1、考研数学二-193 及答案解析(总分：161.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)=(ex-1)(e2x-2)(enx-n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=_A(-1) n-1(n-1)! B(-1) n(n-1)!C(-1) n-1n! D(-1) nn!（分数：4.00）A.B.C.D.3. _A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.4.微分方程 y“- 2y=ex +e-x (0)的特解形式为_Aa(e x +e-x ) Bax(e x +e-x )Cx(ae x be-x )
2、Dx 2(aex +be-x )（分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 ，若反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 y=f(x)在区间-1，3上的图形如图：则函数 的图形为_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设向量组：a 1，a 2，a r，可由向量组： 1， 2， 5线性表示，下列命题正确的是_A若向量组线性无关，则 rs B若向量组线性相关，则 rsC若向量组线性无关，则 rs D若向量组线性相关，则 rs（分数：4.00）A.B.C.D.8.矩阵 与 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=(1+si
3、nx)x，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 y+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y= 1（分数：4.00）填空项 1:_11.函数 z=f(1nx+ )，其中函数 f(u)可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_13.设平面区域 D 由 y=x，圆 x2+y2=2y 及 y 轴所围成，则二重积分 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A -1+B|=2，则|A+B -1|=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：105.00)15.
4、已知函数 设 （分数：10.00）_16.求积分 （分数：10.00）_17.已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y-xey-1=1 所确定设 z=f(1ny-sinx)，求 （分数：10.00）_设奇函数 f(x)在-1，1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：（分数：11.00）(1).存在 (0，1)，使得 f()=1；（分数：5.50）_(2).存在 (-1，1)，使得 f“()+f ()=1（分数：5.50）_18.求微分方程 y“(x+y“)=y满足初始条件 y(1)=y(1)=1 的特解（分数：10.00）_一容器的内侧是由图中曲线绕 y
5、 轴旋转一周而成的曲面，该曲面由 x2+y2=2y(y （分数：22.00）(1).求容器的容积；（分数：11.00）_(2).若将容器内的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位为 m；重力加速度为 gm/s2；水的密度为 103kg/m3)*（分数：11.00）_19.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， ，其中 D：(x，y)|0x1，0y1，计算二重积分 （分数：10.00）_设 ， （分数：11.00）(1).求 ，a；（分数：5.50）_(2).求方程组 Ax=b 的通解（分数：5.50）_设 A 为 3 阶矩阵，a 1，a
6、2为 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，向量 a3满足 Aa3=a2+a3（分数：11.00）(1).证明 a1，a 2，a 3线性无关；（分数：5.50）_(2).令 P=(a1，a 2，a 3)，求 P-1AP（分数：5.50）_考研数学二-193 答案解析(总分：161.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 对于这类渐近线的求解问题，我们首先分析极限 和 ，如果存在则函数有水平渐近线本题中显然 = ，所以 y=1 是水平渐近线同时显见题设中函数不存在斜渐近线；又由于题设函数存在断点，且断点为
7、 x=1，并且在 x=1 的极限 ，所以 x=1 是题设中函数的垂直渐近线，又因为2.设函数 f(x)=(ex-1)(e2x-2)(enx-n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=_A(-1) n-1(n-1)! B(-1) n(n-1)!C(-1) n-1n! D(-1) nn!（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 思路一：这是一道求导数值的题目，根据题设函数的特殊结构，我们首先可以考虑使用定义进行求解：根据导数的定义有 ，将 f(x)代入以上定义式可得：在上述式子中应用等价替换 ex-1zx，代入以后得到：即为所求思路二：由于只求解一次导数，所以我们可以采用直接求导的方法进行，对
