分方程 y“-y=xex的一个特解时，特解的形式是_(式中 a，b 为常数)A(ax 2+bx)ex B(ax 2+b)exCax 2exD(ax+b)e x（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 先求特征根 r，如 r 有等于 1 的单根，y*=x(ax+b)ex；有等于 1
8、的重根，y *=x2(ax+b)ex；否则 y*=(ax+b)exy“-y=0 的特征方程是 r2-1=0，特征根为 r1=1;r2=-1；y“-y=xe x中自由项 f(x)=xex，=1 是特征单根，应设y*=x(ax+b)ex=(ax2+bx)ex仅(A)入选7.已知 P-1AP=B，若 A=，=0，则_AB 的特征值为 ，对应的特征向量是 PBB 的特征值为 ，对应的特征向量是 PCB 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-1DB 的特征值为 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用相似矩阵的特征值、特征向量的关系判别：设 A 的特征值为 ，特征向量为 ，则 P-1AP=B
9、的特征值仍为 ，但特征向量为 P-1因矩阵 A 与 B 相似，故其有相同的特征值，可排除(B)、(D)由 P-1AP=B 得 P-1A=BP-1，P -1A=BP -1，于是有B(P-1)=P -1()=(P -1)故仅(C)入选二、填空题(总题数：6，分数：24.00)8. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 利用公式求之也可利用重要极限求之解一原式=解二原式=9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 分式函数 为简单函数，其高阶导数应利用公式求之：为此只需将 f(x)化为形如 形式即可如果记不住公式，那只能用数学归纳法了解一 ，因故解二
10、 直接求导，递推归纳：f(x)=-1+2(1+x)-1， f(x)=2(-1)(1+x) -2，f“(x)=2(-1)(-2)(1+x)-1，f“(x)=2(-1)(-2)(-3)(1+x)-4，10.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 所给 xn的表示式为积和式的形式，因而可用定积分求其极限首先将 xn的形式改写为积和式的标准形式：于是 11.设函数 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 利用复合函数求偏导法则及变上限积分求导公式直接求导因为 ，所以从而12.设 x=f(u，)，有二阶连续偏导数，且 ，则函数 f(x2-y2，
11、2xy)在 x2+y2=1 上满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 利用复合函数求导法则求之于是13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 可分块计算 的逆矩阵当 A1与 B1可逆时，而 为二阶矩阵，其逆矩阵可用“二调一除”的方法求之：设 可逆，将 A 中主对角线上的元素位置一调，次对角线上的元素符号一调，再用 A 的行列式|A|=ad-bc 去除多个元素，所得结果即为此法简称为“两调一除”的方法则三、解答题(总题数：9，分数：100.00)14. （分数：10.00）_正确答案：(题设式中 n 是离散型变量，不能直接使用洛必达法则为能
12、应用洛必达法则先考虑连续变量x 的极限 ，然后令 得出所求的极限值由于 为幂指函数，可先用换底法、等价无穷小代换简化求其极限当然，也可用重要极限及洛必达法则求之解一而故 ，取 ，则原式=解二或取 ，则原式 )解析：15.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，证明存在 (a，b)，使（分数：10.00）_正确答案：(从待证等式出现 b-a 因子，使人猜想可能使用拉格朗日中值定理证之但辅助函数如何找?可将待证等式右端中的 换为 x，去掉导数符号就可得到辅助函数 证 令显然 F(x)在a，b上满足拉格朗日中值定理的条件因而对 F(x)在a，b上使用该定理得到：存在(a，b使F(b
