1、考研数学二-195 及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. =_A1 B （分数：4.00）填空项 1:_2.如果 f(x)对任何 x 都满足 f(1+x)=2f(x)，且 f(0)存在，f(0)=2，则 f(1)=_A4 B-4 C8 D-8（分数：4.00）填空项 1:_3.已知函数 f(x)，g(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且（分数：4.00）填空项 1:_4.设 f(x)，g(x)是恒不为零的可导函数，且f(x)g(x)-f(x)g(x)0，则当 0x1 时_Af(x)g(x)f(1)g(1) Bf(x)g(x)f(0
2、)g(0)Cf(x)g(1)f(1)g(x) Df(x)g(0)f(0)g(x)（分数：4.00）填空项 1:_5.已知 f(x)在 x=0 处的某邻域内二阶连续可导，且（分数：4.00）填空项 1:_6.在直角坐标系 xOy 中，区域令 x=rcos,y=rsin，则直角坐标系中的二重积分 可化为极坐标系(r，)中的累次积分_ABCD （分数：4.00）填空项 1:_7.要使 1=1，-1，1，1 T， 2=8，-6，1，0 T是齐次方程组 AX=0 的基础解系，则系数矩阵 A 可以是_ABCD （分数：4.00）填空项 1:_8.二次型 f(x1，x 2，x 3)= -4x1x3-2x2x
3、3的标准形为_ABCD （分数：4.00）填空项 1:_二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(t)=et，且 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.曲线 y=lnx 在点_处曲率半径最小（分数：4.00）填空项 1:_12.如图所示，函数 f(x)是以 2 为周期的连续周期函数，它在0，2上的图形为分段直线g(x)是线性函数，则 =_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 f(x，y)连续，且其中 D 是由 y=x，y=0，x=1 所围成的区域，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A，B 是 n 阶方阵，且 AB=BA，
4、其中（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设函数 f(x)处处连续，并满足关系式求 （分数：10.00）_16.求 （分数：10.00）_17.设函数 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且试证：()存在 （分数：10.00）_18.已知 f(0)=0，f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内导数单调上升，证明 （分数：10.00）_19.设函数 f(x)在闭区间0，1上可微，且满足（分数：10.00）_20.设 f(x)在a，b上可导，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f(a)f(b)0试证：()存在 (a，b)，使 f()
5、=0；()存在 (a，b)，使 f“()=f()（分数：10.00）_21.证明：若 f(x)，g(x)都是可微函数，且 xa 时，|f(x)|g(x)，则当 xa 时，|f(x)-f(a)|g(x)-g(a)（分数：10.00）_22.已知向量组() 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4；() 1， 2， 3， 4， 5如果各向量组的秩分别为秩()=秩()=3， 秩()=4证明：向量 1， 2， 3， 5- 4的秩为 4（分数：10.00）_23.若三阶方阵 （分数：10.00）_考研数学二-195 答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32
6、.00)1. =_A1 B （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：D）解析：解析 因 不相同，且与也不相同，故需分两种情况分别求出极限2.如果 f(x)对任何 x 都满足 f(1+x)=2f(x)，且 f(0)存在，f(0)=2，则 f(1)=_A4 B-4 C8 D-8（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：A）解析：解析 只能用函数在一点的导数定义求之因为只知道 f(0)，不知道 f(x)在其他点处是否可导，所以不能在所给等式两端对 x 求导，再求出 f(1)由条件 f(1+x)=2f(x)知f(1)=f(1+0)=2f(0)根据导数定义得3.已知函数 f(x)，g(x)在
7、x=0 的某个邻域内连续，且（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：C）解析：解析 利用极限的局部保号性确定正确选项由题设知故 又由 知，f(0)=0，且存在 x=0 的某空心邻域，使得4.设 f(x)，g(x)是恒不为零的可导函数，且f(x)g(x)-f(x)g(x)0，则当 0x1 时_Af(x)g(x)f(1)g(1) Bf(x)g(x)f(0)g(0)Cf(x)g(1)f(1)g(x) Df(x)g(0)f(0)g(x)（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：C）解析：解析 由题设条件f(x)g(x)-f(x)g(x)0，有 (因 g(x)是恒不为零的可导函数)，即 ，亦即