8、上述 f(x)求导一次并且令x=0，可以知道除了对 ex-1 这一乘积因子求导且令 x=0 以后，所得结果不为 0，对其余乘积因子求导后都含有 ex-1 这一项，令 x=0 以后该项都为零，所以有：3. _A BC D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 根据对数的性质，原式=由定积分的定义可以将上式数列极限转化为积分，且f(x)=ln(1+x)2，x0，1所以4.微分方程 y“- 2y=ex +e-x (0)的特解形式为_Aa(e x +e-x ) Bax(e x +e-x )Cx(ae x be-x ) Dx 2(aex +be-x )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：
9、解析 本题是确定二阶线性常系数非齐次方程特解的题由题意可知：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是 r2- 2=0，特征根为，由于非齐次项 eax中a1=，a 2=-，于是就有 y“- 2y=ex ，y “- 2=e-x ，两个非齐次微分方程分别有特解 y=axex ，y=bxe -x ，所以原非齐次方程有特解 y=x(aex +be-x )，所以答案选 C5.设函数 ，若反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 收敛可知， 与 均收敛是瑕点，因为 收敛，所以 a-11 得 a26.设函数 y=f(x)在区间-1，3上的图形如图：则函数 的图形为_A BC D （分数：4.00
10、）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查变限积分的性质 由图可知，F(x)=0 点导数不存在可排除 A，由 F(0)=0 可排除 C；在2，3上，有7.设向量组：a 1，a 2，a r，可由向量组： 1， 2， 5线性表示，下列命题正确的是_A若向量组线性无关，则 rs B若向量组线性相关，则 rsC若向量组线性无关，则 rs D若向量组线性相关，则 rs（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 对于 A，若向量组线性无关，则 r(a1，a 2，a r)=r又向量组可由向量组线性表示，则 r()r()s，所以有 rsA 正确对于 B，若向量组线性相关，则 r()r，又 r()r()s
11、，因此无法判断 r 与 s 的大小所以 B错误对于 C，若向量组线性无关，则有 r()=s，又 r()r()=s，即 r()s，又 r()r，即无法判断 r 与 s 的大小C 错误对于 D 也是同理当然，对于选项 B、C、D 也可以举简单的反例来说明8.矩阵 与 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值由 的特征值为 2，b，0 可知，矩阵 的特征值也是 2，b，0 因此,所以 a=0将 a=0 代入可知，矩阵二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=(1+sinx)x，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正
12、确答案：-dx）解析：解析 y=(1+sinx)x=exln(1+sinx)所以dy=(1+sinx)xdxln(1+sinx)=(1+sinx)x +In(1+sinx)dx 故10.微分方程 y+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -xsinx）解析：解析 本题是一道已知一阶线性非齐次微方程初值的问题，先对方程进行变型，两端同时乘叫w(x)=ex，原方程变为 w(x)y+w(x)y=cosx，即(ye x)=cosx，对两端作定积分得11.函数 z=f(1nx+ )，其中函数 f(u)可微，则 （分数：4.00）填空
13、项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 函数 对 x 求导，得对 y 求导得故12.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y+x-ln2- ）解析：解析 由曲线 ，可知曲线对应于 t=1 点处的法线斜率为 当 t=1 时，x= ，y=1n2法线方程为 y-In2=-(x- )，即 y+x-1n2-13.设平面区域 D 由 y=x，圆 x2+y2=2y 及 y 轴所围成，则二重积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 如图所示，14.设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A -1+B|=2，则|A+B -1|=_（分数：4.00）填空项
14、1:_ （正确答案：3）解析：解析 |A+B -1|=|A(B+A-1)B-1=|A|B+A-1|B-1|=32三、解答题(总题数：9，分数：105.00)15.已知函数 设 （分数：10.00）_正确答案：(易知，当 a0 时， 当 a0，x时，原极限属于 型，可使用洛必达法则，所以有：，此时，若 a-10，即 a1，则 即当 0a1 时， 若 a1，则需要继续求解，但原极限满足使用洛必达法则的条件，因此：所以当 a1 时， 下面只需考虑在 a1 时 的值当 x0 +时，ln(1+x 2)-x 2所以所以当 3-a0，即 a3 时， 综上：当 1a3 时，有 )解析：16.求积分 （分数：1