13、)-F(a)=(b-a)F()注意到)解析：设函数 f(x)在(-，+)内连续，且（分数：20.00）(1).若 f(x)为偶函数，则 F(x)也是偶函数；（分数：10.00）_正确答案：(利用偶函数的定义证之；)解析：(2).若 f(x)为非增，则 F(x)为非减（分数：10.00）_正确答案：(只需证明 F(x)0证 (1)由于 f(-x)=f(x)，则故 F(x)也是偶函数(2)由于 f(x)非增，则)解析：16.求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4-x-y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值（分数：10.00）_正确答案：(先求区域内的极
14、值，再求边界上的极值，通过比较即得闭区域上的最值由方程组得 x=0(0y6)及点(4，0)，(2，1)点(4，0)及线段 x=0 在 D 的边界上，且 f(2，1)=4在边界 x+y=6 上，y=6-x，代入 f(x，y)中，得z=2x3-12x2 (0x6)由 z=6x2-24x=0 得 x=0，x=4当 x=0 时，y=6，f(0，6)=0当 x=4 时，y=2，f(4，2)=-64经比较，最大值为 f(2，1)=4，最小值为 f(4，2)=-64注意求连续函数 z=f(x，y)在有界闭区域 D 上最值的步骤如下：(1)求 D 内的驻点(即方程组 的解)及不可导点(即 与 )解析：17.设
15、 f(x)为可微函数，且 f(0)=0，f(0)=2，试求（分数：10.00）_正确答案：(先将二重积分化为二次积分，其中内积分为变上限 t 的积分，再用等价无穷小代换、洛必达法则求之因故 )解析：18.设 z=z(x，y)有二阶连续偏导数，且满足（分数：10.00）_正确答案：(利用复合函数求导法则将 分别用叫关于 u， 的偏导数表示，由方程可得到 关于u， 的偏导数所满足的微分方程，解此方程即可求得 z(x，y)()z=xy-，由复合函数微分法则得到代入原方程，得即 ()解上述方程，对 u 积分得再对 u 积分得其中 ()，()是有二阶连续导数的任意函数，则由 =xy-z 得到即 )解析：
16、19.求微分方程 （分数：10.00）_正确答案：(求高于二阶的常系数齐次线性微分方程通解的方法与二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法基本上相同，其关键是要掌握特征方程的每个根与方程特解之间的关系对应齐次方程的特征方程为r3-4r2+4r=0。解得 r 1=0， r 2=r3=2所以对应的齐次方程的通解为y=c1+(c2+c3x)e2x令所给方程的一个特解为y*=Ae-x将它代入原方程并比较两边系数，得 ，于是故原方程通解为 )解析：20.设向量 1， 2， r是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ r线性无关（分数：1
17、0.00）_正确答案：(对于抽象向量组的线性相关性的证明常用定义证之注意到待证线性无关的向量组可以看成是一组可以写成另一组向量 ， 1， 2， n的线性组合的向量组如能证明 1， 1， 2， n线性无关，则可用矩阵表示法证之证一 设有一组数 k，k 1，k 2，k r，使则有上式两边同时左乘 A，有而 A0，故必须有把式代入式得由于 1， 2， r为 Ax=0 的基础解系， 1， 2， r必线性无关，故k1=k2=kr=0将式代入式得 k=0，故向量组 ，+ 1，+ 2，+ r线性无关证二 用矩阵表示法证之先证 1， 2， n， 线性无关，可用反证法证之如果 1， 2， n， 线性相关，而 1
18、， 2， n线性无关，故 可由 1， 2， n线性表示设=k 1 1+k2 2+kn n在上式两端左乘 A，得到A=k 1A 1+k2A 2+knA n=0+0+0=0这与 A0 矛盾，故 1， 2， n， 线性无关又因)解析：21.若（分数：10.00）_正确答案：(求解含参数的线性方程组可用高斯消元法，也可用基础解系、特解的简便求法求之解一(1)当 k-1，k4 时，方程组有唯一解：(2)当 k=-1 时，秩(A)=2秩( )=3，方程组无解；(3)当 k=4 时，秩(A)=2=秩( )=2，方程组有无穷多解，令 x3=0，得故其通解为，其中 k 为任意常数解二 先用初等行变换将 化成行阶梯形矩阵：(1)当 k4 且 k-1 时，进一步用初等行变换将 化成含最高阶单位矩阵的矩阵：故当 k-1，k4 时，方程组有唯一解，其唯一解为(2)当 k=-1 时，则故秩( )=32=秩(A)，故原方程组无解(3)当 k=4 时，将 化为)解析：