8、 为单调增函数由题设知 ，因此 为严格单调增函数，于是当 x(0，1)时，由于 g(x)是恒不为零的可导函数，因此 g(x)连续，从而 g(x)保持恒定的符号，故g(x)g(1)0于是由5.已知 f(x)在 x=0 处的某邻域内二阶连续可导，且（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：C）解析：解析 利用所给极限希望能推出结果：(非零常数)据此即可判定选项的正确性解一即 由上式极限可知，在 x=0 的左右两侧 f“(x)要改变符号，故(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点仅(C)入选解二 由解一中的式进而得到f“(0)=0，f“(0)=-n0由此可知(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐
9、点注意应记住下述结论：(1)若 f(x0)=0，f“(x 0)=0，但 f“(x0)0，则点(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点；(2)若 f“(x)在点 x=x0处连续，且6.在直角坐标系 xOy 中，区域令 x=rcos,y=rsin，则直角坐标系中的二重积分 可化为极坐标系(r，)中的累次积分_ABCD （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：D）解析：解析 先画出积分区域，将 x2+y22x 及 用极坐标表示应注意由 得到 ，即，故 =/3 为积分下限积分区域 D 如图所示由于 x2+y2=2x 的极坐标方程为 r=2cos， 的极坐标方程为 ，故 D 的极坐标表示为
10、于是7.要使 1=1，-1，1，1 T， 2=8，-6，1，0 T是齐次方程组 AX=0 的基础解系，则系数矩阵 A 可以是_ABCD （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：C）解析：解析 已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵的方法如下：(1)以所给的基础解系为行向量作矩阵 B；(2)解方程组 BX=0，求出其基础解系；(3)以(2)中所求出的基础解系中的向量为行向量，作矩阵 C，则该矩阵 C 即为所求因基础解系不唯一，在选项中如果没有矩阵 C，这时也可用他法(如排他法)求之解一令矩阵求 BX=0 的基础解系因取基础解系为 1=5，7，2，0 T， 2=3，4，0，1 T，则所求的矩阵
11、 A 为8.二次型 f(x1，x 2，x 3)= -4x1x3-2x2x3的标准形为_ABCD （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：A解一 因 f(0，0，1)=-40，故 f 不正定又因 f(1，0，0)=20，故 f 不负定所以(B)、(D)不能入选又因二次型 f 的矩阵为而|A|0，故秩(A)=3，所以(C)不正确仅(A)入选解二用配方法求之令则 ）解析：二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e a+b）解析：解析 所给极限函数为幂指函数，其极限可用重要极限或换底法求之解一而故原式=e a+b解二 而 10.设 f(t)=
12、et，且 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先求出 u 的表达式，再求其极限解一 由 ，得到ex-1=xf(ux)=xeux，即又而即解二11.曲线 y=lnx 在点_处曲率半径最小（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 问题归结求 的最小值则于是令 得 显然，当 时， ；当 时 由一阶导数判别法可知， 为 R(x)的极小值点又因驻点唯一，该极小值也是 R(x)的最小值，故曲线 y=lnx 在点12.如图所示，函数 f(x)是以 2 为周期的连续周期函数，它在0，2上的图形为分段直线g(x)是线性函数，则 =_（分数：4.00）填空项 1
13、:_ （正确答案： ）解析：解析 利用题设及图形先求出 g(x)的表示式，再利用定积分的换元法及周期函数的下述积分性质可求得结果：其中 nN，f(x)是以 T 为周期的函数，nN，aR由图易知，线性函数 g(x)的斜率因此 g(x)=3x+1，从而 g(x)=3，有由于 f(x)是以 2 为周期的周期函数，由其性质与得到根据定积分的几何意义知从而13.设 f(x，y)连续，且其中 D 是由 y=x，y=0，x=1 所围成的区域，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因积分区域 D 为固定区域，故 为常数。注意这一点后，可在等式两边在区域 D 上进行二重积分，确定此常
14、数，再求偏导 f“xy(x，y)令则 f(x,y)=(1+A)xy从而有解得即有故14.设 A，B 是 n 阶方阵，且 AB=BA，其中（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 A 为对角矩阵，另一矩阵 B 与 A 可交换，则 B 也必为对角矩阵下用矩阵乘法推出矩阵 B设B=bijnn，AB=c ijnn，BA=d ijnn，显然cij=ibij，d ij=jbij又因AB=BA，故ibij=jbij(i，j=1，2，n)，其中，当 ij 时，有(i-j)b ij=0，故 bij=0(ij)因此三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设函数 f(x)处处连续，并满足