15、0.00）_正确答案：(解法一：由于 ,故 是反常积分令 arcsinx=t，有 x=sint，t0，/2解法二：令 arcsinx=t，有 x=sint，t0，2故，原式= )解析：17.已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f(0)=1，函数 y=y(x)由方程 y-xey-1=1 所确定设 z=f(1ny-sinx)，求 （分数：10.00）_正确答案：(由方程 y-xey-1=1 y(0)=1，求导得 y-ey-1-xey-1y=0 y(0)=1再求导得 y“-2ey-1y-x(ey-1y)=0，y “(0)=2现由 z=f(lny-sinx)求导得，所以 又，所以 )解析：设奇函数 f
16、(x)在-1，1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：（分数：11.00）(1).存在 (0，1)，使得 f()=1；（分数：5.50）_正确答案：(由于 f(x)在-1，1上为奇函数，故 f(0)=0令 F(x)=f(x)-x，则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，且 F(1)=f(1)-1=0，F(0)=f(0)-0=0由罗尔定理，知存在 (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1)解析：(2).存在 (-1，1)，使得 f“()+f ()=1（分数：5.50）_正确答案：(欲证 使 f“()+f ()=1，等价于要证 ，即要证 ，从而要证 )解析：18.求微分方程 y“(x
17、+y“)=y满足初始条件 y(1)=y(1)=1 的特解（分数：10.00）_正确答案：(本题是二阶可降阶微分方程的初始值问题首先令 y=P，代入方程得，将方程改写成将微分方程看成是 x 对 P 的函数关系式，这时二阶微分方程就可降阶为一阶线性微分方程将方程两端同时乘以 ，取 ，则原方程变为对方程两边积分得：，由初始条件知当 x=1 时，P=1，代入上式得 C1=0，两端积分得：，由初始条件 y(1)=1，解得 C= ，那么特解为)解析：一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲面由 x2+y2=2y(y （分数：22.00）(1).求容器的容积；（分数：11.00）_正确答案
18、：(解 ()方法一：直接求体积由题意可得曲线的方程可表示为由旋转体体积公式得方法二：利用对称性由于容器是对称的，求旋转体体积时可以只求-1y 的部分当-1y 时，曲线方程可表示为由旋转体体积公式得)解析：(2).若将容器内的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位为 m；重力加速度为 gm/s2；水的密度为 103kg/m3)*（分数：11.00）_正确答案：(采用微元法取微元 y，对于任意区间y，y+dy对应水的体积微元为 f 2(y)dy，水的质量微元为 Pgf 2(y)dy(p 为水的密度)，其升高的距离为 dy=2-y，需要做的功为dW=pgf 2(y)(2-y)dy故抽出全
19、部水所需要做的功为)解析：19.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， ，其中 D：(x，y)|0x1，0y1，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(本题要计算二重积分，直接求积分 难度显然很大，因为题目中并未涉及 ，如何转化 是关键方法一： 正向思维，利用分部积分法，直接求解 交换积分次序，并再次对内层积分利用分部积分法得方法二： 逆向思维，从已知条件 =a 入手，逆向推出 对 x 分部积分得交换积分次序，并对 y 分部积分得故)解析：设 ， （分数：11.00）(1).求 ，a；（分数：5.50）_正确答案：(由于非齐次线性方程组 Ax
20、=b 存在两个不同的解，则 r(A)=对系数矩阵 A 求行列式：得 =1 或-1当 1 时，r(A)=1，r(A)=2，非齐次线性方程组 Ax=b 无解，故舍去 当 =1 时，)解析：(2).求方程组 Ax=b 的通解（分数：5.50）_正确答案：(将 =-1，a=-2 代入非齐次线性方程组 Ax=b，再对增广矩阵进行初等变换所以，齐次线性方程组 Ax=0 的通解为：k(1，0，1) T，其中 k 为任意常数，非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解为： ，故非齐次线性方程组 Ax=6 的通解为： )解析：设 A 为 3 阶矩阵，a 1，a 2为 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，向量
21、a3满足 Aa3=a2+a3（分数：11.00）(1).证明 a1，a 2，a 3线性无关；（分数：5.50）_正确答案：(设 k 1a1+k2a2+k3a3=0 要证 a1，a 2，a 3线性无关，只需证 ki=0(i=1，2，3)由特征值的定义知 Aa 1=-a1，Aa 2=a2所以对式两端左乘 A，即为k11Aa1+k2Aa2+k3Aa3=0，而 Aa3=a2+a3所以有 -k 1a1+k2a2+k3(a2+a3)=0 -得 2k 1a1-k3a2=0又 a1，a 2是属于 A 的不同特征值的特征向量，所以 a1，a 2线性无关所以 k1=0，k 3=0又因为 a2是特征向量，a 20，所以 k3=0即结论成立)解析：(2).令 P=(a1，a 2，a 3)，求 P-1AP（分数：5.50）_正确答案：(根据特征值的定义，有A(a1，a 2，a 3)=(-a1，a 2，a 3)= ，所以 )解析：