15、关系式求 （分数：10.00）_正确答案：(利用幂指函数极限的简便求法求之，也可利用重要极限求之解一 因故注意到 ，有所以由 得到又 f(x)连续，故解二 利用重要极限 求之因故 ，即于是由得到于是故 ，即因此 ，而 f 连续，故)解析：16.求 （分数：10.00）_正确答案：(极限式可化为 n 项的积和式，因而可用定积分的定义求之解一 原式解二 原式 )解析：17.设函数 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且试证：()存在 （分数：10.00）_正确答案：(1)只需作出辅助函数 (x)=f(x)-x，利用介值定理证之；(2)对于中值等式 f()-f()=0，常作辅助函数 F(
16、x)=f(x)e-x 证之将待证等式右边的 1 看成，则待证等式可化为f()-f()-=f()-f()-于是易想到作辅助函数F(x)=e-x f(x)-x，利用罗尔定理证之证 ()令 (x)=f(x)-x，则 (x)在0，1上连续，又故由介值定理知，存在 )解析：18.已知 f(0)=0，f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内导数单调上升，证明 （分数：10.00）_正确答案：(只需证明 F(x)0，注意到 f(0)=0，利用此条件可应用拉格朗日中值定理证应用拉格朗日中值定理，得到f(x)-f(0)=xf()， 其中 (0，x)因 f(x)单调上升，故 f(x)f()于是故 )解析：19.设
17、函数 f(x)在闭区间0，1上可微，且满足（分数：10.00）_正确答案：(利用积分中值定理，存在 1(0，)，使 f(1)= 1f( 1)如果令F(x)=xf(x)，则F(1)=f(1)= 1f( 1)=F( 1)，即 F(x)在 x=1，x= 1两点处函数值相等，故可对 F(x)在( 1，1)内使用罗尔定理证 令 F(x)=x(x)，显然 F(x)在0，1上可微应用积分中值定理得又F( 1)= 1f( 1)， 则 F( 1)=F(1)于是对 F(x)在 1，1上应用罗尔定理知，至少存在 ( 1，1) (0，1)，使得F()=f()+f()=0， 即 )解析：20.设 f(x)在a，b上可导
18、，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f(a)f(b)0试证：()存在 (a，b)，使 f()=0；()存在 (a，b)，使 f“()=f()（分数：10.00）_正确答案：(利用极限的保号性及介值定理易证()对()可先作辅助函数(x)=e xf(x)令其导数等于 0，可产生exf(x)+f(x)=0， 即 f(x)+f(x)=0再作辅助函数 F(x)=e-xf(x)+f(x)证之证 ()由 f(a)f(b)0 知，f(a)与 f(b)同号，不妨设f(a)0，f(b)0，则又由极限的保号性知，存在 x1(a，a+ 1)，使得 f(x1)0；同理存在 x2(b- 2，b)，使得 f(
19、x2)0由连续函数的介值定理(零点定理)知，存在 (x 1，x 2) (a，b)，使得 f()=0()令 (x)=e xf(x)，则(a)=()=(b)由罗尔定理知，存在 1(a，)，使( 1)=exf(x)|x=1 =0， 即 f( 1)+f( 1)=0同理，存在 2(，b)，使( 2)=e 2f( 2)+f( 2)=0，即f( 2)+f( 2)=0再令F(x)=e-x(f(x)+f(x)，则F( 1)=F( 2)=0对 F(x)在 1， 2上应用罗尔定理知，存在)解析：21.证明：若 f(x)，g(x)都是可微函数，且 xa 时，|f(x)|g(x)，则当 xa 时，|f(x)-f(a)|
20、g(x)-g(a)（分数：10.00）_正确答案：(为证 g(x)g(a)f(x)-f(a)，即证g(x)-f(x)g(a)-f(a)需作辅助函数 (x)=g(x)-f(x)，对 (x)在a，x上使用拉格朗日中值定理为证-g(x)-g(a)f(x)-f(a)，即证f(x)+g(x)f(a)+g(a)需作辅助函数 (x)=f(x)+g(x)，对 (x)在a，x上使用拉格朗日中值定理证令 (x)=g(x)-f(x)，由拉格朗日中值定理得(x)-(a)=()(x-a)， ax当 xa 时，由于 |f(x)|g(x)，则-g(x)f(x)g(x)，于是()=g()-f()0所以当 xa 时，(x)-(
21、a)0，即g(x)-f(x)-g(a)-f(a)0，则g(x)-g(a)f(x)-f(a) (xa)又令 (x)=g(x)+f(x)，由拉格朗日中值定理得(x)-(a)=()(x-a)， ax当 xa 时，由于|f(x)|g(x)，则f(x)+g(x)0，于是()0故当 xa 时， (x)-(a)0，即g(x)+f(x)-g(a)+f(a)0所以，当 xa 时，g(x)-g(a)-f(x)-f(a)，即f(x)-f(a)-g(x)-g(a)综合式、式得 |f(x)-f(a)|g(x)-g(a)解析：22.已知向量组() 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4；() 1， 2， 3， 4，
22、5如果各向量组的秩分别为秩()=秩()=3， 秩()=4证明：向量 1， 2， 3， 5- 4的秩为 4（分数：10.00）_正确答案：(利用线性无关、线性相关的定义证明证 因秩()=秩()=3，所以 1， 2， 3线性无关而 1， 2， 3， 4线性相关，故存在数 1， 2， 3，使 4= 1 1+ 2 2+ 3 3设有数 k1，k 2，k 3，k 4，使得k1 1+k2 2+k3 3+k4( 5- 4)=0，将 4代入上式，化简得(k1- 1k4) 1+(k2- 2k4) 2+(k3- 3k4) 3+k4 5=0由秩()=4 知， 1， 2， 3， 5线性无关，故)解析：23.若三阶方阵 （分数：10.00）_正确答案：(可用秩的定义分别讨论口的不同取值时秩(A)的大小，也可用初等变换法讨论之解一当 a1 且 a-2 时，|A|0，有秩(A)=3当 a=1 时，|A|=0，且 ，有秩(A)=1当 a=-2 时，|A|=0，且 ，有二阶子式 故秩(A)=2解二 )解析：
